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李 导 数 李 导 数 2000。11。13 一、 为什么需要李导数 对流形上任意张量场，讨论张量场对底空间坐标进行微分或取导数运算，需将一点张量与临近点张量建立联系，进行比较，因而能定义张量场 的李导数 。 外微分算子是流形上函数全微分的推广，但是外微分算子 仅作用在微分形式上。如何取流形上任意张量场的微分运算？这需要李导数。 附：外代数、外积、外微分 外积运算 二、 李导数和协变导数的联系和区别 联系：都是将不同点张量进行比较而引出的两种导数。 区别：对坐标变换理解不同 （1） 协变导数是将它理解为空间同一点的新旧坐标。但李导数 却将它理解为同一坐标系内的不同点。李导数研究同一个坐标系内点与点之间的映射。 李导数不仅取决于被微商的张量场，还取决于映射，即与 有关（ 是切向量场 的分量）。一提到李导数，就要注意它是相对于哪一个切向量场的李导数。 三、 李导数定义 1． （2） 推前、切场、逆变矢量 2． （3） 拖回、微分形式、协变张量 称作：流形上各种张量场 相对于给定矢量场 的李导数。 四、 与外微分算子的关系 李导数算子既可以作用在微分形式上（如（3）式），又可以作用在切场上（如（2）式），而外微分只能作用在微分形式上。 李导数算子 与外微分算子 可以交换 （4） 五、 矢场 的相对于 的李导数 （5） 其中 （6） （7） 二侯对（5）式的证明： 用定义 （8） ， （9） （10） 二侯的定义（8）式与（2）式（见陈省身、陈维恒书）不一样，但结果却一样，即（5）式。 二侯在（10）式的第一个等号右边取了普通导数，这不对。 二侯忽而 ，忽而 ，迎合出了结果。 订正：用定义（2）式， ， ， ，由于映射， 相当于矢场 的方向改变。 （11） 相当于大小改变。由于在同一坐标系内，两点无限逼近， ，则 此即（5）式。 六、 李导数性质 1、线性 2、Leibnitz法则 ， 为切向量场， 为切场或微分形式。 3、卡当公式 a. b. 为内积算子，是用来计算向量场与微分形式的内积的，是余切矢量基矢 与切矢量基矢 收缩 的推广。 c. 七、 运用 标量场的李导数很简单， （12） 逆变矢量场 的李导数已由（5）式计算， ， 由于 为标量（ 为协变矢量场），则用（12）式及Leibnitz法则，可以求出 的相对于向量场 的李导数，结果是 。 （13） 同理可以计算高阶张量场的李导数，如二阶协变张量的李导数为 。 （14） 八、 Killing矢量场 有一种矢量场有一个重要性质：度规张量场 相对于它的李导数为零，这种矢量场称为Killing矢量场。（14）式中将普通导数换为协变导数，仍成立， （15） 令 ， 则由（15）式及 得 （16） （16）式即为Killing矢量所满足的关系式。 |
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