牛顿力学与相对论相互间时空关系的一般变换及其推演

现有两个坐标系S₀、S，我们约定，对应这两个坐标系，牛顿力学的时空坐标依次表示为（X₀，Y₀，Z₀，T₀）、（X，Y，Z，T），两者之间满足伽利略变换，相对论的时空坐标系依次表示为（x₀，y₀，z₀，t₀）、（x，y，z，t），两者之间满足洛伦兹变换，且已知在牛顿力学子下S相对S₀的速度为V₀（Y、Z方向速度等于0）。

设在S₀系，牛顿力学与相对论的时空关系满足如下一般变换：

x₀=a₁₁X₀+a₁₂Y₀+a₁₃Z₀+a₁₄T₀……………………………………..……….….(1)

y₀=a₂₁X₀+a₂₂Y₀+a₂₃Z₀+a₂₄T₀……………………………………...………….(2)

z₀=a₃₁X₀+a₃₂Y₀+a₃₃Z₀+a₃₄T₀………………………………………………….(3)

t₀=a₄₁X₀+a₄₂Y₀+a₄₃Z₀+a₄₄T₀……………………………………………….….(4)

式中的a₁₁至a₄₄为不变量。由以上各式可得：

dx₀/dt₀=(a₁₁dX₀/dT₀+a₁₂dY₀/dT₀+a₁₃dZ₀/dT₀+a₁₄)/( a₄₁dX₀/dT₀+a₄₂dY₀/dT₀+a₄₃dZ₀/dT₀+a₄₄)

设相对论下S相对S₀的速度表示为v₀（即v₀= dx₀/dt₀），又根据已知条件有：dX₀/dT₀= V₀、dY₀/dT₀=0、dZ₀/dT₀=0，代入上式可得：

v₀=(a₁₁V₀+a₁₄)/(a₄₁V₀+a₄₄)………………………………………………………(5)

根据洛伦兹变换我们有（其中，r为1-v₀²/c²开方的倒数）：

x₀=r(x+v₀t)

y₀=y

z₀=z

t₀=r(t+ v₀x/c²)

将以上方程代入(1)至(4)可得：

x=r(a₁₁X₀+a₁₂Y₀+a₁₃Z₀+a₁₄T₀)-rv₀(a₄₁X₀+a₄₂Y₀+a₄₃Z₀+a₄₄T₀)………………….(6)

y=a₂₁X₀+a₂₂Y₀+a₂₃Z₀+a₂₄T₀…………………..………………………………….(7)

z=a₃₁X₀+a₃₂Y₀+a₃₃Z₀+a₃₄T₀………………….……………………………….….(8)

t=r(a₄₁X₀+a₄₂Y₀+a₄₃Z₀+a₄₄T₀)-rv₀(a₁₁X₀+a₁₂Y₀+a₁₃Z₀+a₁₄T₀)/c²…………….….(9)

根据伽利略变换我们有：

X₀=X+V₀T

Y₀=Y

Z₀=Z

T₀=T

将(5)式及以上方程代入(6)至(9)可得：

x=r(a₁₁(X+V₀T)+a₁₂Y+a₁₃Z+a₁₄T)-r(a₁₁V₀+a₁₄)(a₄₁(X+V₀T)+a₄₂Y+a₄₃Z+a₄₄T)/(a₄₁V₀+a₄₄)

y=a₂₁(X+V₀T)+a₂₂Y+a₂₃Z+a₂₄T

z=a₃₁(X+V₀T)+a₃₂Y+a₃₃Z+a₃₄T

t=r(a₄₁(X+V₀T)+a₄₂Y+a₄₃Z+a₄₄T)-r(a₁₁V₀+a₁₄)(a₁₁(X+V₀T)+a₁₂Y₀+a₁₃Z₀+a₁₄T₀)/(c²(a₄₁V₀+a₄₄))

以上方程组就是S系下牛顿力学与相对论时空关系的一般变换，该结论告诉我们：只要确定一个坐标系下牛顿力学和相对论之间的时空转换关系，则就能够确定任一坐标系下牛顿力学与相对论之间的时空转换关系，相对论的时空计量结果与牛顿力学的时空计量结果是可以互相转换的，伽利略变换与洛伦兹变换具有平等的地位，牛顿力学不是相对论低速情况下的近似，牛顿力学与相对论是地位平等、相对独立的两套不同理论体系。

特别是，当牛顿力学与相对论在S₀系约定的计量完全相同时（包括度规、时钟同步或同时约定、计量规则完全相同），则在S₀系牛顿力学具有光速各向同性，a₁₁至a₄₄中a₁₁= a₂₂= a₃₃= a₄₄=1，其它参数等于0，将这些参数代入上述方程组可化简为：

x=rX

y=Y

z=Z

t=T/r-rV₀X/c²

方程组中的V₀为坐标系S相对牛顿力学具有光速各向同性那个坐标系S₀的速度。而在“以太”学说中，如果S₀被认为是相对“以太”静止的坐标系，则V₀为牛顿力学下S系相对“以太”的速度，由此可知相对论与“以太”学说同样没有冲突。

还有，上述方程明确地告诉我们，除了相对论与牛顿力学计量相同的那个坐标系，相对论与牛顿力学在时空计量上至少存在如下区别：一是X方向有不同的度规，二是时间度规不相同，三是时钟同步约定不相同。

老刘，如果这一关节过不去，你对“相对尺缩”的理解最多只有一半。

相对论的“相对尺缩”与洛仑兹设想的“真收缩”是密切相关的，也是相对论和牛顿力学在X方向度规不同的原因所在。下面再换一种方式来讲解这个问题，或许这样的方式更容易理解一些。

在牛顿力学中，S系下，X轴正反方向的光速大小分别等于c-v、c+v，Y轴正反方向的光速大小都等于（c²-v²）的开方。现，在该坐标系下进行迈莫实验，已知当仪器臂与Y轴重合时，其长度都等于1米。

在牛顿力学下，假如仪器臂与X轴重合时仍然等于1米，则理论上迈莫实验结果不能等于0，与实验结果不一致。为此，洛仑兹设想，当仪器臂与X轴重合时，其长度变为1/r米，则理论结果与实验结果一致，这就是你所说的“真收缩”。

那么，为什么相对论中看不到这种“真收缩”呢？这就是“度规”的奥妙所在。相对论Y方向的度规与牛顿力学相同，而X方向则把牛顿力学的1/r米规定为相对论中的1米。因此，当仪器臂与Y轴重合时，牛顿力学和相对论的计量结果都是1米，当仪器臂与X轴重合时，牛顿力学和相对论得到的计量结果不相同，当洛仑兹说由于X方向发生了“真收缩”使得仪器臂在该方向的长度等于1/r米时，相对论中的测量结果恰好就是1米，如此以来在相对论中仪器臂的长度计量结果就保持了不变。

上述分析告诉我们，正是因为相对论和牛顿力学在X方向的“度规”不同，且与洛仑兹“真收缩”比例完全相同，相对论才不需用“真收缩”来解释迈莫实验结果。因此，相对论并没有否定洛仑兹设想的“真收缩”，这个“真收缩”与“相对论和牛顿力学在X方向的度规差异”完全一致。

即，你可以这样理解：“相对论和牛顿力学在X方向的度规差异”就是洛仑兹“真收缩”的体现。如果没有这个度规上的差异，那么，相对论中的“光速不变”不会成立，相对论同样需要设想一个“真收缩”才能解释迈莫实验的零结果。

已知，在牛顿力学S系下，X轴正反方向的光速大小分别等于c-v、c+v，Y轴正反方向的光速大小都等于（c²-v²）。

根据以上条件，给出如下两个命题：

1、对于同频率的光，仅仅通过改变“同时”或对钟，不能使得X、Y两轴正反方向的波长都相等。

2、对于同频率的光，仅仅通过改变“同时”或对钟，可以使得X、Y两轴正反方向的波长都相等。

老刘，对于上述命题，由你我各自选择认为正确的命题，并给出证明。如选择第二个命题，则只需给出一个实例即可。

327楼命题1的证明如下：

设在原点t1时刻沿X、Y各发射一个光子a、b，a光子沿X轴正方向运行到A点（A到原点距离为L1）折返，于t2时刻返回原点，b光子沿Y周正方向运行到B点(B点到原点距离为L2)折返，于时刻t3返回原点。

对于同频率的光，如果在X、Y两轴正反方向的波长都相等，则a、b两光子的回路平均速度一定相等。反过来，如果a、b两光子的回路平均速度不相等，则“在X、Y两轴正反方向的波长都相等”不成立。因此，要证明命题1成立，只需证明：仅仅通过改变“同时”或对钟，不能使得a、b两光子的回路平均速度相等。

首先，我们来求改变对钟前a、b的回路速度ua、ub。根据所给前提可知(其中,(c²-v²)^1/2表示:(c²-v²)的开方)：

t2-t1=L1/(c-v)+L1/(c+v)=2cL1/(c²-v²)

t3-t1=2L2/(c²-v²)^1/2

由于ua=2L1/(t2-t1)、ub=2L2/(t3-t1),结合上式可得:

ua=(c²-v²)/c

ub=(c²-v²)^1/2

上述结论告诉我们，改变对钟之前a、b回路平均速度不相等。

现以原点时钟为基准，允许调整A、B两点处时钟的初始读数，以改变牛顿力学的“同时”约定。由于t1、t2、t3是同一原点时钟显示的读数，所以无论A、B点的时钟如何改变读数，a、b回路平均速度的计算结果都不变。特别是，即使原点处时钟的初始读数也改变了，则由于t1、t2、t3 增减的数值相同，(t2-t1)、（t3-t1）的计算结果仍然是不变的，不影响a、b回路平均速度；如果既改变时钟的初始读数，又改变时钟的频率，则(t2-t1)、（t3-t1）同比例增减，还是不能使得a、b回路平均速度相等。

至此证明，在牛顿力学的基础上，仅仅通过改变对钟或改变“同时”约定，不能使得a、b两光子的回路平均速度相等。进而证明：对于同频率的光，仅仅通过改变“同时”或对钟，不能使得X、Y两轴正反方向的波长都相等。