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接[3楼]: 这条直线变成了y=-x/k。 当把这条直线再旋转π/2后，直线又变回到y=kx。但是上面的点（-b，a）需要再乘以i，即(-b+ia)i=-a-ib，写成坐标就是（-a，-b）。 |
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旋转坐标公式
x'=xcosθ-ysinθ y'=ycosθ+xsinθ 当θ=π/2时，计算所得和我用i相乘坐标有完全相同的效果。 |
| 我现在看出，复数的本质就是平面上的坐标点，复数经过运算后，不仅能够旋转这些坐标点的位置，还能改变它们到原点的距离。x-y平面直角坐标上的一个坐标点(a，b）就对应一个复数a+ib，对这个复数乘以i仅仅是旋转角度为π/2的一个特例。 |
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更正[5楼]“这条直线变成了y=-kx。”应为“这条直线变成了y=-x/k。”
更正[8楼]“k'=-k”应为“k'=-1/k”。 |
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前面讨论i(a+ib)是90度旋转后的坐标，旋转前直线的斜率是k=b/a，那么当i的系数d≠1，即id（a+ib)时如何呢？我来计算一下： id（a+ib)=-bd+iad，旋转后，此时直线的斜率为k'=-ad/bd=-a/b=-1/k，和d=1时完全一样。这表明一个复数乘一个单位虚数和非单位虚数结果一样，旋转的角度都是90度，但旋转后的矢量长度（模）改变了。模的平方由原来的a^2+b^2变成了d^2(a^2+b^2)了。开方后表明，矢量长度变成原矢量长度的d倍。 |
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第三次旋转后，直线又变成y=-x/k。点（-a，-b）再乘以i，即(-a-ib)i=b-ia，写成坐标就是（b，-a）。 第四次旋转后，直线又变成y=kx。点（b，-a）再乘以i，即(b-ia)i=a+ib，写成坐标就是（a，b）。 这样就完成了一次整体旋转一周的操作，回到原始位置。 乘以i的结果只是使矢量或者坐标系上的点完成一次π/2的坐标旋转，矢量长度不变，因此矢量的模也不变。复数运算中的模确实也和乘了多少次i没有关系。 这种运算不仅可以用于点坐标的旋转运算，对于曲线的π/2旋转同样有效。比如双曲线y=1/x，即可写成x+i/x。当把曲线逆时针旋转π/2后，即乘以i，则（x+i/x）i=-1/x+ix，曲线变成y=-1/x。 |
| 读书就要这样读，学习也要这样学。把不同的事物联系起来，分析它们之间有哪些结合点，这样思维才能活跃起来。我现在还想试图通过这个坐标旋转公式，再通过其他的联系，比如角度θ=π/2等，直接反推出来i的表达式，使i^2=-1，可以直接写出来，而不是从定义那里得到。这可能是奢望，但不一定不可能。 |
| 读书就要这样读，学习也要这样学。把不同的事物联系起来，分析它们之间有哪些结合点，这样思维才能活跃起来。我现在还想试图通过这个坐标旋转公式，再通过其他的联系，比如角度θ=π/2等，直接反推出来i的表达式，使i^2=-1，可以直接写出来，而不是从定义那里得到。这可能是奢望，但不一定不可能。 |