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那么对于在x-y平面上的一条直线y=kx上的点（a，b），也就是复平面上的点（a，ib)，可以写成a+ib，将它乘以i，就得到了（a+ib）i=-b+ia，它就是坐标旋转π/2后，直线上点的新坐标 （-b，a）。 |
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旋转坐标公式
x'=xcosθ-ysinθ y'=ycosθ+xsinθ 当θ=π/2时，计算所得和我用i相乘坐标有完全相同的效果。 |
| 我现在看出，复数的本质就是平面上的坐标点，复数经过运算后，不仅能够旋转这些坐标点的位置，还能改变它们到原点的距离。x-y平面直角坐标上的一个坐标点(a，b）就对应一个复数a+ib，对这个复数乘以i仅仅是旋转角度为π/2的一个特例。 |
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接[2楼]
“这里的i代表逆时针旋转π/2的意思”，同样道理，-i代表顺时针旋转π/2的意思。所以i^2是逆时针旋转了π角度，(-i)^2是顺时针旋转了π角度，终点都落在角度π上。因此(-i)^2=i^2=-1。 |
| 更正[5楼]：“这条直线变成了y=-kx。”应为“这条直线变成了y=-x/k。”。 |
| 复数a+ib总可以表示出圆心在原点的圆上的一点，不同的a和b可以表示不同半径的圆上的点。而a、b的符号却对此无任何作用，因此a+ib和c+id是无法比较大小的。只有通过对模的计算，才可以判断大小。而复数的模是实数。即使a+ib的模比c+id的模大，但是直接比较是不能做到的，因为它们是坐标。比如一个半径为1的圆，在实轴上的点坐标是（1，0），写成复数就是1+i0=1，另一个是半径为2的圆，和虚轴在负方向相交，坐标是（0，-2），写成复数就是0-i2=-i2，这样的两个数1和-i2，怎么比较大小。 |
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绕原点逆时针旋转坐标(x,y) θ角得坐标(x’,y’),则 x’=xcosθ-ysinθ y’=xsinθ+ycosθ 当θ=π/2时， x’=xcosθ-ysinθ=-y y’=x 原坐标（a,b)变成了新坐标（-b,a)和[3楼]所述完全一致。 |
| 读书就要这样读，学习也要这样学。把不同的事物联系起来，分析它们之间有哪些结合点，这样思维才能活跃起来。我现在还想试图通过这个坐标旋转公式，再通过其他的联系，比如角度θ=π/2等，直接反推出来i的表达式，使i^2=-1，可以直接写出来，而不是从定义那里得到。这可能是奢望，但不一定不可能。 |
| a+ib其实就是个坐标（a，b），所有的复数运算无非就是对坐标点的运算，这就是复数的本质。两个坐标点能比较大小么？（-1，1）和（1，-1）谁大谁小？论纵坐标，前者大；论横坐标，后者大。比较只能分别比较，纵的和纵的比，横的跟横的比。可以比谁的y大，也可以比谁的x大。 |
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逆时针旋转π/2，操作过程就是将纵坐标变号后，再和横坐标对调位置，用数学表达就是
x'=-y，y'=x 顺时针旋转π/2，操作过程就是将横坐标变号后，再和纵坐标对调位置，用数学表达就是 x'=y，y'=-x |
| 连续函数在坐标空间构成曲线、曲面，这些函数上点的坐标元素（x,y,z)虽然都是实数，但它们所表示的物理意义是有区别的，（x1,y1,z1)、（x2,y2,z2)、（x3,y3,3z)是无法整体比较大小的，比较只能在各自的维中比较。 |