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[117楼]：
从过去到现在，我从来就不讨论微分的特性，我只讨论微分定义式的成立。Δx→0时，Δy趋近于dy是众所周知的事，没必要讨论。我们的分歧就在微分式的成立问题上。你说“那只是函数微分的第一特性而已”，这就等于你承认它成立了。 |
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[117楼]：
从过去到现在，我从来就不讨论微分的特性，我只讨论微分定义式的成立。Δx→0时，Δy趋近于dy是众所周知的事，没必要讨论。我们的分歧就在微分式的成立问题上。你说“那只是函数微分的第一特性而已”，这就等于你承认它成立了。 |
| 在Δx为任意数的情况下，微分式dy=y'Δx成立，就说明[482楼]、[575楼]的问题我都回答正确。 |
| 在Δx为任意数的情况下，微分式dy=y'Δx成立，就说明[482楼]、[575楼]的问题我都回答正确。 |
| 因为，[482楼]和[575楼]的问题，都不是求近似值的问题，而是求dy的问题，我按照微分定义式做题，就没有错误。 |
| 而你们却都用微分特性的第二条反对第一条，来说我错误，显然你们就错误了。 |
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[117楼]：
你只要承认了微分式dy=y'Δx在任意数Δx下成立，就够了！后面的不用去管它。就证明[482楼]和[575楼]的答案完全准确无误。 |
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[117楼]：
我说的就是微分定义式成立的条件！扯别的没用！ 自古以来，我都是说dy=y'Δx成立，对Δx大小无要求，只要在定义域内就可以。你们非要反对呀！只要你承认了我说对了，你们说错了，不就全结束了吗？ |
| 微分式dy=y'Δx在Δx为任意数下都成立，你承认了就对了。至于成不成高阶小那些事，和式子成立无关。这些是我的一贯说法。 |
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对【91楼】说： 所以函数的微分dy就是其函数增量的线性主部y'Δx{故而此时必然有Δx→0}。 |
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[130楼]：
Δx→0时，函数的微分dy就是其函数增量的线性主部，我从来没否定过。 |
| 但是Δx不趋于0时，函数的微分dy不一定成为函数增量的线性主部。这也是微分的特性。 |
| 它们都是用线性的直线（切线）去近似非线性的曲线的结果。因此，并不是Δx很大时，式子dy=y'Δx就不成立了，而是通过它得出的dy不能用于近似Δy了。 |
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我对冯先生[482楼]、[575楼]出的题进行的解答完全符合微分定义式dy=y'Δx，和关于Δx可为任意数的要求。
对于[482楼]这种函数形式，因为y是一条固定斜率的直线，因此切线总和直线重合，没有高阶项，所以Δy=dy=y'Δx，近似值和精确值永远相等。但是[575楼]是抛物线，不是直线了，因此dy和Δy之间存在Δx的高次项。在这个比较大的Δx的情况下，不能做出近似计算。但是，[575楼]给出的题目恰恰并没有要求做近似计算，而是要求dy值，那按照微分定义式做题，也完全正确。事实上，计算出的dy=-4和Δy=0也确实不能近似。虽然不能近似，但它也是通过微分定义式计算出来的，验证了微分的性质二。 |
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教科书上讲微分前往往讲了一大堆东西，其实无非是对函数可微性的一些论述。真正最有用的就是令dy=AΔx这一处，取个Δy中的线性项定义为微分。而这个Δx的一次项AΔx的系数A惟一地是x0点的导数，A=y'(x0)。
有了这个微分dy的定义式，后续的对微分dy性质的讨论都可以在Δy=y'Δx+o(Δx)式子上展开了。但无论讨论结果是什么，微分式dy=y'Δx都已成定局。 |
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对微分定义式dy=y'(x0)Δx中的Δx不加限制，即任取Δx不为零，就在固定斜率为y'(x0)的切线上随动出一个dy。也就有关系dy/Δx=y'(x0)成立。
这样，微分的定义式就算完成了。此后，为了一些微分的运算的整齐性、一致性以及运算的方便，又无条件定义出一个dx=Δx来，因此把微分定义式dy=y'(x0)Δx写成微分式dy=y'(x0)dx、关系dy/Δx=y'(x0)也写成dy/dx=y'(x0)。 当然，把这里的特殊横坐标x0改成通用的x，就出现了微分式dy=y'dx、微商形式的导数dy/dx=y'。导数也就可以成为两个微分之比了、分子、分母的微分都可以参与乘除计算了。 |
| 至此，我关于微分的论述就全部结束了。这里我所说的全部都是我对教科书的理解，并没有任何新的创造。 |
| Δx比较大时不能做近似计算，并没有一定之规的界限。使用微分式dy=y'Δx的算法进行近似计算也不错。能不能进行近似计算和x0点的选取以及Δx的取值都有关系，并不单纯取决于Δx的大小。比如y=1/x，当x0选在1000000处，Δx选个1、10、100也都能做近似计算。实际上能不能进行近似计算，是和切点到函数增量点范围内曲线的弯曲程度、曲率半径有关，也和要求的近似精度有关。不能进行近似计算也并非全都归咎于Δx是否大于了某个确定数。 |
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对【142楼】说： 打个比方：只凭借一道代数方程如 x+y=0 争论其中的两个未知数（x、y）各自的取值应该是怎样的？就会有无穷多种说法 |
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对【142楼】说： 你只缠住函数微分的特性之一，即dy=A△x；你疏漏了其特性之二，即△y－dy≈0；你以偏概全当然怎么说都对了，必须同时满足微分的两个特性才能得到唯一的合乎逻辑的结论。 |
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对【142楼】说： 你朱老哥 牛着呢！曾被大连理工大学力学系吕和祥老博导誉为世界级数学大师! |
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我问你的是：
“哪句胡言？还是句句胡言？”，你说一堆不相干的干嘛？ |
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对【142楼】说： 朱顶余 横扫天下无敌手！你等就别以卵击石啦 还是知趣点儿为高明！能与朱顶余抗衡者还未出生呢 |