| 补充说明一下：[30楼]所列式子适合在赤道上空使用，在其他纬度下，要增加三角函数的修正。 |
| 补充说明一下：[30楼]所列式子适合在赤道上空使用，在其他纬度下，要增加三角函数的修正。 |
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老王，我提示两点：
1、我们探讨的是牛顿力学，前提是惯性系，至少是近似惯性系。 2、（重力）势能是储存于一个系统内的能量，也可以释放或者转化为其他形式的能量，（重力）势能不是属于单独物体所具有的，而是相互作用的物体所共有（按照惯用的说法，在不产生混淆的前提下，我们可能说“物体A的势能”是多少，但千万不要把“物体A的势能”混淆为物体A自身所具有的能量）。所以，对于单独的物体A或物体B，其能量的变化是不包含（重力）势能的，否则你会得出能量守恒不成立。你可以通过百度或相关资料了解相关的内容，我就不多解释了。 |
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老宋，关于势能的问题我比你有研究，这点不必你来提醒。势能是存在于系统中的，但是没有物体A，这个势能就不存在，因此完全可以认为势能和A有不可分割的关系。动能和势能的转化是能量存储于物体A上还是存储于系统引力场中的过程。这和非保守场中受力是不可相比拟的。如果一个拖拉机拉动一个拖车在水平路面上匀速前进，那么拖车受到的拉力和受到的摩擦力大小相等，方向相反，受合力为零。这种情形拖车和大地之间没有势能的变化，没有势能的升高，拖车受到的拉力做功全部通过摩擦力消耗于摩擦面，一旦断开拖车的拉力，拖车就会消耗掉自己的动能停止下来。也就是说除了匀速的动能，没有其他的储能。但是匀速升高一个物体，拉力一定要做功的，这份能量存储于系统中。当你断掉拉力，物体会把系统中存储的能量释放出来。这是不同于拖车例子的。
保守力场中的势能都是系统共有的，比如两个电荷q1、q2相距为r，它们之间具有电场力F=Kq1q2/r^2，实际上两个电荷都产生电场，但是我们在考虑电荷q1在电荷q2产生的电场中的受力，就简单地写成F=q1E2，其中E2=Kq2/r^2。同样，考虑电荷q2在电荷q1产生的电场中的受力，就简单地写成F=q2E1，其中E1=Kq1/r^2。这样的写法，忽略掉其中一个电荷产生的电场，使我们分析和计算都更加方便。但这不一定是物理真实过程，如果我们把电场写成另一个样子，比如E=(√K)q/r，也就是E1=(√K)q1/r、E2=(√K)q2/r，我们把两电荷的作用力写成F=E1E2行不行呢？完全可以，也许这是更真实的。因为这样写更突出了两个电荷的对等关系：F=E1E2=[(√K)q1/r][(√K)q2/r]=Kq1q2/r^2。这样更能看出两个电荷之间的作用力是两个电场之间的作用力。但是除了我之外，没有人这么写。这是一种约定俗成，在这种已有约定下，就可以认为q1的势能是q1在q2电场中独有的，当然也可以认为是两电荷共有的。但无论你怎么认为，你都改变不了保守力场中动能和势能可以互相转化的本质。改变不了高度变化会影响储能的实质。它和拖车完全是不同的，就是因为它穿越了等势面。这些东西是需要理解的。把物体匀速提升一个高度，势必要有外力做功，你用吊车把一箱水泥匀速吊到10米高度和20米高度，吊车会做相同的功吗，肯定不会。那么重力做负功，这个做负功的过程就是系统积累势能的过程。你说不能把势能归于水泥，但也不能归于地球。总之要归于两者，双方都有份。而不能说地球引力对水泥做了负功，在水泥上互相抵消了就完事。 |
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其实不仅是物体A的势能不属于单独的物体，就是物体A的动能也不属于单独的物体，这点你们大家恐怕都不能一下子接受。动能也是相对量，其实这是很简单的道理。因为动能是和速度相关的，速度是相对量，动能也是相对量。
地球上沿着地球轨道运行同方向运动的物体，叠加有地球速度30000米/秒。50米/秒和25米/秒的1000千克的汽车，在地球上算的动能比是4倍关系。但在太阳系算，它们的速度是30050米/秒和30025米/秒，它们的动能比是1.001666。在地球上算能量差是937500焦耳，在太阳上算是750937500焦耳。 拖车牵引力做功全部消耗在摩擦力上了，没有留给拖车一丝一毫，而卷扬机匀速吊起一箱水泥，其牵引力做功赋予了系统，能量被储存了，这就是不同。 |
| 同样，在保守重力场中的势能也是系统共有的，比如两个质量为m1、m2相距为r的物体，它们之间具有万有引力F=Gm1m2/r^2，实际上两个物体都产生引力场，但是我们在考虑物体m1在物体m2产生的引力场中的受力，就简单地写成F=m1E2，其中E2=Gm2/r^2。同样，考虑物体m2在物体m1产生的引力场中的受力，就简单地写成F=m2E1，其中E1=Gm1/r^2。这样的写法，也是忽略掉其中一个物体产生的引力场，使我们分析和计算都更加方便。但这不一定是物理真实过程，如果我们把引力场写成另一个样子，比如E=(√G)m/r，也就是E1=(√G)m1/r、E2=(√G)m2/r，我们把两物体的作用力写成F=E1E2行不行呢？也是完全可以的，而且这是更加真实的。这样写更突出了两个物体的对等关系：F=E1E2=[(√G)m1/r][(√G)m2/r]=Gm1m2/r^2。这样更能看出两个物体之间的作用力是两个引力场之间的作用力。但是除了我之外，还是没有人这么写。这也是一种约定俗成。两种写法，表达出的效果是一致的，但物理意义不同。我的表达方法，更真实。在我的表达中，可以明显看到能量或力属于两物体。约定的传统写法，则更加让人偏重于物体A的势能是物体在地球引力场中所具有的、属于物体A的机械能。两种表述都不算错，因为缺了哪个物体，势能都不存在。惟一有用的是，物体在外力做功下匀速上升了一个高度，系统也为它们储存了这份相同的能量。它存在于物体A中、存在于地球中或存在于两体中，或存在于两体之间的场中就要看你怎么写公式了。 |
| 老宋，你对势能的写法有比我更好的见解？用拉力拉动拖车如同电流流过电阻，用拉力提升物体如同电容充电。这点不理解就不能正确理解势能。 |
| 老宋，你对势能的写法有比我更好的见解？用拉力拉动拖车如同电流流过电阻，用拉力提升物体如同电容充电。这点不理解就不能正确理解势能。 |
| 老王，万有引力的写法我研究过，你的问题不在于怎样写，而是你对“势能”的基本理解还是混淆不清的，在没有把基本的认识弄清之前，不要盲目地高谈阔论。请找点资料，好好理解。 |
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我把两个中性氦原子放到相距r的地方。这两个原子之间基本没有什么作用力。当我用力（具体是什么力可以不去较真），把一个氦原子拉成椭圆，把正负电荷中心拉开一个距离l，这就是极化力做功，使原子极化。则我施加给原子的极化拉力所做的功就通过极化的氦原子反映到空间了。这就在原子周围形成了势、势场。这个势场不但极化了两原子空间的场物质，也对另一个原子产生极化。这样两原子之间建立的能量关系，这就是势能。两原子受力大小取决于偶极电量、距离。这个力在两原子间距不变的情况下，不做功。但你只要改变两原子的距离，不管你用什么约束力使其不加速，这个势能都会变化。势能也叫位能，它是和位置密切相关的能量。它并不依你是否匀速、是否静止而不同。势能转变成其它能量都是要消耗掉极化能的。重力（引力）做功是以减少极化能为代价的。它们本就是一回事，这里不存在能量不守恒的道理。你们如果把物体单独和能量联系起来，和场物质的能量改变割裂开来，那才真正是违反了能量守恒。
重力就是极化力在空间上的反映，是场物质对物体的作用。重力做功不是单独的，而是场极化能量减少的必然。 |
| 一个物体的能量，绝不是只限于物体自身，也绝不是仅仅从动能上反映出来的。否则对能量的认识就太狭隘了。我现在已经是第三次举这个例子了，你去商店买一斤苹果，可能半斤都是场。你拿到手的只是质量核心部分。质量是物体中可被极化物质多少的反映，而极化又不仅存在于物体内部。物体周围有跟随物体运动的场物质，跟随程度和物体质量大小相关联。一个高速自转的物体，它的极化能高于不自转的物体，因此改变它的状态也难，显示出它轴向有很大惯性。因为你改变它的自转就等于改变它的极化方向，改变它周围所有被极化的场物质的极化方向。被极化的场物质并不在物体之内，但它和物体的能量是相关联的。因此被极化的场物质中的能量，要归属于该物体。 |
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我指出：物体体系的势能不仅存在于物体体系的物体中，也存在于物体体系所在的空间中。势能是以极化能方式存在于包括空间的体系内的。能量的载体不仅包括物体内部产生的极化场，也包括物体外部被物体极化出来的极化场。 对此，你们大家谁有不同看法？有就说出来共同讨论。 |
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在我王普霖这里，不会出现能量不守恒的情况。如果任何人能理解出能量不守恒的意思了，那他首先要检查一下自己的理解是不是出了偏差。在重物提升的例子里，所有提升物体的能量，都存储于物体和场中。这个能量并不像拖车的例子随摩擦力转变成热能损失掉。
关于惯性系，我有我的认识，我也有我的观点。我定义的惯性系，是光在其中各向同性的参考系。虽然不可能找到在广大范围内光都各向同性的空间，但是局部的、近似的各向同性的空间是可以找到的，这就是局部惯性系。请记住，我虽然用的也是这个名词，但物理含义和以往的惯性系有所区别。这也是仿照相对论中同名不同义的做法，没有什么可指摘之处。 |
| 一个物体的动能，只能说明物体所有分子具有同一个宏观运动方向的能量。但物体的能量却不仅仅是宏观动能这一项。无规则运动表现出的热能、物体内部分子间的极化能、包括化学中原子的结合能、核子物理中粒子之间的结合能，都不表现在宏观动能上。一个压机上下挤压一个铁块，两边作用力大小相等，按你说外力对铁块做功为零。但实际上铁块变热了，温度升高了。这个能量就来自外力的挤压。但它并不表现出铁块有相当高的速度，动能未改变。外力做功不做功并不一定表现在物体的宏观动能上，因此使用外力做功正负抵消并不是物体获得能量与否的判据。这和安培环路定理一样，环路积分为零，并不代表环路上没有磁场。 |
| 还有老宋，费先生的话我虽然不完全支持，但我对你对他的评价也不完全支持。你对他说的话充斥着尖酸刻薄。合外力不做功，如何能改变物体中的极化程度？在一个充了电的很大的平行板电容器中，充满了电场，这时你把一个绝缘介质匀速放入这个电场中，你的介质的动能并没有改变，但是你的介质却被电极化了。你的介质内部出现了很多被极化的分子、原子、电子。它们都是要储存能量的。因为你的匀速插入，动能没有变化，但介质内部起了变化，储能了！你因此说外力对介质的做功为零是错误的。 |
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老宋，势能存在于两物体中，也存在于两物体之间的场中，它们都是不可分割的。你根本不能把势能归于某个物体，或者归于两个物体。势能存在于包括两个物体的所有空间中。势能是物质内部的分子、原子、电子极化能，这种极化也极化空间的场物质，所以两个被极化的物体激发的极化场也是分布于物体内部、外部的所有空间。你光研究了写法还是没有接触到极化理论，所以你只知道势能存在于两物体组成的系统中，却不知道它还存在于两物体所在的空间中。
一个物体中的中性物质被极化出电极性或磁极性，它会进一步极化周围的空间中的场物质，场物质又将极化传递给其它物体。因此，物体之间通过场建立起力的作用。因而可以说，势能是存在于物体中，也存在于空间中的一种极化能量。 重力做负功，其表现不仅停留在物体上，不能仅看物体上的做功正负抵消，必须还要看它带来的后遗症。它内部的分子、原子、电子的极化程度改变是必须要看到的。这种极化程度的改变是携带了能量变化的。它并不表现为速度大小的变化。一个压缩了的匀速弹簧和一段松弛的匀速弹簧相比，压缩的弹簧有更大的能量。虽然动能是一样的，但是弹簧内部充满了内力，也就充满了内能。分子内部的极化也有如弹簧，是可以储能的，但不表现出速度变化。 |
| 老王，一句话，还是把基本的数理逻辑搞清楚，否则，你会越想越糊涂。 |
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什么叫做功？大多数人认为做功就是力乘位移，以为把不动的东西移动一个位置，并伴随着力，或者使物体运动起来了才叫做功。甚至于把做功和物体的运动状态（比如速度）改变等同起来，这就是错误的。
做功实际上是一种能量转变成另一种能量的过程。重力做功实际上就是把势能转变成动能的过程，而不能把它割裂成重力做功和势能变化不相干。它们本是同一物理过程，重力是被极化的物体和被极化的场物质的自身回复力，如同弹簧恢复到原状的趋势。重力做功时，这个场能量会降低，场的极化程度会降低。根据场能量最小原理，物体失去束缚时，它总朝着降低场能量的方向运动。运动的结果，使场的极化程度降低，极化场的能量就释放出来，转变成宏观的动能。如果外力控制物体恒速下降，那么场释放的极化能量一定会通过外力转移到外力的力源上去。比如外力是一个通过绳索连接的摩擦调速的装置，这个能量一定耗散到摩擦面。如果这个装置是个发电机，或逆变器，它一定会把释放出来的极化能反馈给电网。 |
| 我对势能的理解和认识是深刻的。物体系统之间的势能，就存在于物体体系内的空间中。改变两个物体的布局，也就改变了两物体共同形成的场分布，也就改变了极化状态。场会把这种极化状态改变传递到无穷远。这无穷远范围内包含了所有极化能量。没有这点认识，就没有资格谈势能的归属。这个能量不属于任何一个物体，但离开这个物体又谈不上势能。毕竟传统的势能是用物体质量、高度、重力场强度标定的，因此把势能归于这个物体所拥有能量的并无过错。物体A拥有能量不意味着该能量一定存储在该物体上。这和物体A拥有动能一样，它的能量大小和参照物有关，因此也不能说物体A携带了多少动能。 |
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我不是在高谈阔论，正相反，我对势能的理解已经深入到物质内部的极化能，并给出势能存在于物体和物体之间的空间中的说法。“找点资料”，资料上有我这么深刻的理解吗？
不仅如此，我对惯性的本质的认识也是基于极化理论。物体的惯性起源于物质的极化储能，该极化不仅存在于物质内部，也存在于物质周围的空间。一个电子受到电场力加速，它并不是按照导线中加速电场、电量、质量那个简单关系加速的，它还必须和导线外的物质发生作用。比如导线外的空气、铁心、或其它物质都会被这个电子所极化。这个电子的极化程度也会受到外围的这些物质影响。导线表现出来的电感储能，实际上一部分储能是存在于外围空间中的。这个电子的能量也绝不是它自身质量和速度的简单关系。电场中导线建立电流的全过程，就是导线内外空间储能的过程，电子速度还未达到一定值，但电子消耗掉的电场能早已超过电子的动能了。这些分布于场中的能量，就是场能量。这些也都不是仅仅通过电子速度能体现出来的。 |
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在重力场中，没有物体可以自发反抗重力提高系统的势能，这就如同热能不会自动由低温处流向高温处一样。但相反的过程可以自动进行。虽然说物体的机械能可以守恒，但它总是自动向单方向——降低系统势能的方向进行。如果反其道而行之，那必须有外力做功。你在重力场中把一个静止物体提升一个高度后还让它静止，没有合外力做功是不可能的。一个具有初速度v的上抛物体m，它上抛到最高点hm，速度会下降到零。如果有外力维持它速度不变，到达最高点时，外力做功大小等于重力做功。无论哪种情形，重力做功都是一样的。而重力做功这部分，恰恰就是转换成系统势能的部分。这个势能和物体有没有末速度没有关系。不管是把静止物体移动到高处再静止，还是维持速度不变移动到高处，外力所做的功都不是零，大小都等于势能的增量。在重力场中运动，外力做功只计算重力做功就和动能增量就可以了，静止物体和匀速物体的动能增量都是零，外力做功就等于重力做功。而合外力做功等于零却使系统势能升高是违反能量守恒的。用合力计算只能计算出物体动能变化，不能计算出做功。
事实上，即使非保守场，用合力计算也不能得到正确结果。还以匀速拖车为例，牵引力和摩擦力平衡时，拖车受合力为零。但是，牵引力克服摩擦力做功是正功，它会产生热能。这个热能怎么会凭空产生呢？用合力做功等于零完全体现不出来。事实上，拖车整体只不过是一个力的传导体，真正力的作用点是摩擦点（面），牵引力做功全消耗在摩擦点上了。对摩擦点来说，牵引力乘摩擦点的位移是做功。但两个摩擦面不能重复计算，否则会出现二倍做功。 |
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老王，给你出个题目：
在某惯性系下，有两个物体A、B，A的质量很大（可以想象为某个星球），B为一个小的物体，A、B一开始相互静止。我们让A始终保持静止，然后施加一个力Fb把B移到相对A较远的地方，且相对A静止。 A、B之间有万有引力，当移动B时，B将受到两个力的作用，一个是前述Fb，另一个是A施加给B的引力Fab；A同样要受到两个力的作用，一个力为B施加给A的引力Fba，另一个是为保持A静止所施加的力Fa。 请所思考下属问题： 1、对于物体B，合外力做功是否等于0？ 2、对于物体A，合外力所做的功是否等于0？ 3、把A、B看做一个整体，合外力对这个整体所做的功是否等于0？ 答案： 1、对于物体B，合外力做功等于0。 2、对于物体A，合外力做功等于0。 3、对于A、B这个整体（或系统），外力对该系统所做功不等于0，外力所做功的大小等于A、B间势能的变化。 提示一下，注意外力的变化： 1、对于B来说，外力是指Fb、Fab。 2、对于A来说，外力是指Fa、Fba。 3、对于A、B组成的系统来说，外力是指Fa、Fb，而Fab、Fba不是外力。在此种情况下，才可以说外力所做的功转化为系统的势能。 请结合这个例子，把基本的问题想清楚，至于你的高谈阔论我就不分析了。 |
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欢迎王普霖先生参加本帖的讨论。 王先生不少观点我都认同，比如：“做功实际上是一种能量转变成另一种能量的过程”，“这个能量不属于任何一个物体，但离开这个物体又谈不上势能。毕竟传统的势能是用物体质量、高度、重力场强度标定的，因此把势能归于这个物体所拥有能量的并无过错。”等等。 当然，王先生对“功”、“能”的认识比我深入得多，对势能的理解已经深入到物质内部的极化能，这值得我认真学习。 谢谢王先生对我部分观点的认可，也期待王先生能指出我的漏洞。
【23楼】宋先生： 1、 我在22楼对“势能”的表述完全不存在认识不清的问题。 郑永令先生的《力学》（第二版）第171页上指出：“在一个质点的质量比另一个质点的质量大得多的情况下，质心差不多与大质量质点相重合，大质量质点在以质心为坐标系原点的质心系中的位矢和速度几乎都等于零，其动能也几乎是零，于是质点系的动能实际上只表现为小质量质点的动能，质点系的势能减少（或增加）仅等于小质量质点动能的增加（或减少），且质点系的势能实际上仅由小质量质点的位矢决定，……由此可见，当小质量物体和一大质量物体在保守力作用下运动时，相对这两物体的质心系，体系的动能表现为小质量质点的动能，质点系的势能变化表现为小质量质点动能的相应变化，质点系的势能表现为仅由小质量质点的位置决定。有时把仅由某物体位置决定的原属于物体系的势能简称为某物体的势能。” 显然宋先生不知道力学教科书上允许这样的简称。
2、 让我头疼的是宋先生在25楼的证明。 宋先生的例子是：通过一定的控制（比如上方用绳索牵引），让物体A在垂直方向匀速下落。宋先生认为：合外力对A不做功。并用做功公式给予了有力的证明：“物体A受到垂直方向大小相对方向相反的两个作用力，一个是地球引力F，另一个是绳子的牵引力-F。设物体走过的距离为S，则两个力所做的功分别是：W1=FS、W2=-FS。于是W1+W2=0，合外力对A做的功为0。 ”这似乎无懈可击。 而我认为：垂直“匀速”下落的物体A，其动能的大小没变，而势能在减小，显然，这是A所受到的重力和牵制力的合力作功的结果。这当然更无懈可击。 那么，该如何解释这个抵触呢？我整整思考了3天，终于有了眉目。 原来，宋先生隐含地把未打补丁的牛顿第一定律作为了前提！如果没有这个前提，凭什么A在平衡力的作用下会匀速直线下落呢？这不是循环论证吗？ 宋先生的这个例子及所给出的“合外力对A做的功为0”的证明，恰恰从另一个角度有力地证明了牛顿第一定律违反了机械能守恒定律！ 谢谢宋先生！ |
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你能在物体受到合外力为零的情况下把重物提升到一个新高度吗？提升后系统势能（合力=0）×（高度≠0）=0，提升后的系统，势能不变吗？
对于没有引力场或物体运动不通过引力场等势面的情况，合外力的贡献只有一个去处，那就是动能。在那时，合外力会引起加速度，引起速度变化，合外力为零，动能增量为零。 在有势场中，你的算法不适用了。这里合外力的贡献没有转变成动能的去处，而是转变成系统的势能了。在动能没有变化的本例中，合外力做功等于重力做的负功。合外力中的重力部分做的负功不再参与累加计算。这里的奥妙你需要很长时间的琢磨。 在没有引力场或物体运动不通过引力场等势面的情况，外力做功只能转换成动能而无其他去处。合外力为零时，不管物体通过多少距离，都不会吸收多余的一丝一毫能量。 在有势场中，你穿过每一个等势面、每通过一段距离，它都要从外力中吸取能量。这个能量的吸取不反映在速度变化上。从表面看，物体受到的合力为零，但合力是两部分组成的，其中牵引力部分是做功部分，是需要计算在内的。而重力恰恰是吸收这部分做功的，你不能把它们重复计算，也不能互相抵消。因此，式子中只要牵引力，不要重力参与计算。这点理解起来非常非常之难！ |
| 当你完全明白我[55楼]的话以后，你就知道[53楼]的问题不用回答了。这里的合力做功中的合力，必须只取牵引力或重力中的一个作为“合力”。这非常难理解，但我在[55楼]最后一段也做了解释了。 |
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因为速度不变，牵引力做功总等于重力做负功转化的势能，因此你取哪一个进行计算都是正确的。牵引力F1=重力-F2时（F2=-mg），合力做功只取其一。即合力做功W=势能增量E=|F1|h=|F2|h=mgh。
切记！在合力的组成成分中，只取一个力来计算。这需要用极大的理解力去理解。 |
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[56楼] 作者:王普霖 发表时间: 2015/07/14 05:10
当你完全明白我[55楼]的话以后，你就知道[53楼]的问题不用回答了。这里的合力做功中的合力，必须只取牵引力或重力中的一个作为“合力”。这非常难理解，但我在[55楼]最后一段也做了解释了。 =========================== 这是你家的“合外力”？由你自己去瞎扯吧！！！ |
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有时把仅由某物体位置决定的原属于物体系的势能简称为某物体的势能。
======================= 请看32楼，特别指出：“按照惯用的说法，在不产生混淆的前提下，我们可能说“物体A的势能”是多少，但千万不要把“物体A的势能”混淆为物体A自身所具有的能量”。 你与老王一样，稀里糊涂的，却又想极力维护自己瞎扯出来的那点玩意，让你们理性太难了。 |
| 54楼，帖子又发丢了，简单提示一下，请你好好理解32楼和53楼。 |