| 旋转后的点全部更换了所在象限，由横、纵坐标的符号可看出这种变化。 |
| 旋转后的点全部更换了所在象限，由横、纵坐标的符号可看出这种变化。 |
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例题2:
把x-y平面上的四个象限的坐标点a（-2，1）、b（-3，-2）、c（4，-3）、d（5，4）绕原点O顺时针旋转π/2，求旋转后四个点的新坐标。 解：将各点的x坐标值变号，然后对调位置。 a'（1，2）、b'（-2，3）、c'（-3，-4）、d'（4，-5） 又变回例题1原来的位置了。多么快捷简单的操作啊！ |
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i在我这里看就是个操作符，它本身不是数，虚数ib表明它是由b旋转而来。在实数轴上的矢量b，逆时针每旋转π/2，就标以i，表明这个是垂直于实轴的矢量了。再把它逆时针旋转π/2，就是又对它进行了一次i操作，就是iib=-b。也就是原来的矢量方向指向x轴负方向了，长度还没变，这个-b又成了x坐标。i在这里就是旋转次数的标志，又是矢量方向的标志。事实上，这个矢量旋转一周，经过四次旋转，每次旋转后乘一个i。就是b、ib、iib、iiib、iiiib=b。它的矢量长度，模=b始终未变，但是一会儿是x坐标值，一会儿是y坐标值，来回变。
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例题3：
一恒流负载，在负载两端电压电压为5V时，流过负载的电流为20mA；电压为10V时，电流为20mA；电压为24V时，电流为20mA。1、以电流为纵轴，电压为横轴画出电流—电压曲线。2、给出这三个点的坐标。3、讨论并分析这三个点的大小关系。 解答：1、这是在U-I直角坐标系中的一段和U轴平行的线段。 2、三个点的坐标为a（5，20），b（10，20），c（24，20）。 3、三个点的电压Ua<Ub<Uc，三个点的电流Ia=Ib=Ic，三个点的电流和电压之间无法比较大小。 如果把坐标中的电压轴当实轴，电流轴当作虚轴，三个坐标写成复数就是5+20i、10+20i、24+20i，这三个复数之间是无法比较大小的。 |
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也就是复数的实部和虚部之间没有大小关系存在。硬要比，你也不知道比的主体是什么。只能实部和实部比，虚部和虚部比。
从我的坐标旋转上看，ir矢量是由r矢量旋转而成，则r矢量的大小关系2>1>0>-1>-2也会转移到ir矢量上去，即有 2i>i>0i>-i>-2i，注意：0i是不可忽略的，即便它的乘积是零。切记，当一个虚数和0比较时，心中一定要知道是在和0i比较，而不是和实数0比较。 |
| 5+20i、10+20i、24+20i这三个数，虽然具有相同虚部，但因虚部不等于零，它们就不能归到实数轴上去，因此不能比大小，它们只能是位置。 |
| 你网上的“六队的乡亲”，又看了几遍，感动、怀旧，总是觉得像自己的经历，我还讲给儿子听 |
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复数运算最迷惑人的地方就是它把点的坐标（a，b)写成了a+ib，把两个不同方向的矢量简单地用运算符+号联系起来。如果把实数1当作x轴上的方向矢量1，其实i就是y轴上的方向矢量i。各轴上的实数就分别表示各轴上矢量的大小。i矢量和1矢量只有角度区别。因为1矢量和任何实数相乘就等于了这个实数，往往人们就意识不到1矢量的存在。正是1矢量存在，才保证任何实数都是沿x轴的排列方向。事实上一个坐标应该这样写（1a，ib）也可以写成（ib，1a），这两种表示的都是一个点，和前后顺序没有关系。因为我已经用矢量1和i定义了哪一个是x上的数，哪一个是y轴上的数。 矢量1和i 地位完全平等，它们各自旗帜下的数都是实数，但有各自的方向。相同旗帜下的实数可以比较大小，不同旗帜下的实数不能比较大小。所以虚数并不虚，一切适合1a的数学法则，也同样适合ib。 如果我们不把坐标写成 1a+ib的形式，就保持原坐标形式（1a，ib）能不能进行复数运算呢？完全能，并且不会有任何错误产生。 |
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坐标点上的实数（a，b），假如a>0、b>0，是不是a+ib>0就能成立呢？不是！ 所以即使同时具备1a>10、ib>i0，1a+ib>0也不成立。 也就是说，在10 的邻域中的任何数，都是沿x轴扩张的;在i0的邻域中的任何数，都是沿y轴扩张的。他们比较的方向是不同的。因此1矢量中的数不能和i 矢量中的数比较。
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a、b、c、d不为零时，复数（a+ib）和(c+id)之间不存在着大小关系。虚轴上的数存在大小关系并且可以比较。当b、d都为正实数时，如b>d，则ib>id，并且有ib>-ib、id>-id。
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接23楼对王普霖先生说：
其实，对i的认识，你我在原则上实质是相同的。我有关于i的事同你商量，我的邮箱ldy247484@126.com |
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对[37楼]说：
谢谢！那是我和知青的对话，是他们给整理成篇发表的。 |
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接[35楼]
就是因为ir是实数矢量r逆时针旋转π/2后得到的，所以它上面的点的纵坐标具有r的横坐标的大小。在实轴上的各点实数值，以及它们的比较关系，全部变换到纵轴上了。因此各点的比较关系依然成立。i只是一种标记，证明它是旋转而来，和原来的实数轴是一种垂直关系而已。因此并不影响纵轴轴线上数的大小关系，大的依然大，小的依然小。把i看作是方向向上的单位矢量1就完全正确了。任何一个实数和这个单位矢量1的i相乘，结果就是取了它的方向，其余都不变。因此2>1>0>-1>-2，就有2i>i>0i>-i>-2i。 我把虚轴上数值的来历都讲的十分明白了，就已经回答了“你以为2i一定大于i，太荒唐！按照你的逻辑，那么一百个“-1”一定大于一个“-1”？太荒唐！并不是 系数越大其值就越大！没这么简单，必须给出严格的规范的逻辑证明。” 第一、我肯定了2i一定大于i，并不太荒唐！ 第二、100个-1一定小于-1。编造出“按照你的逻辑，那么一百个“-1”一定大于一个“-1”？太荒唐！”才是太荒唐！ 第三、我能通过坐标旋转公式或通过我的旋转方法已经得到了严格的规范的逻辑证明。 |
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对[41楼]说：
我的邮箱是gczs@sohu.com 古刹钟声的缩写。 |
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现在我们已经知道了i的意义，就是对坐标点由x轴向y轴逆时针旋转π/2的操作。那么对于三维的坐标系这种操作也成立。
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既然i作为一个单位方向矢量出现在y轴，那么对于z轴，我们也要定义一个方向矢量j，x轴的1矢量也用字母代替，就叫h矢量吧！这样就全对称了。其实i定义在x轴，j为y轴，k为z轴最好。这样可以和以往的用法一致，但是i已经用在y轴了，所以用它前面的字母h给x轴使用了，也表示一种顺序。
这样做的结果就是：对x轴来说y轴是虚轴—i轴；对y轴来说z轴是虚轴—j轴；对z轴来说x轴是虚轴—h轴。 这样我又多定义了两种虚数单位j和h，它们和i的运算规则完全一致，无任何差别。这样就在三维坐标系中定义了三个方向矢量，在运算中互相不干扰。根据这个原则，空间一个坐标点（a，b，c）就要写成（ha，ib，jc），写成复数形式就是三维复数ha+ib+jc了。这里不再出现实数项。 对这个三维复数乘i，就是以z为轴，h矢量逆时针旋转π/2； 对这个三维复数乘j，就是以x为轴，i矢量逆时针旋转π/2； 对这个三维复数乘h，就是以y为轴，j矢量逆时针旋转π/2。 |
| 我不是学数学专业的，也不是学物理专业的，但是我学的东西我都能融会贯通，至少也要做到深刻理解。这个变号加调换位置，就是我总结出的一个实用规律。当然它是可以从公式导出的。那么它和i的相乘效果联系起来，就是独特发现了。坐标乘以i的次数和i的运算规则完全一致，也是对这个运算的验证。我也通过它猜测是先有的i^2=-1，后根据i^2=-1得出的√-1=i的。其实通过前面的计算，更完整的应该是√-1=±i。 |
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这下子添了好多新事，运算起来也热闹多了！比如
对点（a，b，c)乘以i，依照我的坐标旋转法则，坐标变成（-b，a，c）； 对点（a，b，c)乘以j，依照我的坐标旋转法则，坐标变成（a，-c，b）； 对点（a，b，c)乘以h，依照我的坐标旋转法则，坐标变成（c，b，-a）； |
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两个三维复数z1=ha+ib+jc和z2=hd+ie+jf相乘，得到的积Z,也复杂多了,为了不出现实数项，令ii=-h、jj=-i、hh=-j： Z=hhad+hiae+hjaf+hibd+iibe+ijbf+hjcd+ijce+jjcf =-jad+hiae+hjaf+hibd-hbe+ijbf+hjcd+ijce-icf |
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对[41楼]说：
收到。我也不是对数学感兴趣，逼到这儿了。我是现想现编现卖，哈哈！ |
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简化一下：一个三维复数（我定义的）ha+ib+jc和一个i相乘，即Z=i（ha+ib+jc）=iha+iib+ijc
根据[49楼]定义:ii=-h、jj=-i、hh=-j h=-ii、i=-jj、j=-hh Z=iha+iib+ijc =-iiia-hb-jjjc =ia-hb+jc 这个坐标（ha，ib，jc）经过以z为轴，逆时针旋转π/2后的新坐标就是（-hb，ia，jc） 和我以前变号后对调的方法所得结果完全一致。 这就是我发明的三维复数运算法则。 本发明为我独家研究结果，抄袭必究！ |
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接[49楼]： 因为ii=-h、jj=-i、hh=-j 所以h=-ii，i=-jj，j=-hh 把它分别代入相关联的项中，就有 Z=-jad +hiae +hjaf +hibd -hbe +ijbf +hjcd +ijce -icf =-jad -iiiae -hhhaf -iiibd -hbe -jjjbf -hhhcd -jjjce -icf =-jad +iae +haf +ibd +hbe +jbf +hcd +jce -icf =h(af+cd-be)+i(ae+bd-cf)+j(bf+ce-ad) 这就是两个三维复数的积！ |
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更正[52楼]：
“=-jad +iae +haf +ibd +hbe +jbf +hcd +jce -icf” 应为 “=-jad +iae +haf +ibd -hbe +jbf +hcd +jce -icf” “=h(af+cd-be)+i(ae+bd-cf)+j(af+ce-ad) ” 应为“=h(af+cd-be)+i(ae+bd-cf)+j(bf+ce-ad)” |
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[52楼]修改受限，现更正后重发： 两个三维复数相乘后的结果依然是一个三维复数。在将乘积展开后要进行合并同类项，其中就涉及到两个不同的方向矢量相乘的形式，必须使用ii=-h、jj=-i、hh=-j 和h=-ii、i=-jj、j=-hh将交叉项替换成一致的方向矢量。虽然有些项前面是hh、ii、jj的形式，切记不要统统写成-1，一定要分别代换成-j、-h、-i 。出现三个相同的乘积形式时可以用-1替换掉其中两个，保留一个方向矢量是必须的。最后整理出的项都是有各自方向矢量的，在我这个三维向量中不出现实部项。 |
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三维复数的模为|Z|=√(aa+bb+cc) 辐角为： Arg(Zxy)=arctan(y/x)＋2kπ,k为整数。 Arg(Zyz)=arctan(z/y)＋2kπ,k为整数。 Arg(Zzx)=arctan(x/z)＋2kπ,k为整数。 |
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补充[46楼]：
“对x轴来说y轴是虚轴—i轴；对y轴来说z轴是虚轴—j轴；对z轴来说x轴是虚轴—h轴。”实际上每个轴看另外两轴都是虚轴。h、i、j方向矢量已经和x、y、z 轴对应好了。这里所谓的“虚轴”就是实数轴，为了利用虚数的计算规则计算方向矢量，把它们“看”做虚轴。 从我的这些推导中我已经深刻感到，虚数单位i就是方向矢量。这样理解了以后，使用起来头绪越来越清楚。 |
| 我太累了！不是学数学的却摆弄起这东西来了。睡觉了！刚才的兴奋已经过去，疲劳已经袭来。 |
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三维复数的加法 我们知道，在二维复平面上的一点（a，ib），代表的是一个从原点出发的矢量终点坐标，这个坐标既表达了矢量的模，又表达了矢量的角度。在三维复数空间的坐标点（ha，ib，jc）也是一个从原点出发的空间矢量的终点，同样表达了矢量的模和角度。这个角度由矢量在各坐标平面（x-y平面、y-z平面、z-x平面）上的投影所决定。任意两个平面上的角度投影j就确定了矢量的方向。 当两个三维复数做加法运算时，就是矢量相加；做减法运算就是矢量相减。 |
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与二维复平面向量一样，两个三维复数向量z1和 z2也满足下列不等式：
|z1+z2|<=|z1|+|z2| |z1+z2|>=||z1|-|z2|| |z1-z2|<=|z1|+|z2| |z1-z2|>=||z1|-|z2|| |
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两个向量 z1=hx+iy+jz，和 z2=hx+iy-jz中有一个向量z的符号相反，则称两向量为关于x-y平面对称的共轭向量； z1=hx+iy+jz，和 z2=-hx+iy+jz中有一个向量x的符号相反，则称两向量为关于y-z平面对称的共轭向量； z1=hx+iy+jz，和 z2=hx-iy+jz中有一个向量y的符号相反，则称两向量为关于z-x平面对称的共轭向量； z1=hx+iy+jz，和 z2=hx-iy-jz中有两个向量y和z的符号相反，则称两向量为关于x轴对称的共轭向量； z1=hx+iy+jz，和 z2=-hx+iy-jz中有两个向量x和z的符号相反，则称两向量为关于y轴对称的共轭向量； z1=hx+iy+jz，和 z2=-hx-iy-+z中有两个向量x和y的符号相反，则称两向量为关于z轴对称的共轭向量； z1=hx+iy+jz，和 z2=-hx-iy-jz中有三个向量x、y和z的符号都相反，则称两向量为关于原点对称的向量； |