| 在实数轴上，从原点O到点r的一段线段，把它看成由原点O发出的矢量r，如果把这个矢量乘以i，就是把这个矢量逆时针旋转π/2，矢量长度不变，依然是r，但方向旋转了，矢量变成了ir。将矢量ir再乘以i，等于又逆时针旋转了π/2，角度变成π，矢量ir变成了矢量iir=-r。将矢量iir=-r再乘以i,又逆时针旋转了π/2，矢量iir=-r变成了iiir=-ir，这时角度是3π/2。再进行一次旋转，角度变成2π，矢量iiir=-ir变成了iiiir=r。又回到原来的实数矢量r了。这样，一个矢量的终点坐标位置就可以用（a，ib）来表示了。 |
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那么对于在x-y平面上的一条直线y=kx上的点（a，b），也就是复平面上的点（a，ib)，可以写成a+ib，将它乘以i，就得到了（a+ib）i=-b+ia，它就是坐标旋转π/2后，直线上点的新坐标 （-b，a）。 |
| 现在我们已经知道了一个纯虚数i和一个复数相乘i(a+ib)的意义了，它就是对原坐标(a,b)进行逆时针π/2旋转。那么两个复数相乘呢？即（c+id)(a+ib)的意义又如何呢？计算出来是ac-bd+i(ad+bc)，实部和虚部都改变了。这意味着矢量在旋转后长度也改变了。 |
| 我现在看出，复数的本质就是平面上的坐标点，复数经过运算后，不仅能够旋转这些坐标点的位置，还能改变它们到原点的距离。x-y平面直角坐标上的一个坐标点(a，b）就对应一个复数a+ib，对这个复数乘以i仅仅是旋转角度为π/2的一个特例。 |
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接[2楼]
“这里的i代表逆时针旋转π/2的意思”，同样道理，-i代表顺时针旋转π/2的意思。所以i^2是逆时针旋转了π角度，(-i)^2是顺时针旋转了π角度，终点都落在角度π上。因此(-i)^2=i^2=-1。 |
| 更正[5楼]：“这条直线变成了y=-kx。”应为“这条直线变成了y=-x/k。”。 |
| 比如一个矢量的终点在（1，1），它的模r=√2，如果这个复数（坐标）乘以2i，则它的终点在（-2，2），它的模r=2√2。 |
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绕原点逆时针旋转坐标(x,y) θ角得坐标(x’,y’),则 x’=xcosθ-ysinθ y’=xsinθ+ycosθ 当θ=π/2时， x’=xcosθ-ysinθ=-y y’=x 原坐标（a,b)变成了新坐标（-b,a)和[3楼]所述完全一致。 |
| 读书就要这样读，学习也要这样学。把不同的事物联系起来，分析它们之间有哪些结合点，这样思维才能活跃起来。我现在还想试图通过这个坐标旋转公式，再通过其他的联系，比如角度θ=π/2等，直接反推出来i的表达式，使i^2=-1，可以直接写出来，而不是从定义那里得到。这可能是奢望，但不一定不可能。 |
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对[23楼]说： 我只是对i这个虚单位所含有的意义加以挖掘。一个坐标（a，b），写成了（a，ib），其实中间的那个“+”号都是可要可不要的。把这个坐标乘以i，也就是分别对括号内的数分别乘以i，就得到了（ia，iib）=(ia，-b)，这就相当于把原坐标的x轴和y轴调了包，原x轴方向变成了y轴方向，原y轴方向变成了x轴负方向。也就是如果把点的位置固定，则坐标顺时针旋转了π/2。但这不符合我们的看图习惯，我们还要把x轴作为水平方向，y轴作为垂直方向，则就要把括号内的表示x坐标点的ia，表示y坐标点的-b对换一下位置，变成了(-b，ia)，这样就在保持坐标系不旋转，把坐标系上的点逆时针旋转了π/2。乘i的操作过程就是将纵坐标变号后，再和横坐标对调位置。其实就是这么简单。坐标正向旋转π/2就这么简单。其实i只表示一种操作后留下的痕迹（记号）。 |
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逆时针旋转π/2，操作过程就是将纵坐标变号后，再和横坐标对调位置，用数学表达就是
x'=-y，y'=x 顺时针旋转π/2，操作过程就是将横坐标变号后，再和纵坐标对调位置，用数学表达就是 x'=y，y'=-x |
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例题: 把位于x-y平面上四个象限的坐标点a（1，2）、b（-2，3）、c（-3，-4）、d（4，-5）绕原点O逆时针旋转π/2，求旋转后四个点的新坐标。 解：将各点的y坐标值变号，然后对调位置。 a'（-2，1）、b'（-3，-2）、c'（4，-3）、d'（5，4） |
