我非常佩服阁下深厚的功底，同时也赞赏这种严肃精神。

比如，对规则进动的陀螺撤去全部外力，会发生什么情况？云野鹤先生对这个问题的直觉答案是完全错误的

那么正确的答案应该是什么？

“设陀螺的自转惯量为i，自转角速度大小为ω（方向与r相同）， 由于重力矩垂直于r，所以在没有阻尼时自转角动量j=iωr/|r|=iωr的大小不会发生变化， 变化的只能是方向，从而ω也不会变化。” 这里有个疑问，都知道ω的大小变化是与 i 相关， 可问题是：ω的方向变化还是与 i 相关吗？ 我认为这时决定ω方向变化快慢的决定因素之一应该是鹤兄说的“进动惯量”J，
而不是自转惯量 i ？

   
    这些公式是都没有错，但都没有涉及到“陀螺不倒”的力学原理，掌握这些公式都是只知其然而不知其所以然。

    注意﹕你这里的“总角动量J_a=j+J=iωr+Ir×r′”与“在没有阻尼时自转角动量j=iωr/|r|=iωr的大小不会发生变化”相矛盾，其实陀螺的自转角动量与动进角动量之间可以相互转移，并非前些时间有人说的什么动进角速度与自转角速度的比值不变，这里的“不变”只有“总角动量J_a”！

如果复杂的不很清楚，那就先来个比较简单的问题，见下图：
http://photo.163.com/photos/yanghx22/51048126/1373206526/>

这里能否使用正和的分析方法呢？
先求出总角动量和，然后代入角动量公式？即：
总角动量：P= N+L = Iω + JΩ
由基本定理dP/dt=M，得：
P'=(Iω)' + (JΩ)' = M = FR

这里ω的大小也是不变的，ω的方向也是改变的，所以也要考虑吗？
于是我们得到：
M= FR = Iωω' + JΩ' = IωΩ + JΩ' = IωΩ + Ja 所以得到装置转动角加速度为： a =（FR-IωΩ）/J
正和认为这样解对吗？确实不太明白呀，

这里能否使用正和的分析方法呢？

///正和：当然可以，我的方法是从基本定义定理出发的严格方法。

先求出总角动量和，然后代入角动量公式？即：
总角动量：P= N+L = Iω + JΩ

///必须注意，“进动角速度Ω”在教材的进动公式中是指围绕竖直轴的角速度（或许叫“公转角速度”更合适），而实际的进动轴是通过支点并垂直于自转轴的，它的方向在不断变化。当且仅当自转轴水平时，“进动轴”与“公转轴”才重合。

由基本定理dP/dt=M，得：
P'=(Iω)' + (JΩ)' = M = FR

这里ω的大小也是不变的，ω的方向也是改变的，所以也要考虑吗？

///我的矢量公式中用的是iωr/|r|，就是将自转角速度不变的大小ω与可变的方向r/|r|（单位方向矢量）分开来表达，这样就可以简化矢量方程。然后进一步只描述自转轴与单位球面的交点的运动，这样|r|=1以进一步简化。

于是我们得到：
M= FR = Iωω' + JΩ' = IωΩ + JΩ' = IωΩ + Ja

///你的求导方法或结果是错的，应为M=R×F=Iω' + JΩ' 。你把矢量公式变成了标量公式，只有非常特殊的情况下才成立。
这个公式还很复杂，其中R=Lr/|r|=Lr（用我的单位球面规定），F=(0,0,-mg)，R×F=Lr×(0,0,-mg)=Lmg(0,0,1)×r=M(0,0,1)×r，M=Lmg就是我的根帖中所假定的自转轴水平时的重力矩（其中L是重心臂长）的大小（标量）。我的根帖写得比较简略，直接用了这个公式。因为头绪太多，只能假定各位有基本的矢量运算知识。

所以得到装置转动角加速度为：
a =（FR-IωΩ）/J

正和认为这样解对吗？确实不太明白呀，

///当然不对了。请仔细体会矢量运算。

这些公式是都没有错，但都没有涉及到“陀螺不倒”的力学原理，掌握这些公式都是只知其然而不知其所以然。

///我早前的帖子从叉积定义和平动力学导出转动力学的基本定义、角动量守恒与角动量定理dJ=Mdt，这就可以解释陀螺不倒了。因为规则进动时陀螺所受合外力为零，重力已经被支点的支撑力平衡（在非规则进动时不完全平衡）。合外力为零但合外力矩不为零，所以陀螺的角动量还是会变化。一般所说的陀螺不倒是说自转轴不会直接按外力矩的方向转动。因为，如果直接按外力矩方向转动自转轴，会导致dJ=Mdt遭到破坏。当然，要将陀螺进动还原成平动力学解释，就需要求解刚体的内力细节，解出支点的支撑力如何传递到每一个质元，这在数学上比较困难。

    注意﹕你这里的“总角动量Ja=j+J=iωr+Ir×r′”与“在没有阻尼时自转角动量j=iωr/|r|=iωr的大小不会发生变化”相矛盾，其实陀螺的自转角动量与动进角动量之间可以相互转移，并非前些时间有人说的什么动进角速度与自转角速度的比值不变，这里的“不变”只有“总角动量Ja”！

///我说的是自转角动量的大小（iω）不会变化，方向（r）仍可以变化。在有章动时，自转角动量与进动角动量之间是可以相互转移，但这种转移只会引起自转角动量的方向改变而不是大小改变。总角动量必须是变的，因为有外力矩；在章动时，总角动量的大小、方向都要变，规则进动时，总角动量的大小不变只改变方向（圆锥运动）。

“设陀螺的自转惯量为i，自转角速度大小为ω（方向与r相同），
由于重力矩垂直于r，所以在没有阻尼时自转角动量j=iωr/|r|=iωr的大小不会发生变化，
变化的只能是方向，从而ω也不会变化。”

///这里我已经将大小和方向分开表示了。大小iω是一个标量，这个标量数乘其单位方向矢量r/|r|就得到完整的自转角动量矢量。这是常用方法。

这里有个疑问，都知道ω的大小变化是与 i 相关，

///错！ω的大小是边界条件，与i无关。

可问题是：ω的方向变化还是与 i 相关吗？
我认为这时决定ω方向变化快慢的决定因素之一应该是鹤兄说的“进动惯量”J，
而不是自转惯量 i ？

///既然已经分离了大小和方向表示，就不能再提标量ω的方向变化。矢量ω的方向变化直接与j=iω相关，间接与i相关。决定ω方向变化（即r方向变化）的有j、J和其它边界条件如r₀,r'₀，不是单参量决定的。

我们已经得到陀螺自转轴与单位球面交点的运动方程为
iωx'+Iyz"-Iy"z+My=0   (1)
iωy'+Izx"-Iz"x-Mx=0   (2)
iωz'+Ixy"-Ix"y=0       (3)
x²+y²+z²=1             (4)
现在假定交点做z=常数的特殊运动，令z=cosA，因z为常数故有z'=0，z"=0。上述微分方程组简化成
iωx'-Iy"cosA+My=0     (1')
iωy'+Ix"cosA-Mx=0     (2')
Ixy"=Ix"y                  (3')
x²+y²=sin²A            (4')
这组方程的一个特解为
x=sinAcosΩt
y=sinAsinΩt
它们满足(3')(4')。

x'=-ΩsinAsinΩt, x"=-Ω²sinAcosΩt
y'=ΩsinAcosΩt,  y"=-Ω²sinAsinΩt

代入(1')(2')得
-iωΩsinAsinΩt+IΩ²cosAsinAsinΩt+MsinAsinΩt=0
iωΩsinAcosΩt-IΩ²cosAsinAcosΩt-MsinAcosΩt=0
两式相加得
(iωΩsinA-IΩ²cosAsinA-MsinA)(cosΩt-sinΩt)=0
由于cosΩt-sinΩt是不恒为零的函数，所以有
iωΩsinA-IΩ²cosAsinA-MsinA=0
由此得
IΩ²cosA-iωΩ+M=0
这就是规则进动的基本公式。
当Ω很小时，Ω²更小，第一项可以忽略，于是
Ω=M/(iω)
这个公式在一般情况下是近似公式，但在陀螺水平规则进动时cosA=0，本式即成为严格公式。

如果已经形成规则进动，则即使是两盘相距无穷远，仍可用上述基本公式IΩ²cosA-iωΩ+M=0描述。这时I无穷大，cosA无穷小，为∞*0不定型，所以上述公式总可得到满足，且Ω、ω都可为任意值。

此外，上述公式描述的是形成规则进动后的各物理量之间的关系。如果在进动前的初态相同（指自转角速度和自转轴倾角相同），两盘距离不同时将形成不同的进动状态。对于从自转轴静止开始形成进动的过程，必须用根帖中原始的微分方程组求解，这时会增加一个边界条件r'₀=0。由于该微分方程组是二阶非线性的，一般只能数值解。

///必须注意，“进动角速度Ω”在教材的进动公式中是指围绕竖直轴的角速度（或许叫“公转角速度”更合适），
而实际的进动轴是通过支点并垂直于自转轴的，它的方向在不断变化。
当且仅当自转轴水平时，“进动轴”与“公转轴”才重合。

答：
正和搞错了吧？进动轴的方向在不断变化吗？这可不能开玩笑呀？
应该说：实际中的自转轴方向在不断的变化？
这里的进动轴当然始终是竖直的Z轴呀，
或者在太空里，它也始终是与“公转轴”重合的呀？
（只要常章动角保持不变）
怎么能说：“当且仅当自转轴水平时，“进动轴”与“公转轴”才重合”？

你的数学没说的，可是物理概念有些模糊？
书里是这样分析的：
当且尽当章动角θ（常章角）不为零时，自转轴方向才会不断变化（自转轴绕Z轴转动），
把自转角动量N分解到z轴和xy平面为：
N*cosθ ---与z轴重合，与重力矩M垂直，
N*sinθ ---在xy面内，与重力矩M垂直，
正和认为第一项是否也要考虑？书里是没有考虑，为什么？
第二项呢？是否要考虑？

///你的求导方法或结果是错的，应为M=R×F=Iω' + JΩ' 。你把矢量公式变成了标量公式，只有非常特殊的情况下才成立。
答：
可能你没有看图吧？我假设的就是“非常特殊的情况”呀？
推导的错误在于错误的代入了Iω' 项？因为Iω' 与M垂直，同意吗？

一个矢量用基矢量表示为xi+yj+zk，规定
i×j=-j×i=k
j×k=-k×j=i
k×i=-i×k=j
两个矢量A×B=(x_ai+y_aj+z_ak)×(x_bi+y_bj+z_bk)，用分配律展开即可。这是纯数学。
然后我们惊奇地发现，用纯数学的叉积组合两个物理量r×p，它在不受外力时是守恒的，又发现d(r×p)=(r×f)dt，于是就将r×p定义为“角动量”，将r×f定义为“力矩”，没有半点牵强之处啊，这与电学从数学中借用复数来表示电流、电压、阻抗等是完全相似的。
使我难以理解的是各位对这种基本的数学物理方法的不理解。