| 在实数轴上，从原点O到点r的一段线段，把它看成由原点O发出的矢量r，如果把这个矢量乘以i，就是把这个矢量逆时针旋转π/2，矢量长度不变，依然是r，但方向旋转了，矢量变成了ir。将矢量ir再乘以i，等于又逆时针旋转了π/2，角度变成π，矢量ir变成了矢量iir=-r。将矢量iir=-r再乘以i,又逆时针旋转了π/2，矢量iir=-r变成了iiir=-ir，这时角度是3π/2。再进行一次旋转，角度变成2π，矢量iiir=-ir变成了iiiir=r。又回到原来的实数矢量r了。这样，一个矢量的终点坐标位置就可以用（a，ib）来表示了。 |
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那么对于在x-y平面上的一条直线y=kx上的点（a，b），也就是复平面上的点（a，ib)，可以写成a+ib，将它乘以i，就得到了（a+ib）i=-b+ia，它就是坐标旋转π/2后，直线上点的新坐标 （-b，a）。 |
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接[3楼]: 这条直线变成了y=-x/k。 当把这条直线再旋转π/2后，直线又变回到y=kx。但是上面的点（-b，a）需要再乘以i，即(-b+ia)i=-a-ib，写成坐标就是（-a，-b）。 |
| 现在我们已经知道了一个纯虚数i和一个复数相乘i(a+ib)的意义了，它就是对原坐标(a,b)进行逆时针π/2旋转。那么两个复数相乘呢？即（c+id)(a+ib)的意义又如何呢？计算出来是ac-bd+i(ad+bc)，实部和虚部都改变了。这意味着矢量在旋转后长度也改变了。 |
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旋转坐标公式
x'=xcosθ-ysinθ y'=ycosθ+xsinθ 当θ=π/2时，计算所得和我用i相乘坐标有完全相同的效果。 |
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[6楼]中的c、d会改变矢量长度吗？原来矢量的模的平方是a^2+b^2，乘以（c+id)后，模的平方是(ac-bd)^2+(ad+bc)^2了，我计算一下。a^2c^2-2abcd+b^2d^2+a^2d^2+2abcd+b^2c^2=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2 =(c^2+d^2)a^2+(c^2+d^2)b^2 和原来的模的平方是a^2+b^2比，确实是变了。这就是把x-y平面上的曲线图像旋转加拉伸（或压缩）。 那么旋转的角度改变没有呢？还以直线为例，原来直线y=kx的斜率为k=b/a，a、b为直线上一点，旋转后， k'=(ad+bc)/(ac-bd)，c=0,d=1时，k'=-1/k，表示出旋转了π/2，和只乘i一样。c不等于零，d不等于1时，这个斜率变了，这说明旋转的角度也变了。 |
| 我现在看出，复数的本质就是平面上的坐标点，复数经过运算后，不仅能够旋转这些坐标点的位置，还能改变它们到原点的距离。x-y平面直角坐标上的一个坐标点(a，b）就对应一个复数a+ib，对这个复数乘以i仅仅是旋转角度为π/2的一个特例。 |
| 这是我在数学上发现的一个课题。朱顶余老师和无忧老师可以就这个课题深入探讨一下，我不是搞数学的，无意在这方面下功夫。 |
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接[2楼]
“这里的i代表逆时针旋转π/2的意思”，同样道理，-i代表顺时针旋转π/2的意思。所以i^2是逆时针旋转了π角度，(-i)^2是顺时针旋转了π角度，终点都落在角度π上。因此(-i)^2=i^2=-1。 |
| 太粗心！[3楼]和[8楼]旋转后的斜率都是原斜率的负倒数。 |
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更正[5楼]“这条直线变成了y=-kx。”应为“这条直线变成了y=-x/k。”
更正[8楼]“k'=-k”应为“k'=-1/k”。 |
| 更正[5楼]：“这条直线变成了y=-kx。”应为“这条直线变成了y=-x/k。”。 |
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前面讨论i(a+ib)是90度旋转后的坐标，旋转前直线的斜率是k=b/a，那么当i的系数d≠1，即id（a+ib)时如何呢？我来计算一下： id（a+ib)=-bd+iad，旋转后，此时直线的斜率为k'=-ad/bd=-a/b=-1/k，和d=1时完全一样。这表明一个复数乘一个单位虚数和非单位虚数结果一样，旋转的角度都是90度，但旋转后的矢量长度（模）改变了。模的平方由原来的a^2+b^2变成了d^2(a^2+b^2)了。开方后表明，矢量长度变成原矢量长度的d倍。 |
| 复数a+ib总可以表示出圆心在原点的圆上的一点，不同的a和b可以表示不同半径的圆上的点。而a、b的符号却对此无任何作用，因此a+ib和c+id是无法比较大小的。只有通过对模的计算，才可以判断大小。而复数的模是实数。即使a+ib的模比c+id的模大，但是直接比较是不能做到的，因为它们是坐标。比如一个半径为1的圆，在实轴上的点坐标是（1，0），写成复数就是1+i0=1，另一个是半径为2的圆，和虚轴在负方向相交，坐标是（0，-2），写成复数就是0-i2=-i2，这样的两个数1和-i2，怎么比较大小。 |
| 比如一个矢量的终点在（1，1），它的模r=√2，如果这个复数（坐标）乘以2i，则它的终点在（-2，2），它的模r=2√2。 |
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第三次旋转后，直线又变成y=-x/k。点（-a，-b）再乘以i，即(-a-ib)i=b-ia，写成坐标就是（b，-a）。 第四次旋转后，直线又变成y=kx。点（b，-a）再乘以i，即(b-ia)i=a+ib，写成坐标就是（a，b）。 这样就完成了一次整体旋转一周的操作，回到原始位置。 乘以i的结果只是使矢量或者坐标系上的点完成一次π/2的坐标旋转，矢量长度不变，因此矢量的模也不变。复数运算中的模确实也和乘了多少次i没有关系。 这种运算不仅可以用于点坐标的旋转运算，对于曲线的π/2旋转同样有效。比如双曲线y=1/x，即可写成x+i/x。当把曲线逆时针旋转π/2后，即乘以i，则（x+i/x）i=-1/x+ix，曲线变成y=-1/x。 |
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绕原点逆时针旋转坐标(x,y) θ角得坐标(x’,y’),则 x’=xcosθ-ysinθ y’=xsinθ+ycosθ 当θ=π/2时， x’=xcosθ-ysinθ=-y y’=x 原坐标（a,b)变成了新坐标（-b,a)和[3楼]所述完全一致。 |
| 读书就要这样读，学习也要这样学。把不同的事物联系起来，分析它们之间有哪些结合点，这样思维才能活跃起来。我现在还想试图通过这个坐标旋转公式，再通过其他的联系，比如角度θ=π/2等，直接反推出来i的表达式，使i^2=-1，可以直接写出来，而不是从定义那里得到。这可能是奢望，但不一定不可能。 |
| 读书就要这样读，学习也要这样学。把不同的事物联系起来，分析它们之间有哪些结合点，这样思维才能活跃起来。我现在还想试图通过这个坐标旋转公式，再通过其他的联系，比如角度θ=π/2等，直接反推出来i的表达式，使i^2=-1，可以直接写出来，而不是从定义那里得到。这可能是奢望，但不一定不可能。 |
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请楼主王普霖 先生听听我对‘i’和‘-’的认识：
拙论《“实数”新概念和解决著名悖论实例》对‘-’和‘i’论证简略如下： ‘-’可作为减号、反向号等记号外，作为负号在运算中出现时，表示禁忌、不容许等含义； 因√（-1）=√（-）=i，所以i应称为虚号（而不虚数），是绝对禁忌、不容许的含义，不能在运算中出现。 但废物可以利用，如复数a+ib，其a和b其是都是实数，虚号i在其间仅取隔离和连接作用，如欧拉公式中的i；事实上，复变数函数实质就是实变函数的二元函数。 现在教科书中的复平面表示法就是把虚号i取隔离和连接作用的方法，即平面上的点由两实数a和b决定，这多简单；而你这新方法是否弄巧成拙了？ |
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对[23楼]说： 我只是对i这个虚单位所含有的意义加以挖掘。一个坐标（a，b），写成了（a，ib），其实中间的那个“+”号都是可要可不要的。把这个坐标乘以i，也就是分别对括号内的数分别乘以i，就得到了（ia，iib）=(ia，-b)，这就相当于把原坐标的x轴和y轴调了包，原x轴方向变成了y轴方向，原y轴方向变成了x轴负方向。也就是如果把点的位置固定，则坐标顺时针旋转了π/2。但这不符合我们的看图习惯，我们还要把x轴作为水平方向，y轴作为垂直方向，则就要把括号内的表示x坐标点的ia，表示y坐标点的-b对换一下位置，变成了(-b，ia)，这样就在保持坐标系不旋转，把坐标系上的点逆时针旋转了π/2。乘i的操作过程就是将纵坐标变号后，再和横坐标对调位置。其实就是这么简单。坐标正向旋转π/2就这么简单。其实i只表示一种操作后留下的痕迹（记号）。 |
| a+ib其实就是个坐标（a，b），所有的复数运算无非就是对坐标点的运算，这就是复数的本质。两个坐标点能比较大小么？（-1，1）和（1，-1）谁大谁小？论纵坐标，前者大；论横坐标，后者大。比较只能分别比较，纵的和纵的比，横的跟横的比。可以比谁的y大，也可以比谁的x大。 |
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对一个坐标数（a，b）乘i，实际表示的是对这个坐标数进行了一次上面所说的操作。比如对实轴上的矢量终点（r，0）进行乘i的操作，就是先将操作符号i，分别乘两个坐标，得到（ir，i0）=（ir，0）,然后位置对调，变成（0，ir），就完成坐标逆时针旋转π/2了。这个实轴上的矢量终点就跑到虚轴上去了。 其实不使用乘i操作，仅仅使用变号并对调一样得到旋转后的坐标，依据先将纵坐标变号，然后横、纵坐标对调的方法：（a，b）→(-b，a）→（-a，-b）→（b，-a）→（a，b）。旋转了2π角度后，又回到原来的坐标位置。 |
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逆时针旋转π/2，操作过程就是将纵坐标变号后，再和横坐标对调位置，用数学表达就是
x'=-y，y'=x 顺时针旋转π/2，操作过程就是将横坐标变号后，再和纵坐标对调位置，用数学表达就是 x'=y，y'=-x |
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“事实上，复变数函数实质就是实变函数的二元函数。”，这点我完全同意。事实上（a，b）（a，ib）完全是一回事。完全可抛弃i进行各种实变函数运算，只是复数提供了一些规则，依据这些规则，可使公式简洁化，具有计算方便的特点。 |
| 连续函数在坐标空间构成曲线、曲面，这些函数上点的坐标元素（x,y,z)虽然都是实数，但它们所表示的物理意义是有区别的，（x1,y1,z1)、（x2,y2,z2)、（x3,y3,3z)是无法整体比较大小的，比较只能在各自的维中比较。 |
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例题: 把位于x-y平面上四个象限的坐标点a（1，2）、b（-2，3）、c（-3，-4）、d（4，-5）绕原点O逆时针旋转π/2，求旋转后四个点的新坐标。 解：将各点的y坐标值变号，然后对调位置。 a'（-2，1）、b'（-3，-2）、c'（4，-3）、d'（5，4） |
