| 至于Δx应该如何取值才能做近似计算，完全要看函数增量点附近的弯曲程度。尽管理论上Δx→0时，所有的可微函数、在任何点x0附近都能做近似计算，但它是不可操作的，因为参与计算的数Δx没有一个是无穷小的。所以，Δx的取值就要因具体函数而论、依走向、趋势、弯曲度、或曲率半径的比值而定。从来以至永远也给不出一个界限，说Δx大于此界限就不能做近似计算！ |
| 至于Δx应该如何取值才能做近似计算，完全要看函数增量点附近的弯曲程度。尽管理论上Δx→0时，所有的可微函数、在任何点x0附近都能做近似计算，但它是不可操作的，因为参与计算的数Δx没有一个是无穷小的。所以，Δx的取值就要因具体函数而论、依走向、趋势、弯曲度、或曲率半径的比值而定。从来以至永远也给不出一个界限，说Δx大于此界限就不能做近似计算！ |
|
对【61楼】说： 在任何情况下（包括陡峭的线性区段），只要将变元增量取得足够（尽量）小，如0.002就可以得到良好的函数增量的近似值。 |
|
[62楼]：
任何可以写出的数字都不是无穷小，小数点后面有限个零的数都不是无穷小。 |
| 就是说函数增量式子Δy=dy+o(Δx)=y'Δx+o(Δx)才真正具有那第二条特性。 |
| 微分是切线方程，切线又是直线，直线都是关于自变量线性的，因此微分并不具有和直线不同的特性，所以第一条都算不上特性，说它是微分的定义最恰当。 |
|
比如我问你，1和20相比，1是高阶无穷小吗，你肯定会说不是。它们都是写的出来的数。同理0.001和0.02相比，0.001也不是高阶无穷小。 那么，成不了高阶无穷小的o(Δx)，显然不具有Δx→0的条件。按你的说法就不能使用微分式dy=y'Δx，使用了计算出来的也不是微分dy。 但，这都是你的一厢情愿。同济高数六版p115，公然写着例2： 求函数y=x^3当x=2，Δx=0.02时的微分， 解：dy=3x^2Δx=3*2^2*0.02=0.24 这是一个既真实又有力的例子。 |
|
求函数y=x^3当x=2，Δx=2时的微分，
解：dy=3x^2Δx=3*2^2*2=24 哈哈，我会求微分了！ |
|
[80楼]：
我要指出：用微分做近似计算的误差率是随着Δx增大而增大的，这本就是微分近似计算的特性。误差大，并不等于计算出的dy不叫微分，你懂吗？我前面都说过，如果放弃对误差的期望，则Δx取任意值都可以。这结果一点儿都不荒谬，而是正常结果。 |
| 函数微分必须同时具备两条特性：其一，属于函数增量关于自变量增量的线性项，其二，必须保证其线性项成为其函数增量的主部（即属于等价无穷小）。 |
| 就好比说，女童属于女人，但女人并不一定都是女童，所以：女童的定义应该是年幼的女人 |