| 至于Δx应该如何取值才能做近似计算，完全要看函数增量点附近的弯曲程度。尽管理论上Δx→0时，所有的可微函数、在任何点x0附近都能做近似计算，但它是不可操作的，因为参与计算的数Δx没有一个是无穷小的。所以，Δx的取值就要因具体函数而论、依走向、趋势、弯曲度、或曲率半径的比值而定。从来以至永远也给不出一个界限，说Δx大于此界限就不能做近似计算！ |
| 至于Δx应该如何取值才能做近似计算，完全要看函数增量点附近的弯曲程度。尽管理论上Δx→0时，所有的可微函数、在任何点x0附近都能做近似计算，但它是不可操作的，因为参与计算的数Δx没有一个是无穷小的。所以，Δx的取值就要因具体函数而论、依走向、趋势、弯曲度、或曲率半径的比值而定。从来以至永远也给不出一个界限，说Δx大于此界限就不能做近似计算！ |
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对【61楼】说： 在任何情况下（包括陡峭的线性区段），只要将变元增量取得足够（尽量）小，如0.002就可以得到良好的函数增量的近似值。 |
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[62楼]：
重复的、众所周知的话就不用说了，没什么新意。 |
| 我也不继续在你东拉西扯的零散帖子里回复你了，以免你一删就全没了。 |
| 微分概念及其微分定义式是用微分做近似计算的铺路石。尤其是第二个特点，表达了Δx可以是具体数，“它与函数的增量相差一个数量”。它为实际用微分做近似计算时涉及到的非无穷小的具体数也可代入微分式铺平了理论道路。 |
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所以，我说的微分是和书中的微分意义是相同的。我看到的是全部，而非局部。你看到的是局部、是片面的。
当然，Δx很大时，用微分做出的近似计算值不能用，这本就是微分的特性，而不是否定微分的理由。 虽然近似值在Δx很大时不可用，但是这个关系Δy=dy+o(Δx)却是永远成立的，在函数定义域内成立！因此，[482楼]和[575楼]的问题，都可以通过关系Δy=dy+o(Δx)得到答案。正确率是百万分之百万。 |
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[62楼]：
任何可以写出的数字都不是无穷小，小数点后面有限个零的数都不是无穷小。 |
| 微分式的定义就是函数增量中惟一的一个线性部分。它实际上就是以切点为坐标原点、以Δx为自变量的切线方程。因此，教科书中微分特性的第一条，实际就是微分的定义。第二条实际上是Δx对微分和函数增量之间关系的影响。 |
| 如果不把微分和函数增量并提作比较，则第二条特性也不存在。其实更准确地说，教科书中关于微分特性的第二条，用于说明式子Δy=dy+o(Δx)=y'Δx+o(Δx)更恰当！ |
| 就是说函数增量式子Δy=dy+o(Δx)=y'Δx+o(Δx)才真正具有那第二条特性。 |
| 微分是切线方程，切线又是直线，直线都是关于自变量线性的，因此微分并不具有和直线不同的特性，所以第一条都算不上特性，说它是微分的定义最恰当。 |
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对【66楼】说： 王糊涂，你不是说微分只有第二条是指微分的特性的么？第一条是指微分的定义的么？你怎么又承认微分具有两个特性啦？你不是说线性项就被定义为微分的么？所以你彻底输啦！你已经倒戈投诚啦！ |
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比如我问你，1和20相比，1是高阶无穷小吗，你肯定会说不是。它们都是写的出来的数。同理0.001和0.02相比，0.001也不是高阶无穷小。 那么，成不了高阶无穷小的o(Δx)，显然不具有Δx→0的条件。按你的说法就不能使用微分式dy=y'Δx，使用了计算出来的也不是微分dy。 但，这都是你的一厢情愿。同济高数六版p115，公然写着例2： 求函数y=x^3当x=2，Δx=0.02时的微分， 解：dy=3x^2Δx=3*2^2*0.02=0.24 这是一个既真实又有力的例子。 |
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[34楼]：
“按照你的逻辑 y＇=dy/dx 也是非法的，只能写成：y＇≈dy/dx ？？？无理取闹的家伙 ” 朱顶余，我不知道你这句话什么意思？ |
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求函数y=x^3当x=2，Δx=2时的微分，
解：dy=3x^2Δx=3*2^2*2=24 哈哈，我会求微分了！ |
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现在利用77楼计算出来的微分求近似值。
我现在想求函数y=x^3在x=4处的近似值，误差要求同一数量级，y(x=4)≈y(x=2)+dy=8+24=32,经验证，近似结果符合要求，没有超出同一数量级的精度要求。 |
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[80楼]：
我要指出：用微分做近似计算的误差率是随着Δx增大而增大的，这本就是微分近似计算的特性。误差大，并不等于计算出的dy不叫微分，你懂吗？我前面都说过，如果放弃对误差的期望，则Δx取任意值都可以。这结果一点儿都不荒谬，而是正常结果。 |
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[80楼]：
我要指出：用微分做近似计算的误差率是随着Δx增大而增大的，这本就是微分近似计算的特性。误差大，并不等于计算出的dy不叫微分，你懂吗？我前面都说过，如果放弃对误差的期望，则Δx取任意值都可以。这结果一点儿都不荒谬，而是正常结果。 |
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对于y=1/x，若取x0=1000000处，Δx=8的近似值，可以不可以呢？
完全可以！而且近似精度很高！而且x0越大的地方，近似精度越高。这就打破了你说近似计算所用的Δx不能为大数、不能为整数的胡说八道。一切近似计算都要看具体函数情况。 |
| 在天文计算上、在引力场计算上，也会经常用到近似计算，假如自变量都用米的单位表示，哪个自变量增量不是大数？ |
| 函数微分必须同时具备两条特性：其一，属于函数增量关于自变量增量的线性项，其二，必须保证其线性项成为其函数增量的主部（即属于等价无穷小）。 |
| 那不就结了。只是你觉得误差大了，对吗？误差大还是小那就是另一个问题了，也许有的时候对误差的要求并不高，有的时候对误差的要求高，那是误差评估和处理的事情，跟微分概念的定义无关。 |
| 就好比说，女童属于女人，但女人并不一定都是女童，所以：女童的定义应该是年幼的女人 |
| 类似地有函数的微分属于函数增量关于变元增量的线性项，但是线性项不一定叫微分，当且仅当，变元趋于无穷小时的线性项才叫微分。 |