| 在实数轴上，从原点O到点r的一段线段，把它看成由原点O发出的矢量r，如果把这个矢量乘以i，就是把这个矢量逆时针旋转π/2，矢量长度不变，依然是r，但方向旋转了，矢量变成了ir。将矢量ir再乘以i，等于又逆时针旋转了π/2，角度变成π，矢量ir变成了矢量iir=-r。将矢量iir=-r再乘以i,又逆时针旋转了π/2，矢量iir=-r变成了iiir=-ir，这时角度是3π/2。再进行一次旋转，角度变成2π，矢量iiir=-ir变成了iiiir=r。又回到原来的实数矢量r了。这样，一个矢量的终点坐标位置就可以用（a，ib）来表示了。 |
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那么对于在x-y平面上的一条直线y=kx上的点（a，b），也就是复平面上的点（a，ib)，可以写成a+ib，将它乘以i，就得到了（a+ib）i=-b+ia，它就是坐标旋转π/2后，直线上点的新坐标 （-b，a）。 |
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旋转坐标公式
x'=xcosθ-ysinθ y'=ycosθ+xsinθ 当θ=π/2时，计算所得和我用i相乘坐标有完全相同的效果。 |
| 我现在看出，复数的本质就是平面上的坐标点，复数经过运算后，不仅能够旋转这些坐标点的位置，还能改变它们到原点的距离。x-y平面直角坐标上的一个坐标点(a，b）就对应一个复数a+ib，对这个复数乘以i仅仅是旋转角度为π/2的一个特例。 |
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更正[5楼]“这条直线变成了y=-kx。”应为“这条直线变成了y=-x/k。”
更正[8楼]“k'=-k”应为“k'=-1/k”。 |
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前面讨论i(a+ib)是90度旋转后的坐标，旋转前直线的斜率是k=b/a，那么当i的系数d≠1，即id（a+ib)时如何呢？我来计算一下： id（a+ib)=-bd+iad，旋转后，此时直线的斜率为k'=-ad/bd=-a/b=-1/k，和d=1时完全一样。这表明一个复数乘一个单位虚数和非单位虚数结果一样，旋转的角度都是90度，但旋转后的矢量长度（模）改变了。模的平方由原来的a^2+b^2变成了d^2(a^2+b^2)了。开方后表明，矢量长度变成原矢量长度的d倍。 |
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第三次旋转后，直线又变成y=-x/k。点（-a，-b）再乘以i，即(-a-ib)i=b-ia，写成坐标就是（b，-a）。 第四次旋转后，直线又变成y=kx。点（b，-a）再乘以i，即(b-ia)i=a+ib，写成坐标就是（a，b）。 这样就完成了一次整体旋转一周的操作，回到原始位置。 乘以i的结果只是使矢量或者坐标系上的点完成一次π/2的坐标旋转，矢量长度不变，因此矢量的模也不变。复数运算中的模确实也和乘了多少次i没有关系。 这种运算不仅可以用于点坐标的旋转运算，对于曲线的π/2旋转同样有效。比如双曲线y=1/x，即可写成x+i/x。当把曲线逆时针旋转π/2后，即乘以i，则（x+i/x）i=-1/x+ix，曲线变成y=-1/x。 |
| 读书就要这样读，学习也要这样学。把不同的事物联系起来，分析它们之间有哪些结合点，这样思维才能活跃起来。我现在还想试图通过这个坐标旋转公式，再通过其他的联系，比如角度θ=π/2等，直接反推出来i的表达式，使i^2=-1，可以直接写出来，而不是从定义那里得到。这可能是奢望，但不一定不可能。 |
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对[23楼]说： 我只是对i这个虚单位所含有的意义加以挖掘。一个坐标（a，b），写成了（a，ib），其实中间的那个“+”号都是可要可不要的。把这个坐标乘以i，也就是分别对括号内的数分别乘以i，就得到了（ia，iib）=(ia，-b)，这就相当于把原坐标的x轴和y轴调了包，原x轴方向变成了y轴方向，原y轴方向变成了x轴负方向。也就是如果把点的位置固定，则坐标顺时针旋转了π/2。但这不符合我们的看图习惯，我们还要把x轴作为水平方向，y轴作为垂直方向，则就要把括号内的表示x坐标点的ia，表示y坐标点的-b对换一下位置，变成了(-b，ia)，这样就在保持坐标系不旋转，把坐标系上的点逆时针旋转了π/2。乘i的操作过程就是将纵坐标变号后，再和横坐标对调位置。其实就是这么简单。坐标正向旋转π/2就这么简单。其实i只表示一种操作后留下的痕迹（记号）。 |
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对一个坐标数（a，b）乘i，实际表示的是对这个坐标数进行了一次上面所说的操作。比如对实轴上的矢量终点（r，0）进行乘i的操作，就是先将操作符号i，分别乘两个坐标，得到（ir，i0）=（ir，0）,然后位置对调，变成（0，ir），就完成坐标逆时针旋转π/2了。这个实轴上的矢量终点就跑到虚轴上去了。 其实不使用乘i操作，仅仅使用变号并对调一样得到旋转后的坐标，依据先将纵坐标变号，然后横、纵坐标对调的方法：（a，b）→(-b，a）→（-a，-b）→（b，-a）→（a，b）。旋转了2π角度后，又回到原来的坐标位置。 |
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“事实上，复变数函数实质就是实变函数的二元函数。”，这点我完全同意。事实上（a，b）（a，ib）完全是一回事。完全可抛弃i进行各种实变函数运算，只是复数提供了一些规则，依据这些规则，可使公式简洁化，具有计算方便的特点。 |
