| 他们似乎明白，但又似乎不明白。这就会出现前几年在这里发生过的一场争论。 |
| 他们似乎明白，但又似乎不明白。这就会出现前几年在这里发生过的一场争论。 |
| limA=0、limB=0，lim（A/B）有意义，但limA/limB没有意义。 |
| dy/dx不是0/0。大部分人对此没想明白，就认为dy、dx都是0，一些教授也没幸免。 |
| 因为limA=0、limB=0，limA/limB没有意义，所以dy不是limA、dx也不是limB。 |
| 那么dx、dy究竟是什么数呢？dx是切线上以x为起点任给的一个非零自变量增量，dy是在切线的该点上随动产生的非零增量。该增量是切线上的，不是有切点的那个弯曲的曲线上的。 |
| 所以这个任取的自变量增量dx产生的随动增量dy总在切线（直线的）上产生，它们的比值dy/dx总是切线的斜率。 |
| 也就是说，dx、dy和曲线函数的两个差分取不取极限没有丝毫关系。 |
| 在切线上取不取极限dy/dx都是切线的斜率：lim（dy/dx）=dy/dx。 |
| 一个直角三角形，横边平行于x轴，纵边平行于y轴，三边长度之比是3、4、5，则斜边的斜率就是4/3，斜边的角度确定下来了就是k=4/3，不管横边长度或长度增量dx如何变化，和斜边相交的纵边长度或长度增量dy都成比例变化，dy=kdx，所以k=dy/dx。这里的dy、dx都可以是具体数，对它们没有必须是无穷小的要求。所以，仅仅对直角三角形来说，不存在微分概念，这个关系也固然成立。 |
| 微分概念是把直角三角形的斜边当作曲线的切线，靠上去的。这时dy被当成了曲线增量中的线性部分，才把它叫做曲线（函数）的微分。 |
| 把直角三角形的斜边靠到正弦函数上，dy就是正弦函数的微分、靠到幂函数上，dy就是幂函数的微分，只要切点上切线的斜率相等，相等的自变量增量dx对应的微分dy也一定相等，和靠上去的曲线函数没关系。 |
| 看起来这几段都是耸听的危言，但都是我拆解出来的道理。 |
| 比如y1=x^2/2、y2=x^3/3、y3=x^4/4三个函数曲线，在x=1处有相同的切线斜率k1=k2=k3=1，对于同一个dx=0.01，会产生同样的dy=0.01，和三个函数是什么样的没关系。 |
| 三个不同函数在切点附近收敛的快慢程度，不取决于微分dy，只取决于高次项o(Δx)的变化。 |
| 微分成为函数增量的主部的原因不在微分上，而在高次项的衰减上。 |