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从伽利略变换到洛伦兹变换的三步演变 宋协刚
按照一般的思维，伽利略变换与洛伦兹变换是对立的、矛盾的，两者只能有一个是成立的，而下面的演变过程将告诉我们这种认识是一种错误。 我们就从洛伦兹为解释迈莫实验的“收缩假设”开始谈起。设有两个坐标系S、S’，S相对“以太”是静止的，S’相对S的速度为v（相对“以太”有一个速度v）。 迈莫实验相当于在S’系进行，按照伽利略变换的推演，迈莫实验的预期结果不应该是零结果。为了解释迈莫实验的这一结果，洛伦兹假定物体沿其穿过“以太”方向有一真正的收缩，其收缩因子就等于(1-v2/c2)1/2，现在我们就以这一假设为引子，基于伽利略变换，看看如何能演变出洛伦兹变换。
S系Y S’系Y’ | | | | | | | | |-------------------A’------------B’----C’-----------------àS’系X’轴 |-------------------A--------------B------C----------------------àS系X轴
上图AC为S系的1米，A’C’为S系的1米，按照伽利略变换A、A’与C、C’可分别同时重合。A’B’为X’轴上的一段，其长度大小为1/r米【r=1/(1-v2/c2)1/2，下同】，相应的，X轴AB长度也等于1/r米。
按照洛伦兹的假设，对于S系一把1米长的尺子，当加速到与S’系静止时，其长度只是A’B’的长度，而不是A’C’的长度，将该尺与A’B’重合之后，再令其围绕A’旋转，则旋转到不同的位置，该尺会有不同的长度，当旋转到与Y’轴平行时，该尺的长度变为1米。
为了便于后面的论证，将牛顿力学和伽利略变换下的结论进行总结。设伽利略变换下，S系的坐标为（x,t,z,t），S’的坐标为（X’,Y’,Z’,T’），且有以下结论：
1、（X’,Y’,Z’,T’）与（x,y,z,t）之间的变换关系（伽利略变换）： X’=x-vt Y’=y Z’=z T’=t 2、在S系，不同方向，光的回路速度是不变的，都等于c。 3、在S系，光速具有各向同性，光的单向速度等于c。 4、在S’系，不同方向，光的回路速度是变化的。 5、在S’系，光速不具有各向同性。 6、S’系X’方向的1米，在S系的计量结果是1米；S系X方向的1米，在S’系的计量结果是1米。S’系的1秒，在S计量为1秒；S系的1秒，在S’系计量为1秒。不具有相对尺缩和相对钟慢，没有同时的相对性。 7、S系的一米尺到了S’系，两个系的计量结果是相同的，但是在不同的方向会有不同的长度。当与X’方向一致时，计量结果是1/r米；当与Y’方向一致时，计量结果为1米。
接下来，我们开始实现由伽利略变换到洛伦兹变换的演变。
第一步：改变S’系X’方向的长度计量单位。在伽利略变换下，S’系X’方向的1米为A’C’表示的长度，现在我们令：S’系X’方向的1米为A’B’表示的长度。并设该计量单位变换之后，S’系的时空坐标表示为（x1’,y1’,z1’,t1’）。则在第一步的约定下，有以下结论（具体推导过程略）： 1、（x1’,y1’,z1’,t1’）与（X’,Y’,Z’,T’）之间的变换关系： x1’=rX’ y1’=Y’ z1’=Z’ t1’=T’ 2、（x1’,y1’,z1’,t1’）与（x,y,z,t）之间的变换关系： x1’=r(x-vt) y1’=y z1’=z t1’=t 3、在S系，不同方向，光的回路速度是不变的，都等于c。 4、在S系，光速具有各向同性，光的单向速度等于c。 5、在S’系，不同方向，光的回路速度是不变的，都等于c/r（请自行推导）。 6、在S’系，光速不具有各向同性。 7、S’系X’方向的1米，在S系的计量结果是1/r米；S系X方向的1米，在S’系的计量结果是r米。S’系的1秒，在S计量为1秒；S系的1秒，在S’系计量为1秒。不具有相对尺缩和相对钟慢，也没有同时的相对性。 8、S系的一米尺到了S’系，两个系的计量结果是不同的。在S’系计量，该米尺的长度是1米，且与米尺的方向无关；在S系计量，该米尺在不同的方向会有不同的长度，当与X’方向一致时，计量结果是1/r米；当与Y’方向一致时，计量结果为1米。（注：针对洛仑兹所说的真正收缩，关于S’系的尺子到了S系的情形，请自行推理分析，下同。）
上述第一步的变化看似简单，但却引起了结论上的巨大变化。比如，变化前S’系光在不同方向的回路速度是不同的，变化后S’系光在不同方向的回路速度变为相同；再比如，变化前S’系的一把尺子旋转到不同的方位会有不同的长度，变化后S’系的一把尺子旋转到不同的方位其长度是不变的，即在S’系，洛伦兹所说的真正的收缩“消失”了，等等。产生这些变化的原因就是这里改变了S’系X’轴方向的计量基准或计量单位。
第二步：改变S’系的时钟计量单位。经过第一步的计量变化，S’系光的回路速度变成c/r，但仍然不满足洛伦兹变换下光回路速度等于c的结果。而在第一步的基础上，要使得S’系光回路速度等于c就非常简单。为此，我们令：S’系所有时钟的频率都调整为原来的1/r，或者将原来时钟的r秒定义为现在的1秒（请注意，改变前后虽然都称为秒，但此秒非彼秒，前面的长度单位米也是如此，为防止混淆可各自命名，而表达式体现的只是数字大小的关系）。改造后的时钟读数是改造前时钟读数的1/r，如将改造后S’系的时空坐标表示为（x2’,y2’,z2’,t2’），则经过此步计量改造，有以下结论（具体推导过程略）： 1、（x2’,y2’,z2’,t2’）与（X’,Y’,Z’,T’）之间的变换关系： x2’=rX’ y2’=Y’ z2’=Z’ t2’=T’/r 2、（x2’,y2’,z2’,t2’）与（x,y,z,t）之间的变换关系： x2’=r(x-vt) y2’=y z2’=z t2’=t/r 3、在S系，不同方向，光的回路速度是不变的，都等于c。 4、在S系，光速具有各向同性，光的单向速度等于c。 5、在S’系，不同方向，光的回路速度是不变的，都等于c。 6、在S’系，光速不具有各向同性。 7、S’系X’方向的1米，在S系的计量结果是1/r米；S系X方向的1米，在S’系的计量结果是r米。S’系的1秒，在S计量为r秒；S系的1秒，在S’系计量为1/r秒。不具有相对尺缩和相对钟慢，也没有同时的相对性。 8、S系的一米尺到了S’系，两个系的计量结果是不同的。在S’系计量，该米尺的长度是1米，且与米尺的方向无关；在S系计量，该米尺在不同的方向会有不同的长度，当与X’方向一致时，计量结果是1/r米；当与Y’方向一致时，计量结果为1米。
第三步：第二步计量规定的变化主要实现了S’系光回路速度等于c，但是还没有实现S’系光速各向同性的目标，要完成这一目标，还需要有最后一步的计量改造，我们令：调整S’系每一坐标点的时钟读数，根据所在坐标位置的x2’值，将时钟指针顺时针（或逆时针）拨动-vx2’/c2个读数，时针波动方向要根据-vx2’/c2的正负来决定，这一步其实就是对S’系时钟的重新对钟。将此步计量调整之后S’系的时空坐标表示为（x’,y’,z’,t’），则在这一步的计量改造完成之后，有以下结论（具体推导过程略）： 1、（x’,y’,z’,t’）与（X’,Y’,Z’,T’）之间的变换关系（这就是同一坐标系下，牛顿力学与相对论之间的时空变换关系）： x’=rX’ y’=Y’ z’=Z’ t’=T’/r-rvX’/c2 2、（x’,y’,z’,t’）与（x,y,z,t）之间的变换关系（这就是洛伦兹变换）： x’=r(x-vt) y’=y z’=z t’=r(t- vx/c2) 3、在S系，光的回路速度是不变的，都等于c。 4、在S系，光速具有各向同性，光的单向速度等于c。 5、在S’系，光的回路速度是不变的，都等于c。 6、在S’系，光速具有各向同性，光的单向速度等于c。 7、S’系X’方向的1米，在S系的计量结果是1/r米；S系X方向的1米，在S’系的计量结果是1/r米。S’系的1秒，在S计量为r秒；S系的1秒，在S’系计量为r秒。具有相对尺缩和相对钟慢，也具有了同时的相对性。 8、S系的一米尺到了S’系，两个系的计量结果是不同的。在S’系计量，该米尺的长度是1米，且与米尺的方向无关；在S系计量，该米尺在不同的方向会有不同的长度，当与X’方向一致时，计量结果是1/r米；当与Y’方向一致时，计量结果为1米。
至此，我们完成了伽利略变换向洛伦兹变换的演化，我们发现两者的差异完全是计量方法、计量规则约定的不同造成的，两者之间是对立统一的关系，伽利略变换和洛伦兹变换都可以成立。 特别指出的是，之所以把“以太”和洛伦兹“收缩假设”引入进来，目的在于回顾历史，看清洛伦兹变换的来龙去脉，实质上，无论“以太”是否存在，也无论洛伦兹“收缩假设”是否成立，如果把演变过程中与此相关的内容和结论去掉，上述演变过程和演变结果仍然成立。
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