在理想状态下如果陀螺仅仅作为一个质点C，它在任意瞬间绕O点的切向速度为Sinθ Ω×a，其离心力(指向OZ轴)在ζ轴方向的分量就是m Cosθ Sin²θ Ω² a，这就是克服陀螺重力使之不倒的离心力平衡原理，即﹕

          Cosθ Sin²θ Ω² a   =  g                     (1)

与此同时，我们又得其对指向ζ轴的一个水平挤压力﹕

           m (Sinθ Ω)² Sinθ a                         (2)

这个力竟然刚好等陀螺绕ζ轴转动的离心力！

    不过，以上仅仅是在理想的一个没有自转质点条件下的力学平衡原理，而作为一个具有“很大”体积的自转陀螺的力学平衡条件虽然原理完全相同，可是我们却很难通过这种直观的理解来计算(也许(1)式和(2)式就是一个标准的力学平衡方程？)，而是通过自转角动量方向的连续变化来计算。

    设砣螺的自转角动量为G(方向为Z轴，相应的转动惯量为J)，它在空间方向绕O点不断变化，而在ζ轴方向的投影为Cosθ G，根据矢量运算法则，角动量随时间的变化将产生一个等价的力矩，这种力矩与陀螺自身的重量力矩m g×a平衡就是陀螺不倒的数学基础﹕

      d(Cosθ G)/dt  =  Cosθ Ω×G  －  Sinθ (dθ/dt)×G

                            =   Cosθ Ω×Jω  －   Sinθ (dθ/dt)×Jω              (3)

这里的(dθ/dt)为章动角速度，Jω = G，当章动角不变时，动进轴与自转轴的夹角等于重力矩夹角，于是我们可简化方程得到近似计算公式(章动速度很小时可忽略不计或按级数展开计算)﹕

          Ω · ω  =  m g a /J                             (4)

或者是    ( Ω  －  dθ/dt )·ω   =   m g a /J                     (5)

    很显然，(4)式或(5)式与第(1)式的表达形式完全不同，如果它们的确完全是对等的，那么我们又可以将(4)式中的Cosθ  = m g a /JΩω  代入(1)式得Ω的一个标准的二次方程﹕

         Ω² － J ω Ω /m a² － m² g² a² /J² ω² ＝  0                         (6)

    虽然这第(6)式还有待证明检验，第(4)式和第(5)的计算过程变得简单了，角动量变化的力学平衡原理却并不好理解，关键是它把沿Z轴的惯性离心力隐藏得太深太深了，以致于使我在一个多月前还不得不发出“我一直对‘陀螺为什么不倒’的问题百思不得其解”的感叹。现在对这里的相关计算过程是否完全正确，还得有请各位高手的指点和进一步论证。