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在XOY平面直角坐标系上，有两条平行的无限长直导线y1=0和y2=d。在y1上截取一段导线段长为L1，两端点的坐标为T10(x10，0)和T11(x11，0)，在y2上截取一段导线长为L2，两端点坐标在T20(x20，d)和T21(x21，d)。 在L1段上任取一点x1，该点dl1=dx1 在L2段上任取一点x2，该点dl2=dx2 连接dx1、dx1两点做有向线段r12 r12^2=(x2-x1)^2+d^2 sinθ=d/r12=d((x2-x1)^2+d^2)^(-1/2) 两电流元垂直作用力的微分式 dF21v=(μ0I1I2/4πr12^2)sinθdl1dl2 =(Asinθ/r12^2)dl1dl2 =A d ((x2-x1)^2+d^2)^(-1/2) ((x2-x1)^2+d^2)^(-1) dx1 dx2 =A d ((x2-x1)^2+d^2)^(-3/2) dx1 dx2 其中的A是简化被积函数的系数 A=μ0I1I2/4π 现在对其进行两次积分，先计算L1对dx2产生的力 dF21v1st=∫[x10,x11]dF21v =∫[x10,x11], A d ((x2-x1)^2+d^2)^(-3/2) dx1 dx2 =A[(((x11-x2) ((x11-x2)^2+d^2)^(-1/2))/d -((x10-x2) ((x10-x2)^2+d^2)^(-1/2)/d))]dx2 对这个一次积分结果进行二次积分 F21v=∫[x20,x21]dF21v1st =∫[x20,x21],A[(((x11-x2) ((x11-x2)^2+d^2)^(-1/2))/d -((x10-x2) ((x10-x2)^2+d^2)^(-1/2)/d))]dx2 =(√((x11-x20)^2+d^2)+√((x21-x10)^2+d^2) -√((x20-x10)^2+d^2)-√((x21-x11)^2+d^2))/d…………（V） 若取两导线平行对齐，有x20=x10=-L/2、x21=x11=L/2 F21v=A(√((L/2+L/2)^2+d^2)+√((L/2+L/2)^2+d^2) -√((-L/2+L/2)^2+d^2)-√((L/2-L/2)^2+d^2))/d =2A(√(L^2+d^2)-d)/d 单位长度的导线受力为 F21v/L=2A(√(L^2+d^2)-d)/(d L) 取L为正无穷大极限 Limit[L->+∞],[2A(√(L^2+d^2)-d)/dL]=2A/d =2(μ0I1I1/4π)/d =μ0I1I1/2πd 这和教科书中两无限长平行导线单位长度的垂直受力公式是完全一样的。 再看看平行分量 cosθ=(x2-x1)((x2-x1)^2)+d^2)^(-1/2) 两电流元平行作用力的微分式 dF21h=(μ0I1I2/4πr12^2)cosθdl1dl2 =(Acosθ/r12^2)dl1dl2 =A (x2-x1) ((x2-x1)^2+d^2)^(-1/2) ((x2-x1)^2+d^2)^(-1) dx1 dx2 =A (x2-x1) ((x2-x1)^2+d^2)^(-3/2) dx1 dx2 现在对其进行两次积分，先计算L1对dx2产生的力 dF21h1st=∫[x10,x11]dF21h =∫[x10,x11], A(x2-x1)((x2-x1)^2+d^2)^(-3/2) dx1 dx2 =A[((x11-x2)^2+d^2)^(-1/2))-((x10-x2)^2+d^2)^(-1/2))]dx2 对这个一次积分结果进行二次积分 F21h=∫[x20,x21]dF21h1st =∫[x20,x21],A[((x11-x2)^2+d^2)^(-1/2))-((x10-x2)^2+d^2)^(-1/2))]dx2 =A(Log[((x11-x20)^2+d^2)^(1/2)+x11-x20]+Log[((x10-x20)^2+d^2)^(1/2)+x20-x10]-Log[((x11-x21)^2+d^2)^(1/2)+x11-x21]-Log[((x10-x21)^2+d^2)^(1/2)+x21-x10])…………（H） 其中Log[x]是为以e为底的自然对数ln[X]，这是适合计算机软件的写法。 若取两导线平行对齐，有x20=x10=-L/2、x21=x11=L/2 F21h=A(Log[((L/2+L/2)^2+d^2)^(1/2)+L/2+L/2]+Log[((-L/2+L/2)^2+d^2)^(1/2)-L/2+L/2]-Log[((L/2-L/2)^2+d^2)^(1/2)+L/2-L/2]-Log[((-L/2-L/2)^2+d^2)^(1/2)+L/2+L/2] ) =0 这就是平行对齐的两导线平行受力分量是零，积分结果中平行分量因对称而互相抵消是可以从积分过程中看到的。 若两导线段平行但不对齐，平行分量可通过（H）式子给出、垂直分量由（V）式给出。 同样，两不平行的直导线，或者不在同一平面的直导线的受力情况则会更加复杂，我并没有意愿继续推导。 |
