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请教一个微分方程组的求解: 设X(r), Y(r)为两个待求函数, 变量为r, 方程组为: 3X’+2X/r-2/r-XY=0, [Y/4+1/(2r)]X’ +[Y’/2+Y^2/4+3Y/(2r)+1/r^2]X-1/r^2=0. X’表示X对r求导数, Y’表示Y对r求导数. 我已经求得其中一组解是 : X=1-C/r, Y=C/(r(r-C)), C为任意常数. 但我相信, 肯定还存在另一组解,只是求不出来. |
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请教一个微分方程组的求解: 设X(r), Y(r)为两个待求函数, 变量为r, 方程组为: 3X’+2X/r-2/r-XY=0, [Y/4+1/(2r)]X’ +[Y’/2+Y^2/4+3Y/(2r)+1/r^2]X-1/r^2=0. X’表示X对r求导数, Y’表示Y对r求导数. 我已经求得其中一组解是 : X=1-C/r, Y=C/(r(r-C)), C为任意常数. 但我相信, 肯定还存在另一组解,只是求不出来. |
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朱先生,
这个解代入时,似乎应该是a=1, b=0, 那么这就对应于我的解中的C=0. |
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除了a=1, b=0, 还有a=1/4, b=-6, 朱顶余先生的解是对的.甚为佩服!!!! 虽然这个解简答了一点,看起来没有什么特色.
不知朱先生是如何求出这个解的? 是用Mathematica? |
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对【4楼】说： 雕虫小技而已……但对此题若使用数学软件将一无所获。 |
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沈教授，我粗糙演算一下，好像
X=1-C/r, Y=C/(r(r-C)), 这组解，似乎不满足第二道方程： [Y/4+1/(2r)]X’ +[Y’/2+Y^2/4+3Y/(2r)+1/r^2]X-1/r^2=0. |
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我已经再次验证了一下,X=1-C/r, Y=C/(r(r-C)),确实是解.
Y=C/(r(r-C))比较复杂,但是将Y=C/(r(r-C))写为Y=1/(r-C)-1/r, 代入进去,就可以比较简单了. 这是两个一阶微分方程,代入进去,就可以得到X或者Y的二阶微分方程,所以,我认为有两解. 尽管这是非线性方程,但我相信,二阶微分方程应该有两解. |
| X=a, Y=b/r中,是否a,b是确定的, 也就是: a=1/4, b=-6? |
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对【8楼】说： 线性微分方程 有几阶就有几个解析解。 对于质因式型非线性方程（组），即不可再继续进行因式分解的非线性微分方程（组）之解析解只能是唯一的。 一解难求，能有一个解析解已经是很万幸的了，绝无可能同时满足两个线性无关的解析解。一个刚性模具要么是圆形要么就是矩形，岂可亦此亦彼。 |
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对【9楼】说： 常系数非线性微分方程（组）很少有解析解，万一幸存着解析解，其系数必然也只能是些特定值。 非线性微分方程（组）往往代表着事物的客观规律，其客观规律是唯一的，当然也是被确定的，岂可亦此亦彼。 |
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对【8楼】说： 沈教授，即使进行分式分解，也还不能构成恒等式。 不必去对各种同类项进行合并衡算；只要 其中有一种同类项 譬如 1/r^2 这一项若不能平衡即无法互相抵消， 那就意味着不接受这个解析解。
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| 请细心验证我的解,是否要打破"绝无可能同时满足两个线性无关的解析解"? |
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朱先生,我的解也是符合的,请细心验算.
对于"非线性微分方程（组）往往代表着事物的客观规律，其客观规律是唯一的，当然也是被确定的，岂可亦此亦彼。" 这个问题,也是我经常想的问题,即假如有两个解,为什么要选择这个解,而不是那个解,我认为与边界条件有关. |
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我无意分析沈先生的方程，而是穿插另外一个事情。
为什么会有牛顿定律、动量守恒，为什么万有引力方程是这样的，为什么我们得到的很多方程都是整数次幂，为什么我们能得到类似x=y这样表达式,等等，这些都是我曾经反复思考的问题。 后来，我终于明白其中的原因。我们很容易把这些东西误解为“客观规律”，其实它们只是反映客观规律的一定约定或一定约定下对客观规律的反映，它们不是客观规律，与客观规律不是一对一的关系，也不是必然、唯一成立的，它们的成立是主客观共同的产物，与人类的智慧是分不开的。 |
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对【14楼】说： 只单纯地对“1/r^2”项进行衡算……很明显，并不平衡。
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[X=1-C/r, Y=C/(r(r-C)), C≠0.] 对于这组解并不满足第二道方程的要求；只要关注（衡算）“1/r^2”这种同类项的系数之代数和是否等于零即可，不必再去衡算其他种同类项的系数情况。 |
| 将Y=C/(r(r-C))写为Y=1/(r-C)-1/r可以产生很多“1/r^2”,朱先生不要算错. |
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对【19楼】说： 我早已就上传 具体计算过程式，网页不显示，我也毫无办法。 |
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将 X=1-C/r,Y=1/(r-C)-1/r 代入 第二道方程： [Y/4+1/(2r)]X’ +[Y’/2+Y^2/4+3Y/(2r)+1/r^2]X-1/r^2=0. 且 仅需关注（衡算）其中某一种同类项的系数之代数和即可判定其是否为其解析解。 我们不妨就只关注 “1/r^2”这种同类项的系数之代数和是否等于零。 同时注意到：X'=C/r^2；Y'=-1/(r-C)^2+1/r^2 则有： (C/r^2){(1/4)[1/(r-C)-1/r]+1/(2r)}+(1-C/r){[-1/(r-C)^2+1/r^2]/2 +(1/4)[1/(r-C)-1/r]^2+1/r^2+(3/2)(1/r)[1/(r-C)-1/r]}-1/r^2=0（?） 如果上式真的等于零，应该有其中任意一种同类项之系数和都必须各自等于零。 我们不妨就选择其中的“1/r^2”这种同类项来累和，看是否等于零。 关于“1/r^2”这种同类项似乎只能从中寻找到这些： -1/r^2+1/r^2+(1/2)/r^2+(1/4)/r^2-(3/2)/r^2=-(3/4)/r^2≠0； 注意：C≠0 |
| 像沈教授所提供的这种质因式类型的非线性微分方程（组），方程（组）中各项的系数都被具体的数字所精确标定，则若万一幸存着解析解，则必然属于唯一的。 |
| 解析解的系数有别是经常的，但尚未破坏其“线性相关性”，即其结构尚无差别。 |
| 1/r^2、1/(r-C)^2、1/[r(r-C)]并非独立、“线性无关的”，彼此是有联系的，因此它们的系数分布不是唯一的。 |
| 比方说，1/(r-C)，可以化为1/r+C/（r(r-C)）,那么其平方，即1/(r-C）^2，也可以生成1/r^2与1/[r^2(r-C)]。 |
| 朱先生：21楼我已经阅完。感谢具体计算！！不过我认为，这绝对不是仅仅寻找1/r^2、1/(r-C)^2、1/[r(r-C)]的系数那么简单的。 |
| 朱先生：21楼我已经阅完。感谢具体计算！！不过我认为，这绝对不是仅仅寻找1/r^2、1/(r-C)^2、1/[r(r-C)]的系数那么简单的。 |