| 你只要承认我对微分定义的理解没有产生错误就证明了是你们对微分的理解是错误的了，这就足够了。到了现在不要再学川先生那样甩锅了！ |
| 你只要承认我对微分定义的理解没有产生错误就证明了是你们对微分的理解是错误的了，这就足够了。到了现在不要再学川先生那样甩锅了！ |
| 对基础概念的理解必须扎实，才能对更后面的东西理解正确。如果对最基础的微分概念都没有理解透彻，仅凭自己的一相情愿认为、想当然出来的东西就没有根基。 |
| 微分的特点是：1）△x=dx取值越小，它越接近函数的增量△y。2）△x=dx取值越大，它越远离函数的增量△y。这两个都是微分的特点。积分也就是利用了这个特点才完成的恢复高阶无穷小。 |
| 微分是无穷小，只是一斑，微分是任意数才是全体。到底是谁只见了一斑？ |
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函数的微分dy是任意数，它所对应的自变量增量dx也是任意数，但是只有自变量增量dx小的时候，它才更接近函数增量△y，这本身就是微分的特性。人们利用微分的这个特性去做近似计算，当然是微分越小近似程度越高了。当我们把dx取大，微分dy就会和函数增量△y有很大的偏差，这个偏差程度也是没有限制的，因此这时是不能做近似计算的。不能做近似计算了，不能说此时得出的dy就不叫微分了，因为这也是微分的特性导致的结果。
过去就有位先生，出了个问题，让我计算某函数在某个点某个自变量增量的情况下的微分数值，当然他给出的增量不是一个小的数。我按照定义给他计算出了结果，当然这个结果和函数的增量△y是非常不同的，于是他就接受不了，认为我错。其实他是不知道，这结果正是微分的特性给出来的，不管计算出的结果是什么，合不合自己一厢情愿的心思，这结果都叫微分。 |
| 还有的人，私自给出了微分的数值限制，说什么微分的数值不能大于1，甚至还宣称对微分的认识他和某位知名先生达成了共识。对这种宣称我并不当真，如果我当了真，无疑就增强了对某些人的看不上，认为他们才应该再去学一年。我并不愿意说很多搞科学的知识分子的数学基础不扎实。 |
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对213楼
“积分也就是利用了这个特点才完成的恢复高阶无穷小” 绕了这么一大圈，原来你王普霖对积分是完全的“零”概念！怪不得一大堆的胡言乱语！ 你自己去慢慢学习吧 |
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举例来说
如v=v(t)是某质点作直线运动时，速率v是随时间t 变化的函数。 根据微分的定义，有 ds=v(t)*dt 在某一时刻v(t1)为100米/秒 此时，就dt的取值来说可以不受限制，如果dt取值100秒，ds就是10000米，这从微分的定义来说是没有任何问题的！！ 但问题是，所得的ds（10000米）表示的是在100秒内质点以恒定速率100米/秒走过的路程，而实际上质点在这100秒内速率已发生了改变，所得到的ds（10000米）并不是质点实际走过的路程，所以这ds（10000米）是没有价值的废料！！ 但注意到，dt取值越大，ds与实际的路程△s相差越大。dt取值越小，ds与△s相差越小，当dt为无穷小时，ds的极限值与△s精确相等，仅在此时ds才是有价值的，此时把所有时刻ds的极限值（dt为无穷小）相加所得到的总s即为精确的总路程，这就是积分。 dt的取值不仅要看微分还要看积分，微分和积分是一个整体，不可能分割开来，所以，在微积分中dt或dx表示的是无穷小！！ |
| 什么叫“管中窥豹”？你以为我就知道微分定义，不知积分是怎么回事啦？我这么扎实的基础能不懂积分？我都把积分概括为积分的本质是恢复高阶无穷小了，我还能不知道积分是怎么回事？ |
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[185楼]：
你[150楼]写得不对，你写明白了什么？ 当自变量的微分dx为无限小的时候，△y和dy相差一个高阶无穷小，不能精确相等。 [186楼]： 你不用提示，这在我过去的讨论中都提过。 |
| 我这里说微分的定义呢，这ds（10000米）是没有价值的废料，它也是微分！ |
| 再说了我也没说过微分不能是无穷小啊，是你看不懂别人的话还是怎么的？ |
| 到如今你也知道要取极限值啦？无穷小和取极限还差着一个步骤呢！把无穷个无穷小的微分积起来，结果只能无限趋近一个极限值——积分结果，但是不等于极限值，必须最后取极限才能得到精确的结果。 |
| 把无穷个无穷小的微分积起来，结果只能无限趋近一个极限值——积分结果，但是不等于极限值，它和极限值还差一个高阶无穷小。 |
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“当dt为无穷小时，ds的极限值与△s精确相等”
不取极限的话，永远不相等！不取极限之前，ds和△s永远相差一个o(△t)。 |
| 由△s到ds损失了一个o(△t)，从ds到△s要弥补上一个o(△t)。 |
| 比如说ds=2tdt，那就有△s=2tdt+(dt)^2。这个加上的(dt)^2就是高阶无穷小o(△t)。 |
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求积分其实就是求微分的反过程。我举一个最简单的例子吧，有一个函数的微分dF=f(x)dx=2xdx，我要想求原函数F(x)，又不想查积分表，也不记得这个原函数是F(x)=x^2+C了，怎么办？我告诉你一个方法，加上一个合适的高阶无穷小：
dF=2xdx △F=dF+o(dx)=2xdx+(dx)^2 =2xdx+(dx)^2+x^2-x^2 =(x+dx)^2-x^2 =F(x+dx)-F(x) 我们一下子就看到原函数的样子了，原来原函数的样子是F(x)=x^2。当然你还可以加个常数C。 |
| 我在前面已经把教材上的微分定义和说明写出来了，你怎么反对？你反我就是反教材。 |