那就 待 变形后 再对 各种 同类项 进行各自衡算。

那就 待 变形后 再对 各种 同类项 进行各自衡算。

多项式 中的 “项”是相对的，可以存在“项中项”，

譬如   我们怎样才能运用恒等式原理从(a+b-5)x^2+(2a-c-5)x+a+d-9=0 中求出 ：a、b、c、d    这 四个知数  ？

这里似乎缺少条件？

 其实，我们可以进行恒等变形 使之 多出(x+1)^2这一项，

a(x+1)^2 +bx^2-cx+d=3(1+x)^2+2x^2-x+6

这个例子说明 “项”是相对的，可以组合出一种 新的 “项”。

也就是说，我们不必 使用 分式分解的手段 去努力 分解某些结构的“项”，完全可以去考察现有形式的 “项”的系数

是否平衡？如果是恒等式 无论你如何变更“项”的具体结构，各种新项的系数必将达成新的平衡。

也就是说  判断 恒等式 与“项”的具体结构形式无关。

所以 不必去努力分解 分式。

反之亦然  如果多项式 在某种 结构形式状态没有达成系数平衡，即使你去努力分解出新的“项”，勉强使得该项达成了平衡，必将出现 新的不平衡“项”，只要含有一种同类项的系数不平衡，那么就会“一票否决”，即决定了这个多项式不属于恒等式。

多项式 中的 “项”是相对的，可以存在“项中项”，

譬如   我们怎样才能运用恒等式原理从(a+b-5)x^2+(2a-c-5)x+a+d-9=0 中求出 ：a、b、c、d    这 四个知数  ？

这里似乎缺少条件？

 其实，我们可以进行恒等变形 使之 多出(x+1)^2这一项，

a(x+1)^2 +bx^2-cx+d=3(1+x)^2+2x^2-x+6

这个例子说明 “项”是相对的，可以组合出一种 新的 “项”。

也就是说，我们不必 使用 分式分解的手段 去努力 分解某些结构的“项”，完全可以去考察现有形式的 “项”的系数

是否平衡？如果是恒等式 无论你如何变更“项”的具体结构，各种新项的系数必将达成新的平衡。

也就是说  判断 恒等式 与“项”的具体结构形式无关。

所以 不必去努力分解 分式。

反之亦然  如果多项式 在某种 结构形式状态没有达成系数平衡，即使你去努力分解出新的“项”，勉强使得该项达成了平衡，必将出现 新的不平衡“项”，只要含有一种同类项的系数不平衡，那么就会“一票否决”，即决定了这个多项式不属于恒等式。

（新）定理

恒等式 与“项”的具体结构形式无关。

如果属于“恒等式”，你无论如何变更“项”的具体形式，都必将始终保持新的同类项的系数之和等于零。

如果不属于恒等式，无论如何变更“项”的具体形式，都无法实现新的同类项的系数之和等于零。顾此失彼；捉襟见肘。

 沈教授，按照你的思路，那就会是恒等式问题变得朴素迷离，譬如

y=x+sinx属于 y"+y=x 解析解之一，这是如何得知的呢，就是因为比较恒等式 -sinx+x+sinx=x

中各种同类项系数的结果

如果 有人硬说 y=3x+(sinx)^2 也是该方程的一种解析解，且还说 可以将 sinx 化为：

这样 就会使恒等式变得很复杂，无法验证。

所以 切忌 刻意变换因子的形式，这样会无休止地变换下去……

再说 当你 将 原有的式中的 分式因子进行恒等变换   便会创生出全新的分式因子，这些全新的分式因子 属于新的成员，也要另立门户， 即也要保证自己的同类项的系数之代数和等于零，这就是新的问题。所以，即使你进行一些恒等变形

即使勉强使得“1/r^2”这种同类项系数保持平衡，但又会出现全新的同类项譬如“1/r”这种同类项的系数代数和无法等于零，当然，你还可以 继续变形 设法 使得 “1/r”这种同类项再勉强凑合平衡，但又会出现新的项譬如“1/r^3”这种全新的同类项，当然，你还可以继续变形……如此循环往复繁衍下去 何时休？最后使得问题变得朴素迷离……莫衷一是

那么 究竟  如何来判别 其解析解呢？成为永远争论不休无法定论的不解之题

(C/r^2){(1/4)[1/(r-C)-1/r]+1/(2r)}+(1-C/r){[-1/(r-C)^2+1/r^2]/2
+(1/4)[1/(r-C)-1/r]^2+1/r^2+(3/2)(1/r)[1/(r-C)-1/r]}-1/r^2=0？

干脆 令 C=1，r=2，且分别代入上式【援引 [21楼]】，进行数值验证，一步到位。

对21楼的恒等式？可以直接进行数值验证，譬如令 C=1、r=2，分别代入其左边，进行计算，看是否真的会等于零？

我的口算结果是大于零，好像是：5/32

(C/r^2){(1/4)[1/(r-C)-1/r]+1/(2r)}+(1-C/r){[-1/(r-C)^2+1/r^2]/2
+(1/4)[1/(r-C)-1/r]^2+1/r^2+(3/2)(1/r)[1/(r-C)-1/r]}-1/r^2=0（？）

沈教授

干脆进行数值验解：

(C/r^2){(1/4)[1/(r-C)-1/r]+1/(2r)}+(1-C/r){[-1/(r-C)^2+1/r^2]/2
+(1/4)[1/(r-C)-1/r]^2+1/r^2+(3/2)(1/r)[1/(r-C)-1/r]}-1/r^2=0？

干脆 令 C=1，r=2，且分别代入上式【援引 [21楼]】，进行数值验证，一步到位。

沈教授

干脆进行数值验解：

(C/r^2){(1/4)[1/(r-C)-1/r]+1/(2r)}+(1-C/r){[-1/(r-C)^2+1/r^2]/2
+(1/4)[1/(r-C)-1/r]^2+1/r^2+(3/2)(1/r)[1/(r-C)-1/r]}-1/r^2=0？

干脆 令 C=1，r=2，且分别代入上式【援引 [21楼]】，进行数值验证，一步到位。

 沈教授，你这个方程组有两个解析解，很可能不是质因式型的多项式。

3X’+2X/r-2/r-XY=0,

[Y/4+1/(2r)]X’ +[Y’/2+Y^2/4+3Y/(2r)+1/r^2]X-1/r^2=0.

非线性微分方程超过两项，就有可能存在线性无关的多个解，因为 有可能 不属于 质因式。

非线性微分方程的唯一解 只适用于 两项微分方程。

非线性微分方程超过两项，就有可能存在线性无关的多个解，因为 有可能不属于质因式

 两项非线性微分方程 是不可能存在两个线性无关的解析解的。

但我相信, 肯定还存在另一组解,只是求不出来.  

沈教授，你如何敢肯定 还会有另一组解的呢？

判断 非线性微分方程（组）的解析解 的个数，是比较麻烦的，但只要你找到了侦破方向，问题就会迎刃而解。

鄙人，以为 对于“质因式型”的非线性 微分方程（组）不应该存在着多个解析解。

关键 就是 如何判定 是否属于“质因式型”？

譬如，(X'r)^3-(X)^3=0 这个非线性微分方程 就不属于“质因式型”虽然只有“一阶”却应该有三个解析解。当然对于只有两项的方程，一眼就可以看出，但对于三项或更多项的情形，就很难一眼看出 究竟是否属于“质因式型”，这就是难点；也是关键所在。这应该是我们判定其解析解个数的侦破方向之一。当从中分解出 线性方程时，再注意“子方程”的阶数对其解析解的个数的影响。这样就会减少我们在面对非线性方程时的盲目性和茫然感、甚至产生不可知论，以为是个大黑洞 雾中花 水中月 滋生消极悲观 却懦退缩的心理。要坚信 这是小菜一碟，  从战略上藐视困难 大胆探索 但又要步步为营谨慎推理，敢为天下先，敢于垦荒  独辟蹊径  敢于独树一帜  切忌满足于 教科书。 后人有责 任有义务 有能力 开创前人的未尽事宜 ，人类认识自然规律 就是靠世代相继的不懈努力 从而实现逐步完善； 使人类对自然界的认识逐步逼近客观规律…… 这个过程 永远不会完结  永远处在“正在进行时”的状态。虽然我们都很愚蠢笨拙，但即使愚者若坚持千虑亦或会产生新的意识……

要解放思想 冲破神秘感  不要以为 非线性微分方程（组）的求解问题是神圣不可侵犯的禁地，不要以为只有 庞加莱 泰勒 莱布尼兹……等数学大圣才有资格探索这些未知领域  或许你我也是一代数学大圣 。

   只要你“妄想”自己“也能”，且将这种“妄想”当真，自不量力  误闯误撞 痴迷不醒 走火入魔  锲而不舍 坚持数十年如一日 或许会久梦成真 。

 所谓“大师”，其实就是“大痴” 。

对于 你给出的那个非线性微分方程组 也因为它不属于“质因式型”，而不光是“消函后”所得常微分非线性方程之“阶数”的问题。“阶数”只对线性方程的解析解的个数有必然的关联。