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对【61楼】说： 在任何情况下（包括陡峭的线性区段），只要将变元增量取得足够（尽量）小，如0.002就可以得到良好的函数增量的近似值。 |
| 微分概念及其微分定义式是用微分做近似计算的铺路石。尤其是第二个特点，表达了Δx可以是具体数，“它与函数的增量相差一个数量”。它为实际用微分做近似计算时涉及到的非无穷小的具体数也可代入微分式铺平了理论道路。 |
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[62楼]：
任何可以写出的数字都不是无穷小，小数点后面有限个零的数都不是无穷小。 |
| 就是说函数增量式子Δy=dy+o(Δx)=y'Δx+o(Δx)才真正具有那第二条特性。 |
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比如我问你，1和20相比，1是高阶无穷小吗，你肯定会说不是。它们都是写的出来的数。同理0.001和0.02相比，0.001也不是高阶无穷小。 那么，成不了高阶无穷小的o(Δx)，显然不具有Δx→0的条件。按你的说法就不能使用微分式dy=y'Δx，使用了计算出来的也不是微分dy。 但，这都是你的一厢情愿。同济高数六版p115，公然写着例2： 求函数y=x^3当x=2，Δx=0.02时的微分， 解：dy=3x^2Δx=3*2^2*0.02=0.24 这是一个既真实又有力的例子。 |
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求函数y=x^3当x=2，Δx=2时的微分，
解：dy=3x^2Δx=3*2^2*2=24 哈哈，我会求微分了！ |
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[80楼]：
我要指出：用微分做近似计算的误差率是随着Δx增大而增大的，这本就是微分近似计算的特性。误差大，并不等于计算出的dy不叫微分，你懂吗？我前面都说过，如果放弃对误差的期望，则Δx取任意值都可以。这结果一点儿都不荒谬，而是正常结果。 |
| 在天文计算上、在引力场计算上，也会经常用到近似计算，假如自变量都用米的单位表示，哪个自变量增量不是大数？ |
| 那不就结了。只是你觉得误差大了，对吗？误差大还是小那就是另一个问题了，也许有的时候对误差的要求并不高，有的时候对误差的要求高，那是误差评估和处理的事情，跟微分概念的定义无关。 |