自从哈密顿提出n>2的向量空间中向量不可乘，还没有人做出过向量直接乘、除运算的例子，现行教材可以证明。
举例：北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编写的、王萼芳、石升明修订的《高等代数》第三版、第九章、第一行就说道“在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法与数量乘法，统称为线性运算。”这里特意提出了是数量乘法也证明了向量乘法此前不存在。我的向量乘法、除法、开方运算就是史无前例的创举，它必将进入教科书，否定哈密顿的定论。
我把三维向量四则运算重新整理一下
向量加法运算：
（ha+ib+jc）+（hd+ie+jf）=h（a+d）+i（b+e）+j（c+f）
向量减法运算 ：
（ha+ib+jc）-（hd+ie+jf）=h（a-d）+i（b-e）+j（c-f）
加、减法运算非我创造，早已有定义。

向量乘法运算：
（ha+ib+jc）（hd+ie+jf）=h(af+cd-be)+i(ae+bd-cf)+j(bf+ce-ad)
乘法满足交换律、分配律和结合律。

向量除法运算：
hd+ie+jf
=(hl+im+jn)/(ha+ib+jc)
=[h(af+cd-be)+i(ae+bd-cf)+j(bf+ce-ad)]/(ha+ib+jc)

待定系数法得到方程：
af+cd-be=l
ae+bd-cf=m
bf+ce-ad=n
a、b、c、l、m、n为已知
D=aaa+bbb+ccc+abc≠0时，方程有惟一解

d=[(ab+cc)l+(ac+bb)m+(bc-aa)n]/(aaa+bbb+ccc+abc)
e=[(ac-bb)l+(bc+aa)m+(ab+cc)n]/(aaa+bbb+ccc+abc)
f=[(bc+aa)l+(ab-cc)m+(ac+bb)n]/(aaa+bbb+ccc+abc)
将d、e、f代入z=hd+ie+jf即得商。

向量平方运算： 

一个三维向量z=（ha，ib，jc）的平方Z
根据我的乘积公式，令d=a、e=b、f=c 即可，
Z=h(af+cd-be)+i(ae+bd-cf)+j(bf+ce-ad)
=h(ac+ac-bb)+i(ab+ab-cc)+j(bc+bc-aa)
=h(2ac-bb)+i(2ab-cc)+j(2bc-aa)
  
向量开方运算:
z=ha+ib+jc
=√(hd+ie+jf)
=√[h(2ac-bb)+i(2ab-cc)+j(2bc-aa)]

待定系数法得到方程：
2ac-bb=d
2ab-cc=e
2bc-aa=f
d、e、f为已知
解得a、b、c代入z=ha+ib+jc即得平方根。