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[现在的问题是，变分与积分是不是可以交换]
可以交换！我就是这样做的！大家都是这么做的！在数学上就有这样的交换定理：定积分的微商等于被积函数的微商再取定积分。 这里微商之后并没有继续积分，因为被积函数的微商后的定积分等于零，那么只有零的定积分才等于零，所以被积函数的微商必然等于零，就在这个数学分析的前提下得到了欧勒微分方程。其中的数学逻辑既精彩又严密。过一关显一将！每过一关都必须迸发一个数学灵感才能闯过去，最后居然得到了绝热方程，这都是事先万万没有料想得到的！结果出来后，才恍然大悟！哦，原来 比熵平衡规律 属于 普遍规律。 热力学体系的死寂态标志着体系的总熵出现了一阶微商等于零，因为体系的总熵不再增减！而体系的总能量一直保持不变。 不允许体系拥有更多的极值物理量，否则就构成了 超定方程组 ！超定方程组是无解可求的！ |
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TO [125楼]：
可以不用变分法。当它是永久静置气体时，层与层之间的热传导停止，因此dQ=TdS=0, 也就是du+pdV＝0， 将它与p=ρRT联立，就可以得到（3/2）RlnT-Rlnρ=C。 |
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最大熵原理（平衡态原理、无熵变、体系总熵一阶微熵等于零） 乃热力学体系 首要约束条件！ 否则 你就无法确定热力学体系究竟会不会平静下来？ |
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准静态等温可逆膨胀过程，体系一直处于热力学平衡态，但气缸内的气体的熵却一直在增加着！但是该气缸外的热源的热熵却一直在减少着！两者之和恰好等于零！所以整个大体系的总熵虽然在平衡态过程保持不变，但这并不意味着各个局域的熵也一直保持不变！只不过各个局域熵的代数和一直等于零。
对气体作无粘滞加速流动的过程就是一个 （著名的） “定熵流动过程”（参与《可压缩流体动力学》）（如超流体液氦的加速喷射）；那就是一种动态过程；静态 就是动态过程的一个（平衡）状态！“过程”就是由一系列连续（渐变）的 “状态”连续而成。我们只关注过程中的一种状态——平衡态（最大熵状态，熵的变化率等于零的状态）；当体系从非平衡态逐渐逼近平衡态的过程中挑选一种状态——无熵产状态。以后，体系就定格在这种状态！ 在 定熵流 中，尤其在其加速流动的流域，其密度、温度、压力可以与时间无关（即“稳衡态”、恒定的 流场）但各点的 压力、温度、密度 却可以各不相同；既可以存在温度梯度、压力梯度、密度梯度；其实依据相对论中的“等效原理”，无粘滞匀加速流动的流体就等效于静止在匀强力场中的流体。那么各部分存在着温度梯度，究竟会不会引起热流呢？这就是争论的焦点！对于静止在匀强力场中的流体，肯定没有热流！但此时有没有温度梯度呢？这又是一个疑问！ 但是 对于整个绝热封闭的体系来说，谁都坚信其总熵保持不变（处于最大熵状态、处于总熵的一阶微熵等于零的状态）；所以将体系各部分的熵累加起来再微商，依据定积分与微商的次序交换不改变其结果的数学法则，即可先微商局域的熵。 这就是为什么整体法与局域法殊途同归的真谛！ 就是因为定积分与微商可以交换次序的数学法则在消除了疑问！ 直接微商局域熵，将隐含着许多疑惑，心有余悸，心里不踏实，而整体法却彻底消除了疑惑！何乐而不为！ 我这里有两点：1，动态法求静态，2，整体法求局域。 静态寓于动态（过程）之中；局域寓于整体之中。 所谓 静态就是过程中的一个状态的定格，过程就是由一系列状态连续而成！路线就是由一系列站点连续而成。 局域与整体 静态与动态 这些概念都具有对立统一性的物理内涵。 这里的关键还是借助定积分与微商的可交换性才得以消除疑虑。 另外，这并不是 你我在争论，而是热统界（静态）与《大气科学》《可压缩流体力学》（动态过程）的普遍争论！热统界 决不能理解《大气科学》《可压缩流体力学》中的定熵流动（“多元大气柱”乃大气定熵流过程中的一个状态定格而以）。 就是因为《大气科学》《可压缩流体力学》没有引用 变分法 ；没有借用 定积分 与 微商 的可交换性的运算法则。不仅仅要依据最大熵原理（无熵变），还要借助运算程序的可交换性的数学法则！ 才能堵住思维漏洞，使得逻辑过程严密得无懈可击！ 这就是长期以来，热统界 拒不接受《大气科学》《可压缩流体力学》中的定熵流方程的症结所在！ 而《大气科学》《可压缩流体力学》都以“来不及进行热交换， 近似绝热”来支吾搪塞！ 这就是 我反复唠叨的 苦心孤诣！一旦 突破了这个思维屏障，热力学就会焕然一新！用北大赵凯华的话说，这属于《 非惯性热力学》 ，这属于 新兴学科 尚无统一的成熟的理论体系。沈博士，你怎么就看不到这里的伟大意义的呢？北师大理学院的老师说，如果谁能给出严格理论证明：在匀强力场中绝热封闭久置着的理想体内不同的高度存在着永恒的温度差异！我们保证他获得诺贝尔大奖！ 沈博士，你已经再三公开承认 这仅仅是一个习题而已——易如反掌！那你就易如反掌地获得诺贝尔大奖！ |
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[层与层之间的热传导停止，因此dQ=TdS=0, 也就是du+pdV＝0， 将它与p=ρRT联立，就可以得到（3/2）RlnT-Rlnρ=C。] 这仅仅是启用了热力学第一定律！依然没有涉及到热力学第二定律（平衡态原理、无熵变）。 [dQ=TdS=0, 也就是du+pdV＝0]满足这个关系的不仅仅是平衡态（无熵变）也适用于 稳衡态。譬如当流进这个局域的热能与从这个局域的另一侧流出的热能相等时，也满足dQ=TdS=0,以及du+pdV＝0，这就有漏洞了！就不是严密得无懈可击的了！所满足的情形不具有唯一性。 对于死寂态体系中的各个局域，不仅其所拥有的熵一直保持不变，而且其所拥有的物质也是保持不变的，其温度也是保持不变的！按照你的逻辑：就可以依次推断各局域所有的物质、热能也都相等？ 所以不能因为各局域的熵（对时间）保持不变，就可以推断各局域的熵保持相等（对空间坐标也保持不变）。 对于 死寂态 可以肯定 没有热流和粒子流，这只能断言各局域的熵对时间保持不变！但尚不能断言各局域的熵对空间坐标也保持不变？ 亦即虽然有 эs/эt = 0 ；但这并不意味着一定也有 эs/эz= 0 。在死寂态虽然各局域的熵一直固守一个常数；但各个局域所守的常数也并不一定相等。 但 变分法 就严格导出 在死寂态体系 比熵 等于一个常数（与空间坐标无关）。而在变分法中这比熵是用于整个体系的；而且欧勒方程中在对密度、温度偏微熵的过程也蕴含着对空间坐标的微熵，因为密度、温度都是空间坐标的函数；所以从欧勒方程中所得到的常数那就是与时间、空间都无关的常数。 |
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越来越无聊了。一个无深刻意义的的习题被一个臆想者上升为多学科大融合意义，这太晚了。你在200年前可以去这么写一本书，或许是有意义的，现在你再来这么进行大学科意义提炼，拾人牙慧，无创造性可言。
原本是一个简单习题，却被你在与人沟通时，弄得颠三倒四，让对方思路错乱，跟着你的思路走，以致对方胡言乱语（我一开始的几个帖子也有胡言乱语）。对方原本是在讽刺你，认为温度梯度决不可能有。但没有想到，这个温度梯度却真的存在，的确讽刺错了。但你也有责任，自己一开始思路也不清。 对于你的“只有 依据 平衡态原理（最大熵原理） 运用 变分法 所获得的 熵平衡条件 才经得起诘难”，当然，这的确会更严格，更舒服一点。你可以去使用。但是你来进行宏观超大学科意义上的说法，则太晚了。一个简单习题罢了。你说得哪一句话有新意？即使要来进行宏观超大学科意义上的佛法弘扬，那也被一两百年前的人弘扬过了。 |
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太晚啦？拾了前人的牙慧？没有新意？步人后尘？ 如果真的如此？ 那我就放心了！我就可以放心地去死了！因为，我只是担心在我死后，没有人会再愿意提起力场也可以导致温度梯度的话题了？ 我在这个论坛曾几次发帖——指在 投石问路 ………… 也曾多次发起“豪赌”…………试图 敲山震虎，但都未见应答…………我以为我出生太早，进入无人之境，和者盖寡………… 万万没有料到 沈博士 无愧于一个博士称号，的确博学多才！虽然不属于热统专业的博士，但却胜过热统专业的博士! 奢望在全国能有不止一个这样的拥有真才实学的优秀博士！一专多能的博士！ 在力场中的死寂态热力学体系 有了“温度梯度”（熵平衡条件）（热力学静态方程组）这根中流砥柱，就可以横架跨海大桥啦！就可以轻松破译诸如：热寂论之谜，恒星（如白矮星）永恒发光之谜；“温度梯度”（熵平衡条件）（热力学静态方程组）还可以引入电子云系统，顺利破解类氢原子基态电子云的几率密度分布函数；替代了量子力学的薛定谔方程。 熵平衡条件 即 比熵平衡规律 具有普遍性意义。比信息熵平衡规律 很有指导意义。 依据 “温度梯度”（熵平衡条件）（热力学静态方程组） 的严格求解获悉：类氢原子的基态电子云是有界的！大气是有界的！气态天体是有界的！并不是按照负指数规律延伸到无穷远处。 修正了 傅氏热流定律！ 傅氏热流定律 以为只有温度梯度才是热流的驱动力！ 引力（惯性力）也都是热流的驱动力！所以在引力场中必须存在一定量值的温度梯度（热流驱动力）与引力（所对应的热流驱动力）相抗衡，方可保证无热流！ 若将 du+pdv=0与vdp+mgdz=0相加并积分便得：H+mgz=C 其中 “H” 表示 理想气体的 摩尔焓 ，这就是著名的 《可压缩流体的力学》中的 静力学方程；还可得到 H+1/2mu^2+mgz=C 即可压缩流体的动力学方程。 其实 比熵等于常数这个关系式早已被各个领域所运用（如 波动方程、汤玛斯费米方程）；只不过人们既没有对其进行大张旗鼓地严格证明（讨论）；也没有应用到静态热力学体系，人们一直以为在重力场中物系的温度仍然应该是均匀的！前苏联的廊道在《统计物理学》中也没有注意到在力场中，平衡态流体的比熵总是处处相等！ 北大理学院的赵凯华至死不悟！负隅顽抗，坚决否认力场与温度场也会有瓜葛。他们认为力场只能影响粒子的分布规律。 比熵平衡规律还指出在死寂态，氢气与氧气、氮气、二氧化碳等气体的组分比总是保持处处相等！并不是氢气聚集在上方！比熵平衡规律是对整体而言的，并不是只对某一种成份而言的 ！ 总之 比熵平衡规律 将会修正我们许多传统的生活体验！ 沈博士，确认 温度梯度（比熵平衡规律） 并不是结束（并不是一个孤立的事件），这只是一个序幕，将有更多的精彩推论接踵而来…………这才刚刚打开宝库的大门（捅破了窗户纸），金银珠宝 琳琅满目………… 等待有识之士的挖掘………… |
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恆星結構方程式 最簡單和最常用的恆星結構模型是球狀對稱的準靜態模型，假設恆星是處在穩定狀態並且是球型對稱，它包含4個基本的一階偏微分方程：兩個用來描述物質和壓力隨著半徑的變化；另外兩個用來描述溫度與光度隨著半徑的變化。[4]。 在組成的恆星結構方程式 (利用假設的球狀對稱)中，要考慮的各項是物質密度 <math>\rho(r)</math>、溫度 <math>T(r)</math>、總壓力 (氣體的熱壓力加上輻射壓)<math>P(r)</math>、光度<math>l(r)</math>，和在距離中心<math>r</math>，厚度<math>\mbox{d}r</math>的球殼，每單位質量的能量孳生率<math>\epsilon(r)</math>。這顆恆星被假設局部熱力平衡(LTE)，所以物質和光子的溫度相等的。雖然局部熱力平衡不是嚴格的被遵守，因為對指定的殼層之下的溫度永遠比上面的高，良好的近似範圍可以估計是光子的平均自由徑 <math>\lambda</math>，因為這個長度遠比考慮的溫度變化為小，也就是說<math>\lambda \ll T/|\nabla T|</math>。 第一種狀態是流體靜力平衡 ：恆星內部向外的力量來自壓力梯度與來自萬有引力向內的力量完全平衡。 <math> {\mbox{d} P \over \mbox{d} r} = - { G m \rho \over r^2 } </math>, 此處<math>m(r)</math>是在殼層<math>r</math>內部累積的總質量，G 是萬有引力常數。累積的總質量依據 質量連續方程式隨著距離的增加而增加： <math> {\mbox {d} m \over \mbox{d} r} = 4 \pi r^2 \rho .</math> 質量連續方程式的積分由恆心中心(<math>r=0</math>) 至恆星半徑為(<math>r=R</math>) 之處時，就可以得到恆星的總質量。 考慮能量從球殼向外傳送的是能量方程式： <math> {\mbox{d} l \over \mbox{d} r} = 4 \pi r^2 \rho ( \epsilon - \epsilon_\nu )</math>, 此處<math>\epsilon_\nu</math>是單位質量以微中子的形式產生的光度(通常不會與一般的物質產生交互作用而逃離恆星)。在恆星的核心之外，核反應不會發生，也就是沒有能量產生，因此發光度是一個常數。 能量轉移方程式決於能量轉移的模型而有不同的形式。以傳導性的光度轉移(適用於白矮星)，能量方程式是： <math> {\mbox{d} T \over \mbox{d} r} = - {1 \over k} { l \over 4 \pi r^2 },</math> 此處k是 導熱率。 在能量以輻射傳送的情況下，這適用於主序帶上與太陽類似，核心外有殼層包圍著的大質量主序星的恆星內部： <math> {\mbox{d} T \over \mbox{d} r} = - {3 \kappa \rho l \over 64 \pi r^2 \sigma T^3},</math> 此處<math>\kappa</math>是物質的不透明性，<math>\sigma</math>是 斯特凡-波茲曼常數，並且波茲曼常數被設定為1。 在能量以對流傳送的情況下(適用於所有主序帶上沒有輻射部分的巨星和低質量恆星)，已知可用數學公式還沒有一個是嚴謹的。對流的能量傳送通常都使用混合長度理論，混合長度理論對恆星氣體的處理是認為分離的各種不同元素，保留了周圍的溫度、密度和壓力，但是在恆星內能移動的距離就是特徵長度，稱為混合長度[5]。對單原子 理想氣體，混合長度理論認為： <math> {\mbox{d} T \over \mbox{d} r} = \left(1 - {1 \over \gamma} \right) {T \over P } { \mbox{d} P \over \mbox{d} r},</math> 此處<math>\gamma = c_p / c_v</math>是絕熱指數，在氣體就是比熱的比率(對完全電離的理想氣體，<math>\gamma = 5/3</math>.)。 還需要狀態方程式，關係到其他區域的壓力變化，適用於材料，像是溫度、密度、化學組成等等。相關的狀態也許必須包括理想氣體定律、輻射壓、來自電子簡併的壓力等等。 與一系列的邊界條件組合，這些方程式的一個解可以完整的敘述恆星的行為。典型的邊界條件設由觀測的參數來設定數值，適當的恆星表面(<math>r=R</math>)和中心(<math>r=0</math>)：<math>P(R) = 0</math>，意思是恆星表面的壓力為0；<math>m(0) = 0</math>為在恆星的中心沒有質量；如同必須假設密度是有限的，<math>m(R) = M</math>就是恆星的總質量；而<math>T(R) = T_{eff}</math>是恆星表面的有效溫度。 雖然現在的恆星演化模型能描述赫羅圖的主要特徵，重要的改進已經能將與我們再傳送現象的知識及現下仍不確定的因素移除，但最困難的挑戰依然是擾動的數值作業。一些研究小組正在開發的模型可以演算在三度空間的簡易擾動。 |
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白矮星并不是死寂态！！！！白矮星永远不会死寂！你我在这里所讨论的模型一直是理想气体，忽略了热辐射！理想气体仅仅是一个不荷电不带磁的弹性质点的无序集合而已，必须忽略热辐射！必须是死寂态！ 这个设想 十年前就与北大理学院大气科学系的博导李万标以及李飞龙博士畅谈过了！他们毫不惊讶！ |
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总之，力场（含惯性力场、色散力场、应力场）也是传导热流的一种驱动力，这个最新结论，不仅骇人听闻，更有普遍意义！
迄今为止，也只有 西北工业大学的杨新铁老师与浙江大学的沈建其老师透彻理解坚决相信！在国内尚无其他高校理科老师对此结论达到如此深刻的理解！甚至许多高校理科老师痛恨这个奇谈怪论，就像李子丰痛恨光速不变的论调一样！ 形势不容乐观！ 我真的不明白为什么浙大的老师理解力如此之强！浙大的盛正卯老师也一点即通！浙大是人杰地灵的高校！北方的老师拒不接受！誓死反对！ |
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引力（含惯性力、色散力、应力）与温度梯度一样也属于传导热流的驱动力，这个最新结论，不仅骇人听闻，更有普遍意义！ |