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对于单原子理想气体的绝热方程是：
（3/2）RlnT-Rlnρ=C 其中R表示气体普适常数，T表示温度；ρ表示数密度；C 为体系常数。状态方程则是： p=ρRT 静力平衡条件则是： dp+mgρdz=0 其中m为气体的摩尔质量；g则为重力加速度；z 则为其参考高度。 联立这三道方程，从中解得温度分布函数：T=T.-2mgz/(5R) 其中T.为气柱底部的温度值。其中-2mg/(5R)就是单原子理想气体柱的温度的递减率，对于大气柱温度递减率就是：-2mg/(7R)。其中 m=29克 具体的求解过程： 首先微分状态方程 p=ρRT 得 dp=RTdρ+ρRdT 再将此式代入静力平衡条件dp+mgρdz=0 消掉dp得 RTdρ+ρRdT+mgρdz=0 再微分状态方程（3/2）RlnT-Rlnρ=C 得 RTdρ= （3/2）ρRdT，两边同时除以dz得 RTdρ/dz=（3/2)ρRdT/dz 再将RTdρ+ρRdT+mgρdz=0 的各项也同时除以dz得RTdρ/dz+ρRdT/dz+mgρ=0 用等项替换法将RTdρ/dz换成 （3/2)ρRdT/dz便得 （3/2)ρRdT/dz +ρRdT/dz+mgρ=0 整理得 dT/dz = -2mg/（5R）, 两边积分得 T=T.-2mgz/(5R) 对于大气则为 T=T.-2mgz/(7R) 其中 -2mg/(7R) 就是《大气科学》中多元大气柱的温度递减率的计算公式，m=29克。 其中（3/2）RlnT-Rlnρ=C 式可以依据平衡态原理（无熵产）运用变分法导出。 |
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to[不速游客]：当你参阅了[91楼]、[92楼]，你还会觉得那道题很难么？ ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 附： 一、初始条件（单原子理想气体系统的摩尔数=1；摩尔质量=4克；总能量=两大卡；匀强力场强度=每秒每秒两万米、系统容器的体积=两百万立方公里）；
我是在引导你等走向诺奖台............真的！ 这里的 温度梯度 决不是由热源维持的！而是由力场维持的！是 平衡态原理（无熵产）的直接推论！这个离经叛道的结论就是诺奖级结论！ |
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你80楼的观点没有什么创新和惊异之处，谈不上要担心“成了众矢之的”。
“温度是高度的函数”不是什么骇人听闻的结论。虽然研究静置多时的气体的温度分布，是一个较为复杂的问题，不是每个人都能考虑完整，但这个结论不是什么学术上的新创造。此外，我认为单一气体温度随着高度而增，你却认为相反，这就是我们的差别之处，只剩下谁对随错而已。你套用大气科学的结论，我觉得这与大气科学中“始终处于动态”过程是不同问题。 |
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[“温度是高度的函数”不是什么骇人听闻的结论。]
沈博士，你依然敢公开承认“温度是高度的函数”？！那你马上就会被“没收博士学位书”！ 你感到北大理学院（南楼）去重申你的论点么？ 不过北大理学院的北楼肯定不会对你言论感到大惊小怪！ 在热统界都不愿意相信“温度是高度的函数”的论调。但浙江大学的盛正卯很赏识“温度是高度的函数”这个论调。版主youngler[胡杨斌]是这个论调的领袖人物！奢望你们俩有机会沟通一下 不管是上高下低，还是上低下高，本质上都属于非均温派！都是挑战派！都是革命派！ 奢望沈博士能将这个问题搞个水落石出！ 你若去北师大理学院声称力场必将干涉温度分布，必然有人与你较劲：你若能给出严格的证明？保证你获得诺奖！ 确实，学术界虽然各执一词，但尚无文献给出严格证明！你若能给出严格证明，必将获诺奖！！！这并不是我说的！这是北师大理学院的老师与我较劲的！沈博士，你看着办！ |
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我觉得[92楼]的方法不是最佳的。理由如下：
为研究静置多时的气体，静力平衡条件dp+mgρdz=0，是对的。状态方程p=ρRT，也是可用的。但是对于绝热方程（3/2）RlnT-Rlnρ=C，我认为不好。 实际上，绝热方程（3/2）RlnT-Rlnρ=C，是能量守恒TdS=du+pdV与状态方程p=ρRT联立的产物（这儿，dV为体积变化量，du为内能变化量，dS为熵变化量）。只要令所谓的“绝热”，TdS＝0，熵不产生，就可以从这两个式子得到绝热方程（3/2）RlnT-Rlnρ=C。 但是我们从能量守恒TdS=du+pdV可以看出，虽然整个体系它是绝热的，但由于T, p，ρ都是高度z的函数，因而TdS=du+pdV中的dS也是高度的函数，也就是对于高度上的每一点的“气体元”而言，其实并不满足“绝热”条件，“气体元”与临近“气体元”之间是有热量交换的。因此，每一点上的TdS不等于零，每一点上的du+pdV也不等于零。因此，（3/2）RlnT-Rlnρ=C并不完整。因此541218的方法不对。正确的方法应该是：利用TdS=du+pdV来代替他的（3/2）RlnT-Rlnρ=C，且还要再加一个约束条件，即TdS对高度的积分为零（也就是说，整个体系是真正绝热的）。 541218的方法只是一个很近似的做法，需要一个前提条件，即假设“气体元”与临近“气体元”之间的热量交换比较缓慢，即假设：比起气体元内部变化而言，“气体元”与临近“气体元”之间可以近似看作‘绝热’。 实际气体可能的确会近似达到‘ “气体元”与临近“气体元”之间的热量交换非常缓慢’的条件，譬如大气科学问题。但是如果不谈这个近似（假设）问题，从一般意义上讲，那么541218的方法是不对的，应该用我上面建议的方法：能量守恒+静力平衡+物态方程。 JIAN QI SHEN, ZJU 2010-8-1 |
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对【93楼】说： 我完全不同意你所说的“......气团（属于宏观系统）在漫游过程（类似于布朗运动）一直保持绝热可逆地进行。漫游到哪里都与那里的压力与温度保持一致，所以并不存在热传导”。 气团, 可以理解为：因为物理量都是高度z的函数所以造成了用z来衡量的气团。不过没有先验的理由可以认为每一个气团的TdS=du+pdV中的TdS都是严格为零（即使静置多时。你既然有了“气团漫游”的过程，那么就不能先验假定S与高度无关）。我认为更为真实的过程应该是：气团（属于宏观系统）在漫游过程中一直保持着热交换，A气团把热量交换出去给B气团，必然有C气团再来把热量交还给A气团......，我认为这样更为一般更为客观。我这样考虑，我的方程比起541218的（3/2）RlnT-Rlnρ=C来，会多一项。即使如果这多出的一项最后被证明是零，那么我的方法也比541218的来得客观可靠。 |
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沈博士依然在不知觉地运用傅氏热流定律！所以在担心各局域的温度差异所引发的热传递；因为现在 热流定律与粒子扩散定律都不能露面（思考与分析过程不能考虑到热流定律与粒子扩散定律）！只知道热力学体系必然服从平衡态原理（无熵产）；接着运用 变分法 导出 比熵平衡条件。这时候对热力学理论体系还不知道更多！就像初中生刚学习化学这门功课，第一节提到什么叫化学变化？你不能向学生阐述：就是物质的分子没有发生变化，只是分子间的距离和聚集方式发生了变化。因为这时候，学生还不知道更多的化学概念！所以不许用分子这个概念来阐释！类似地，在热力学刚开始，只知道 平衡态原理（无熵产），当然早就知道 物态方程、静力平衡条件。只有澄清了热流的驱动力总共有哪些种类（是否除了温度场梯度还包括势场梯度）才能确定热流定律！现在尚不知道只有温度梯度是不是一定会导致热流产生？所以现在尚无理由分析是否有热流伴随？现在只敢断言气体处于死寂态肯定 无熵产！也就是说死寂态体系的总熵肯定与时间无关。所以 比熵平衡条件 当仁不让！这个所谓的 死寂态热力学方程组 是从 非平衡过程的 衡算方程组 演化过来的。 人们对 平衡态原理（无熵产）即 有限的热力学体系必死原理 毫无顾忌，毋庸置疑，没有任何人试图挑战平衡态原理！而力场是否属于热流驱动力的问题，却并不那么明朗、清晰，所以不能作为公理（出发点）！ 在选择公理（出发点）的时候应比较一下，看哪一个说法明显无争议！从中筛选出一个来作为公理，在热流定律、粒子扩散定律与平衡态原理（必死原理）种筛选一个！能量守恒定律是指存在热流和粒子流的过程才讨论此过程必须保证能量守恒，而在死寂态那就要关注 比熵、比能 谁最有可能均匀分布（平衡）的问题。与时间无关称之为守恒量，与坐标（高度）无关的 物理比量 则称之为平衡量。比熵 与 比能 在死寂态都属于与时间无关的守恒量，但它们之中最多只能有一个与高度无关的平衡量！现在就带着这个指导思想来分析比较一下究竟比熵 与 比能 哪一个最有可能属于与坐标无关的平衡量？ |
| "死寂态体系的总熵肯定与时间无关",但你不能保证每一个气体元的熵与高度无关的。这就是问题症结所在。只要熵（确切地说，是熵密度）与高度有关，那么就应该用TdS=du+pdV来代替你的（3/2）RlnT-Rlnρ=C（还要再加一个约束条件，即TdS对高度的积分为零（也就是说，整个体系是真正绝热的））。如果熵密度与高度无关，那么你的（3/2）RlnT-Rlnρ=C是对的，但是你首先必须证明“熵密度与高度无关”，但你没有证明，你只是使用了"死寂态体系的总熵肯定与时间无关",这只是一个整个体系的行为，这个行为我也要使用到（即整个体系是真正绝热的），但你还是没有证明出“熵密度与高度无关”。你只是先验地强制了一个条件而已。这不科学。 |
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TO [96楼]:
这个问题只是一个教学和应用物理问题，谈不上是一个基本科研问题，不要跟科研有关的任何词（什么诺奖，什么革命派）搭上关系。一个知识问题罢了。这就像问“3乘以0.3333333无限循环”等不等于1的问题，工程人士认为不等，但数学家说等，因为0.3333333无限循环就是1/3。各方意见不同，是学术争论吗？不是。 |
| 只要敢认定死寂态体系的总熵与时间无关，那就无熵产（一阶微商等于零），再运用 变分法 即可导出 熵平衡条件 ；这是一种思路；还一种思路：就是在无法抉择 比能平衡 与比熵平衡的时候可以采用淘汰（排除）法，因为无论是比能平衡 还是 比熵平衡，都必然导致体系温度与其参考高度有关！那就好了！这时再结合热力学理论中的四种热力学函数的适用条件，分为： 等容、等压、等温、等熵 这四种情况；在重力线上，显然不等容也不等压；现在就只剩下 等温与等熵这两种情况；二者必居其一！你自己看着办！究竟应该选择谁？ |
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以上我的帖子是在承认[92楼]主要思路方法的基础上而写的，只不过我认为[92楼]思路不是完善的，应该以TdS=du+pdV来代替他的（3/2）RlnT-Rlnρ=C，才完善。 现在，我否定[92楼]主要思路方法。为什么要否定呢？因为我们一直在争论的是这么一个问题：单一气体（最好也是单原子气体）在引力场中长时间静置的条件下，求解其p, T, ρ三个物理量的分布函数（是高度z的函数）。虽然分子总是在运动，但其实我们的问题不是统计力学问题，而是一个纯粹的静态的热力学问题，p, T, ρ三个物理量都是指静态的热力学物理量，不是动态的统计物理量，也不是要去考虑静态的统计物理量。因此，在这个意义上讲，在这个问题中，不存在任何与过程有关的方程。所谓的“气团绝热膨胀”以及“绝热方程”都是不应该在这里出现的（对于大气科学这样的教材中，它研究动态的过程，动态是主角，那么可用这些与动态有关的方程，但在这里，不可用）。因此541218的（3/2）RlnT-Rlnρ=C不应该出现，我的与此对应的方程TdS=du+pdV也同样不必出现了。 结论：为研究静置多时的气体（p, T, ρ之静力学分布，静力平衡条件dp+mgρdz=0是要的，状态方程p=ρRT，也是要的。我在过去先验地假定了整个气体有一个共同的温度，所以有了这两个方程，就可以把另外两个量p, ρ也就可以求出来了。这是“北大理学院（南楼）”以及我（还包括一些大学一年级物理教材）里的做法（即我们相信或者假设了“整个气体有一个共同的温度”，或者说“温度梯度比较小”，因此就这样简化处理了）。 但对于一个完整的问题的解答，客观的做法是：我们不应该先验地假定整个气体有一个共同的温度，应该相信气体温度T是高度z的函数，这样，仅有dp+mgρdz=0和p=ρRT是不够的。我们还需要第三个条件。但这个条件绝对不是任何与动态有关的方程，所谓“气团”和“气团绝热膨胀”等动态概念都不应该在这个问题（永久静置气体）的解答中出现。这就是我否决92楼方法的原因。92楼方法是自我矛盾的，他541218一方面宣称在研究长久静置气体（因此他相信分布结果与任何过程无关），另一方面他又在解答中塞入什么绝热方程。既然541218相信分布结果与任何过程无关，那么是不是绝热过程，就无所谓了，为什么还是需要引入绝热呢？既然是在研究长久静置气体，不应该有什么“气团”和“气团绝热膨胀”等概念。总之，[92楼]思路有问题。 但，我们的确还需要第三个条件，这第三个条件可以用两种取法：第一种是能量方法，利用以上两个公式dp+mgρdz=0和p=ρRT，得到内能密度u(z)函数，对u(z)进行z的积分，得到总热能，再对势能mgρz积分。总热能和总势能之和，就是总能量，对它进行变分，得到一个方程，此为本解答的第三个方程（因为总能量守恒，它只是一个Lagrange乘子项，因此其变分为零，于是产生了这么一个方程）。 第三个条件的第二种做法与541218有点类似（也是熵平衡法），但细节不同。在我这里，先利用以上两个公式dp+mgρdz=0和p=ρRT，得到熵密度S(z), 对S(z)进行z的积分，得到整个体系的熵Ж，对它进行变分，得到一个方程。 我相信，以上两种方法应该是等价的。注意：虽然我这里也用了熵平衡法，但我不是局域的熵平衡法，而是整体的熵平衡法，因此我这里得到的第三个方程肯定与541218的（3/2）RlnT-Rlnρ=C是不同的。541218的（3/2）RlnT-Rlnρ=C，只是局域（对某个气团）用了熵平衡法而已。这是不对的。虽然整个气体的熵会极大，但不等于说，每个点上的局部比熵也是极大。只有整体的熵平衡条件才可以使用。对点上的局部比熵进行变分，就好比是对点上的局部能量进行变分一样，是没有意义的，因为这是一个整体平衡问题，而不仅仅是局部平衡问题，必须把整体平衡考虑进去，而对整个体系的熵Ж进行变分，这是引入整体平衡的唯一机会，而dp+mgρdz=0和p=ρRT只是体现局部平衡而已。 JIAN QI SHEN, ZJU 2010-8-1 |
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“只要敢认定死寂态体系的总熵与时间无关，那就无熵产（一阶微商等于零），再运用 变分法 即可导出 熵平衡条件 ；这是一种思路”
－－－－－－－－ SHEN RE: 关键就是要看你如何使用“无熵产（一阶微商等于零），再运用 变分法”了。你是用局部熵，还是整体熵，做变分？详见我的 [104楼]。 |
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注意约束条件运用拉格朗日乘子法接着建立欧勒方程。
摘 要：当热力学体系达到平衡态时，具有“无耗散”或“无熵产”的特点。本文就依据这一“平衡态原理”且运用“变分法”进行“泛函分析”；导出“欧勒方程”的解──“比熵平衡规律”，并由此提出了“即使在外场中处于不均匀的无‘熵产’状态，即最大熵状态时，体系仍然保持着均匀的‘比熵’分布”这个疑问。同时，还勇敢地在 “热统”领域引进了“间接变分法”，从而增强了对“熵”的探讨能力；最后还作了一些展望。 |
| 其实上面的问题可以归结为，当体系的“熵产生率”等于零时，在重力场中达到热力学死寂态的热力学体系，各点介质的‘比熵’（即某小局域的熵与该小局域所含粒子数的比值）将保持什么样的关系问题。下面就以理想气体为例，运用 “间接变分法”中的“欧勒方程”[2]导出：在重力场中死寂的热力学体系仍然保持着各点“比熵”相等的结论。 |
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由 式可得：
其中 。若假设温度 与密度 无关，即 ，同样可以得到如同 式的“解”，但是从 式又可得到 的结果；这样，“题设”与其“推论”是不相容的。因此假设 是数理逻辑所不允许的！故知必有 ；其物理意义是随着密度 分布的变化必然导致其温度 的分布随之而变,这个问题将另文讨论。 这第 式属于非线性微分方程，目前，数学界还没有找到关于非线性（偏）微分方程（组）的通行解法。笔者建议，不妨进行变量替换，企图将其转化为线性微分方程。若令 ， ；则第 式变为 这是一阶线性常系数非齐次微分方程；其中 。它有两个特解： 其中特解 即那个“指数”形式的特解显然不合题意！故只剩下特解 ；显然这特解 正符合物理事实的要求；当然若用这两个特解来叠加出所谓的通解也不合题意！由于物理事实的唯一性，不允许有第二个特解合乎题意，也至少有一个特解正好合乎题意的要求。由特解 （恢复原来的变量）可立即获得其“‘隐式’解”的形式为 这第 式具体给出了在 “无熵产”体系中温度对密度的依赖关系；理论和实践都表明：在外场中，体系的“死寂”态密度 的分布显然不为常数，即有 ，亦即 ；故 式为外场中理想气体系统的死寂态所能接受的唯一“特解”。这里的逻辑关键就是 这个关系式。 (6)式的左边为 体系中粒子的“比熵”的参量表达式。 式表明处在 “无熵产”状态时的体系中各点的“比熵” 等于同一常数 ▽ 式表示比熵梯度等于零,可称谓“均熵方程”； |
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比熵平衡方程是变分法的运算结果，决不是那位神仙的未卜先知！凭空谁也猜不到各局域的比熵居然会相等！！后来才发现 比熵平衡规律乃自然界普遍规律，凡是随机事件都如此！信息熵也服从比熵平衡规律，例如，在生物界每一个细胞所蕴藏的遗传信息量都相等！在各种事物中都蕴藏着相似性的内涵这就是信息熵的相等所致，这就给类比奠定了理论基础！
总之 比熵平衡规律 并不是你喜欢不喜欢的事情，是一条客观而普遍的自然规律！ |
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TO 116，117楼：
我觉得你这里是唱高调，没有必要到现在由你来上升到这么高的理论意义高度。对于平衡态，稳定态，很多物理量都处于极值，这为使用变分法设立了空间。这本身就是早已知道的事实。 你把（3/2）RlnT-Rlnρ=C，p=ρRT，dp+mgρdz=0三者放在一起，去发表，就可以了。大家很快就可以接受，不会再有沟通困难（只要你不再使用“气团冉冉升起”的说法）。 |