对[楼主] [359楼]说：
请考虑看摆球的速度v，摆线和y轴的夹角a，任何时刻都有关系：vx=-vsina,vy=vcosa.摆球越靠近y轴，夹角越小，vx越小，当a为零时，vx=0,vy=v.

这个和在地面上刚好相反，地面上a=0时,vx最大。

vx=0了，依靠什么冲过y轴？

此外，这个球未到达y轴之前，球的运动是个变加速运动。模型不是一很容易做的。-），应关注建模是否有问题。请先把您的模型发表出来，至于计算不计算都无所谓。看到模型大家都可以计算了。

是的，此前的结论下得早了点——吃一堑，长一智嘛：-）

~无忧仙人

放心吧，这个一开始就注意到了，所以导出的二阶微分方程不是常系数的。这是左边小球的横坐标u满足的二阶微分方程以及事先设定的初始条件：

u''+(F/(2M))*(u/(L^2-u^2)^(1/2))=0，u(0)=L，u'(0)=0。

其中F为拉力大小、M为每个小球的质量、L为系小球用的细线的长度。

~无忧仙人

对[楼主] [363楼]说：
请注意，力F对线的作用点处是匀加速运动，加速度a是恒定值。在两小球未走到和力F同一直线那点前，F不是定值。

而且该方程似乎没有包括矢量变化的影响。忽略了球的轨迹切线方向的变化。这个方程应该是两个动点在X,Y平面上运动，对时间的二阶偏微分方程。

我先把加速系统中物体的基本受力情况以及所用符号贴出来，以下所有分析都将基于这个基本模型：

另外，假定F的作用点为(x1(t),y1(t))=(0,y1(t))，而f的作用点为 (x2(t),y2(t))，并令u(t)=x(t)=x2(t)-x1(t)=x2(t)，v(t)=y(t)=y2(t)-y1(t)。

最后，我在推导有关结果时假定F的作用方向为y轴的负方向，这一点务请记住。当然，如果有必要且大家要求如此，我可以把它改为y轴的正方向，否则那就先这样了。

你想使整个系统的竖直加速度为常数a，对吧？但是如果力F为常数的话，那么我在推导中发现你的要求可以满足；请等待下面的贴子。

这个不是问题。

另外，我已经把模型中用到的动力学方程列出来了，但贴子还未通过审核。

~无忧仙人

第一步：由系统在y轴方向上的作用力与反作用力的关系，得-F+2*f*Sin(theta)=0，即

F=2 f Sin(theta)……（1）

应用牛顿第二定律到质点M上，得(-f Cos(theta), -f Sin(theta))=(M x2''(t), M y2''(t))，即

-f Cos(theta)=M x2''(t)……（2a），-f Sin(theta)=M y2''(t)……（2b）

再由（1）、（2a）、（2b）可得

-F/(2 Tan(theta))=M x2''(t)……（3a），-F/2=M y2''(t)……（3b）。

以上theta表示同名的希腊字母（因直接输入不方便），Sin、Cos、Tan表示常用的三角函数，x2’’(t)表示x2(t)的二阶导数。

 请各位先鉴别以上方程的真伪，等确认正确了之后我再继续。

~无忧仙人

回王先生：

最早的那个系列模拟是基于想象有意那样设计的，不是严格理论推导的结果，因而从那里得出的结论不足为凭。

~无忧仙人

谢谢指正。我刚开始为了方便起见，考虑的是反方向的f，误以为这时的f与F是作用力与反作用力的关系。

现已修改。

~无忧仙人

抱歉，我忘了事先说明，F的作用方向其实是y轴的负方向，不是正方向，这一点现已在【365楼】做了说明。另外，F与f都只表示力的大小，不表示方向，所以做力的分解时都要在其前面加上负号。theta的变化范围显然是0到Pi，而y2’’显然总是负的，x2’’对于0<theta<Pi/2显然也是负的。此外，（3a）中的Tan出现在分母中，不在分子上，所以怀疑王先生看错了，如果没有，请再次审视你的看法，因为分母上的Ctan显然与模型不符。

简言之，有了以上说明，则王先生的疑虑应该打消了吧？当然，如果大家习惯于考虑沿着y轴正方的力F，那么我可以再做调整。

~无忧仙人

补充：

如果我把F的作用方向设置成了y轴的正方向，那么根据我们通常把坐标系画为右手系的习惯，此时theta便不再从0到Pi变化，而是从theta+Pi到2Pi变化，这样，如果theta的含义仍然是原来的模型图中所标，那么有关式子中的theta都应该更换为theta+Pi，特别地，我们有Cos[theta+Pi]= -Cos[theta]，Sin[theta+Pi]= -Sin[theta]，所以此时所有方程实际上保持不变。

第二步：考虑运动学方程与长度约束。按照此前的说明，(x1(t),y1(t))=(0,y1(t))表示F的作用点的坐标，而(x2(t),y2(t))表示f的作用点同时也是小球M的质心的坐标，注意到x(t)=x2(t)-x1(t)=x2(t)最初为正，而y(t)=y2(t)-y1(t)一直为负，于是我们有

Tan[theta]=y(t)/x(t)=(y2(t)-y1(t))/x2(t)……（4）

x2(t)^2+(y2(t)-y1(t))^2=L^2……（5）

这样，我们便列出了所有的动力学与运动学方程以及有关的约束条件。

以下将对有关方程进行整理、化简。不过先请大家审阅以上有关结果。

~无忧仙人

对[楼主] [379楼]说：
我确实看错了。在分母应是tan。加了（4）、（5）就完整了。您继续吧！

方程（5）在后面化简方程以及积分变换时要用。

我下一贴将继续推导并化简有关方程。

建模已经完成并贴出，正受审核。

我这里现在是白天，正是工作的时间，应该是你早该休息了吧。

~无忧仙人

明白。其实如果习惯的话，夜间工作的效率可以很高。

~无忧仙人

在一个长方型的透明塑料盒内，固定一细线拉一小球。在高铁内进行试验。高铁的加速有几分钟时间。

在透明塑料盒上方固定一个摄象机，拍摄高铁加速的几分钟时间内的小球运动情况，

我目前的知识认为：在小范围内，等效原理成立，小球有单摆运动。

审核一直没有通过，那我就再贴一次。

由方程（3a）与（4）可得

(-F/2)*x2(t)/(y2(t)-y1(t))=M x2''(t)……（6）

再由方程（5）可得

y2(t)-y1(t)=(L^2-x2(t)^2)^(1/2)……（7）

方程（7）右边的开平方项取正号是因为由模型的原始条件可知y2(t)-y1(t)>0。

然后把（7）代入（6）并整理，可得

x2''(t)+(F/(2M))x2(t)/(L^2-x2(t)^2)^(1/2)=0……（8a）

配合方程（8a），我们不妨设置初值条件：

x2(0)=L……（8b），x2'(0)=0……（8c）

方程（8a）、（8b）、（8c）就是我们需要的、待解的微分方程初值问题。

有关y2(t)的微分方程可直接求解，但是这里略。

建模过程到此结束，请各位审阅。

~无忧仙人

由（3a）与（4）可得

(-F/2) x2(t)/(y2(t)-y1(t))=M x2''(t)……（6）

再由（5）可得

y2(t)-y1(t)=(L^2-x2(t)^2)^(1/2)……（7）

注：方程（7）右端的开平方项取正号是因为我们总有y2(t)>y1(t)。

最后，将（7）代入（6）并整理，我们得到主要的微分方程：

x2''(t)+[F/(2M)]*x2(t)/(L^2-x2(t)^2)^(1/2)=0……（8a）

初值条件，比如：

x2(0)=L……（8b），x2'(0)=0……（8c）

（8a）、（8b）、（8c）就是待解的微分方程初值问题。

有关y2(t)的微分方程可以直接求解，但此处省略。

好了，模型的建立到此完成：-），请大家批评指正，以便进行下一步的工作。

~无忧仙人