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两个三维复数z1=ha+ib+jc和z2=hd+ie+jf相乘的积为z，z=h(af+cd-be)+i(ae+bd-cf)+j(bf+ce-ad)
看这个新矢量的组成很复杂，一下子也说不出几何规律来，比平面复数的乘积更难理解，直观性更差。谁有兴趣？ |
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两个三维复数z1=ha+ib+jc和z2=hd+ie+jf相乘的积为z，z=h(af+cd-be)+i(ae+bd-cf)+j(bf+ce-ad)
看这个新矢量的组成很复杂，一下子也说不出几何规律来，比平面复数的乘积更难理解，直观性更差。谁有兴趣？ |
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三维复数z1=ha+ib+jc和z2=hd+ie+jf当第三维的数c=f=0时，它实际就化成了二维复数，也就是说，二维复数只是三维复数的一个子集。
从而z1=ha+ib+jc和z2=hd+ie+jf变成了z1=ha+ib和z2=hd+ie 两个复数的积z=h(af+cd-be)+i(ae+bd-cf)+j(bf+ce-ad)变成了z=h(-be)+i(ae+bd)+j(-ad) 由于j=-hh 于是z=h(-be)+i(ae+bd)+j(-ad) =h(-be)+i(ae+bd)-hh(-ad) =hhad-hbe+i(ae+bd) =(ad-be)+i(ae+bd) 注：在复平面中，h=-ii=1 |
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我也找过关于三维复数的文章，至今还在找，尚未找到，但是却找出了个四维复数，有幸我找到一篇论述《从寻找三维复数谈起》的文章，是一个数学教师写的，但没署名。文章的日期是2010年3月18日。其实很多人都想到了i、j、k，但都因为ii=jj=kk=-1，导致出现实数项（成了(a，ib，jc，kd）的形式而半途而废或可说是功亏一篑。我这里的运算不允许出现实数项，即便出现了，hha、iib、jjc的项，不允许直接写成-a、-b、-c，必须代换成hha=-ja iib=-hb、jjc=-ic，这样才防止了各向量的运算结果失去方向后求和，进而无法分离开的局面产生。我的这个代换方法是没有前例的，因为它是在我分析研究了i的本质后推导出来的。这点才是我真正的“专利”。 原文因无作者名，也无法征求本人意见。我也不好粘贴过来，大家有兴趣的自己去看吧。 因为我定义了ii=-h、jj=-i、hh=-j 所以h=-ii，i=-jj，j=-hh |
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更正：
“这样才保证了各向量的运算结果失去方向后求和，进而无法分离开的局面。”应为“这样才防止了各向量的运算结果失去方向后求和，进而无法分离开的局面的产生。” |
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文章中的观点和我是一致的，就是不同向量的数值是“加”不到一起的。并且引述了Hamilton在1837年完成澄清复数概念的最后一步，Hamilton说：“复数a+bi不是象2+3意义上真正的和。加号的使用只是历史的偶然，bi不能被加到a上去。复数a+bi只不过是有序实数对（a,b)。”这点我完全认同，就是因为如此，我才把二维复数的实数轴也看作和i轴一样的轴，并且引出1矢量的概念，并且强调它和i是地位相等的。以至于在我后来引出的三维复数中，直接把1矢量改成h矢量，避免了实数、虚数之分。
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| 在物理上，不同物理量的东西是不能做和差运算的，比如我前面例子中的电压U和电流I，不能出现类似X=U+I这类不明式子，因为它们属于不同维，因而也不能比较。复数中的a和b也一样，它们分数1矢量维和i矢量维，因此它们之间也不能比较大小。 |
| [67楼]：“它们分数1矢量维和i矢量维”应为“它们分属1矢量维和i矢量维”。 |
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人们寻找三维复数的失败证明了人们的思路错了。 两个三维复数z1=ha+ib+jc和z2=hd+ie+jf相乘，得到的展开式的积 Z=hhad+hiae+hjaf+hibd+iibe+ijbf+hjcd+ijce+jjcf 其中hh、ii、jj部分应该是分属不同矢量的“-1”，却被人们按照传统的方法统统写成-1了，以致把ad、be、cf都作为相同的实数加了起来，成了-（ad+be+cf）。于是就在三维外，又出现了一个实数维，这个结果明显是错误的。因为ad、be、cf前面的hh、ii、jj得到的“-1”是分别属于j、h、i矢量的“-1”，它们不能合并成一个实数。 我开发的三维复数，因为把实数维（x轴）隐含的1矢量提出来，作为显标志h放在x轴上，如同i放在y轴上一样。因此ii=-1就变成了ii=-h。同理，jj=-i，hh=-j。 所以我的hhad=-jad、iibe=-had、jjcf=-icf。其它每种交叉项也可以变成一个唯一与其对应的相同的方向矢量，所以我的各项可以整理成单一方向矢量的分项 Z==-jad +iae +haf +ibd -hbe +jbf +hcd +jce -icf 最后合并同类项，得到： Z==h(af+cd-be)+i(ae+bd-cf)+j(bf+ce-ad) 我的这种做法是完全正确的，它不会出现额外的实数项，不会出现四元复数。因此真正的三维复数是存在的。 这是非常重要的！其意义是十分巨大的！ |
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我的这种“把实数维（x轴）隐含的1矢量提出来，作为显标志h放在x轴上，如同i放在y轴上一样。因此ii=-1就变成了ii=-h。”的方法，把它用于二维复数同样有效：
我们可以把实数轴x轴也看作和y轴一样的轴，标以h。于是复数就成为了（ha，ib），这样就有ii=-h，就是ii=-1,（1 ∈h）。 |
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我也找过关于三维复数的文章。三维复数至今还在找，尚未找到，但是却找出了个四维复数。我有幸找到一篇《从寻找三维复数谈起》的论述文章。这是一个数学教师写的，但没署名。文章的日期是2010年3月18日。其实很多人都想到了i、j、k，但都因为ii=jj=kk=-1，导致出现实数项（成了(a，ib，jc，kd）的形式而半途而废或可说是功亏一篑。我这里的运算不允许出现实数项，即便出现了，hha、iib、jjc的项，不允许直接写成-a、-b、-c，必须代换成hha=-ja iib=-hb、jjc=-ic，这样才防止了各向量的运算结果失去方向后求和，进而无法分离开的局面产生。在产生交叉项时，用我的定义代换成一致的方向矢量。我的这个代换方法是没有前例的，因为它是在我分析研究了i的本质后推导出来的。这点才是我真正的“专利”。
原文因无作者名，也无法征求本人意见。我也不好粘贴过来，大家有兴趣的自己去看吧。 因为我定义了ii=-h、jj=-i、hh=-j 所以有h=-ii，i=-jj，j=-hh 这六个等式是我三维复数的基础。 |
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Z=h(af+cd-be)+i(ae+bd-cf)+j(bf+ce-ad)的模为|Z|
|Z|^2=(af+cd-be)^2+(ae+bd-cf)^2+(bf+ce-ad)^2 我已经试图展开后再化简，展开项太多了，无法化简，这是最简式。 数学上经常采用1来简化计算，我们就设想几种三维复数的积： 由公式Z=h(af+cd-be)+i(ae+bd-cf)+j(bf+ce-ad) 得到 （h，i，j）（h，i，j）=（h，i，j） （h2，i2，j2）（h2，i2，j2）=（h4，i4，j4） （h3，i3，j3）（h3，i3，j3）=（h9，i9，j9） 线性定理1 一个系数乘一个向量，等于系数遍乘这个向量的各个分量。 再看一下它们的模 |（h，i，j）|=√（1+1+1）=√3 |（h2，i2，j2）|=√（4+4+4）=2√3 |（h3，i3，j3）|=√（9+9+9）=3√3 线性定理2 一个系数乘一个向量后的模，等于这个系数乘它的模。 |
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（h，i0，j0）（ha，ib，jc）=（hha，hib，hjc）
=（-ja，ib，hc） =（hc，ib，-ja）…………（1）ok （h，i0，j0）（hc，ib，-ja）=（hhc，hib，-hja） =（-jc，ib，-ha） =（-ha，ib，-jc）…………（2）ok （h，i0，j0）（-ha，ib，-jc）=（-hha，hib，-hjc） =（ja，ib，-hc） =（-hc，ib，ja）…………（3） （h，i0，j0）（-hc，ib，ja）=（-hhc，hib，hja） =（jc，ib，ha） =（ha，ib，hc）…………（4） 以上是向量（ha，ib，jc）以i轴为旋转轴连续四次逆时针旋转π/2后的结果，又回到初始位置。 |
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老师们、同学们可以自行以其它轴为旋转轴，尝试着计算计算
ii=-h、jj=-i、hh=-j h=-ii，i=-jj，j=-hh |
| 19世纪，数学家们“证明”了：对于实数域上的n维向量空间，当n>2时 ，无法定义乘法运算，使它成为域。这就是为什么只称二维向量的为复数，而不称其他向量为复数的道理。 |
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两个三维复数z1=ha+ib+jc和z2=hd+ie+jf相乘得到积Z,以往的数学家是如何做的？他们令ii=-1、jj=-1、hh=-1：
Z=hhad+hiae+hjaf+hibd+iibe+ijbf+hjcd+ijce+jjcf =-（ad+be+cf)+hiae+hjaf+hibd+ijbf+hjcd+ijce 以下如何变就不用去管它了，仅做到这里，错误就已经产生了，产生了一个不属于任何一维的实数项。后面再怎么做，都不可能有正确答案了。因此数学家就把它证明成“不可乘”。 |
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我就是这么乘的： 我已经通过我的方法成功地推导出两个三维复数z1=ha+ib+jc和z2=hd+ie+jf乘积的公式： Z=hhad+hiae+hjaf+hibd+iibe+ijbf+hjcd+ijce+jjcf =-jad +hiae +hjaf +hibd -hbe +ijbf +hjcd +ijce -icf =-jad -iiiae -hhhaf -iiibd -hbe -jjjbf -hhhcd -jjjce -icf =-jad +iae +haf +ibd -hbe +jbf +hcd +jce -icf =h(af+cd-be)+i(ae+bd-cf)+j(bf+ce-ad) 其中方向矢量的平方项、交叉项就通过我定义的ii=-h、jj=-i、hh=-j导出的 h=-ii，i=-jj，j=-hh 变换的，这个乘积我已经验证过了，推导出的公式完全正确。 谁还说19世纪就证明“不可乘”？ |
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接[62楼]：
“三维复数z1=ha+ib+jc和z2=hd+ie+jf当第三维的数c=f=0时，它实际就化成了二维复数，也就是说，二维复数只是三维复数的一个子集。 从而z1=ha+ib+jc和z2=hd+ie+jf变成了z1=ha+ib和z2=hd+ie 两个复数的积z=h(af+cd-be)+i(ae+bd-cf)+j(bf+ce-ad)变成了z=h(-be)+i(ae+bd)+j(-ad) 由于j=-hh 于是z=h(-be)+i(ae+bd)+j(-ad) =h(-be)+i(ae+bd)-hh(-ad) =hhad-hbe+i(ae+bd) =(ad-be)+i(ae+bd) 注：在复平面中，h=-ii=1” 我直接用平面复数的乘法计算z1=ha+ib和z2=hd+ie z1=ha+ib=a+ib z2=hd+ie=d+ie z=z1z2=ad+iae+ibd+iibe =(ad-be)+i(ae+bd) 结果显示和从三维向量积中简化而来的完全一致。这说明我推导出的公式没有任何错误。我完全推翻了n>2时向量不能做乘法的定论。 |
| 同理，我同样可以将三维坐标中另外其它两维消去一维，比如x或y，那么三维向量就立刻化为关于y-z或z-x平面上的二维复数了。因为我的这个公式是全对称的。 |
| 当我认清了h、i、j的本质之后，n维复数的乘法操作也将成为可能,n现在已经由不大于2变成可以大于3了。 |
| 三维向量的乘积的几何意义也已经在[73楼]、[74楼]中展示了，它和二维复数一样，是空间向量的伸缩和旋转。 |
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三维复数的h、i、j不过是三个实数维的方向标志，当我把其中任意一维的标志隐藏起来，比如把h隐藏起来，就是把它当成矢量1，那么这个实数维就没有明显标志了，我们就以为它所代表维的数就是实数，其它二维是虚数，其实就是大错特错。人们往往意识不到这点，比如计算z=(a+bi)(a+bi)+(c+dj)(c+dj)+e这个式子，其中a、c、e三个实数，其实都是隐标志1矢量旗下的实数。当把z展开，得到 z=aa+i2ab+iibb+cc+j2cd+jjdd+e 这时aa+cc+e是一个隐标志维（1矢量维）的数。 iibb不能写成-bb，jjdd也不能写成-dd加入到aa+cc+e里去，只要出现了z=（aa+cc+e-bb-dd）+i2ab+j2cd这个算式一定是计算错误！可惜很多数学家都是这样做的。 应该做的就是做代换iibb为-hbb=-bb，因为h和隐标志维相同，因此-h=-1。jjdd为-idd，因此下式才是正确的： z=（aa+cc+e-bb）+i(2ab-dd)+j2cd ii=-h、jj=-i、hh=-j h=-ii，i=-jj，j=-hh |
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我通过我的六个等式（实则三个）ii=-h、jj=-i、hh=-j、 h=-ii、i=-jj、j=-hh 对平方项和交叉项的代换，可以直接列出一个对应关系： ii=-h、jj=-i、hh=-j、ih=hi=i、hj=jh=h、ji=ij=j，交叉项和乘积中前后顺序没有关系，但和循环顺序有关。按照h—i—j—h的循环顺序，在交叉项的两个方向矢量中选择顺序后面的方向矢量。即ij=ji选择j、ih=hi选择i、hj=jh选择h。 在z1=ha+ib+jc和z2=hd+ie+jf乘积中，可按这个原则直接代换： Z=hhad +hiae +hjaf +hibd +iibe +ijbf +hjcd +ijce +jjcf =-jad +iae +haf +ibd -hbe +jbf +hcd +jce -icf =h(af+cd-be)+i(ae+bd-cf)+j(bf+ce-ad) |
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一个三维向量z=（ha，ib，jc）的平方Z 根据我的乘积公式，令d=a、e=b、f=c 即可， Z=h(af+cd-be)+i(ae+bd-cf)+j(bf+ce-ad) =h(ac+ac-bb)+i(ab+ab-cc)+j(bc+bc-aa) =h(2ac-bb)+i(2ab-cc)+j(2bc-aa) |
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向量开方: z=ha+ib+jc =√(hd+ie+jf) =√[h(2ac-bb)+i(2ab-cc)+j(2bc-aa)] 待定系数法得到方程： 2ac-bb=d 2ab-cc=e 2bc-aa=f d、e、f为已知 解得a、b、c代入z=ha+ib+jc即得平方根。 |
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两个向量相除: 待定系数法得到方程： cd-be+af=l d=[(ab+cc)l+(ac+bb)m+(bc-aa)n]/(aaa+bbb+ccc+abc)
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| 所以，向量乘法的完成是创造三维复数运算的最最重要的一步。我以精准的判断力找到了以往认为三维复数不存在的定论错误所在，率先在三维空间实现了不受限制的四则运算。 |
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哈密顿就犯了我在[84楼]提到的错误，以至于他的四元数理论不伦不类，这也不行，那也不行。百度百科“四元数” http://baike.baidu.com/view/319754.htm 其中一例就使用了i^2=j^2=k^2=-1： ij=k、ji=-k、jk=i、kj=-i、ki=j、ik=-j 例子假设： x = 3 + i y = 5i + j - 2k 那么： xy =( {3 + i} )( {5i + j - 2k} ) = 15i + 3j - 6k + 5i^2 + ij - 2ik = 15i + 3j - 6k - 5 + k + 2j = - 5 + 15i + 5j - 5k 这就是错误产生的地方。这种运算既不满足交换律，又不能进行可逆运算，并且结果也不正确，完全没有实际用途。 |