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对【46楼】说： 沈教授，你我各有千秋…… 譬如 对 X(t)^2Y(t)^3+X'Y"^2=0 X(t)^3Y(t)^2+Y'X"^2=0 这个高度对称的常系数齐次型非线性偏微分方程组，应该是个秒算抢答题，但数学软件Maple9.5却在历经十来分钟的运行后 ……显示 一无所获 无可奉告……简直；令人悲叹…… 只要 掌握 一种 破题小技（“对称法”） 即可在 一秒钟内 做出准确答案。 这意味着 加拿大的 滑铁卢大学 精算专业 雄踞世界第一 也不过如此。她们尚未破解此类型 妙算抢答题。
怪不得 大连理工大学 力学系 吕和祥老博导 以为 江苏 朱顶余 就是一位世界级数学大师的。 |
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朱先生，
我对我的话“我说“还存在另一组解，只是求不出来”，是因为这里可以化为二阶微分方程，想必有两个解（当然，这是非线性方程，这个判断对不对，就不知道了）。 ”的进一步补充： 因为这里可以化为二阶微分方程，想必最终解中应该有两个积分常数。但是我的解“X=1-C/r,Y=1/(r-C)-1/r ”只有一个积分常数，所以，我说“还存在另一组解，只是求不出来”。这是我当时的朴素的想法。 |
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对【60楼】说： 网页显示乱了程序…… 对于这一帖我当即就予以回复了，可是，一直不出来，而出来的帖子 则不是针对这个帖子的回复，所以给人“所答非所问”的感觉，给人“回避问题”的感觉。 关于 “物理方程”的择解问题，我的看法是，正因为是 “物理规律的唯一性”才产生了对“解析解”的“择弃”问题，“解铃还得系铃者”，这里的“系铃者”不是别者，就是“物理规律”，既然是 “物理规律”给我们所制造的“纠结”，我们不能放过“物理规律”；所以，我们应该 毫不犹豫地去从“物理规律”中寻找“解药”，这就是“择解”的总方针、大方向、总原则，就沿着这个方向探索，必然能够突破难关。 譬如 我们曾经 从 欧勒方程 中获得关于 比熵的两个解析解，一个解是表示比熵等于一个常数；另一个解，则表示 比熵 除了含有常数项，同时还含有 变量（密度参量）一项；这两个解析解 从数学角度看具有完全平等的地位，但它们却各自对应着截然不同的物理规律，而客观事实却是唯一的，绝无可能“亦此亦彼”，究竟何去何从？容不得闪烁其词 模棱两可 必须拿出有力的理由充分的依据来做出令人心无余悸的心悦诚服的择弃。 那就是 利用 封闭的热力学系统在绝热可逆胀缩过程系统总熵必然保持守恒 的熵变规律 来建立一个含有“比熵”的定积分，再对其关于系统总体积的微商必须等于零，来做出判决。 局域在数学内部纠结肯定是无济于事的；必须走出数学领域 进入物理领域寻找“解药”。 如果不是“物理规律的唯一性”的要求 也就不会出现对 解析解 的 “择弃”问题。 |
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对【60楼】说： 关于 微分方程 之 解 的个数；不仅仅与其“阶数”有关，还与 这个方程式 是否属于“质因式”有关？ 如果 有 多个解析解，对于“物理方程”来说， 肯定含有“增解”，因为 事物的客观规律具有唯一性。 那就应该 利用相应的物理规律来抉择。 譬如 我们 曾同时获得两个解析解：其一，比熵属于一个特定常数；另一个，则显示 比熵 与（介质的）“当地密度” 有关；那么 孰是孰非，如何择弃，那就需要 利用物理规律即“绝热封闭的体系在可逆胀缩过程其总熵保持守恒”这条熵变规律 来做出最权威的的择弃。 琢磨数年，终究一篇论文， 胜过做完一本厚厚的应用题选集。借助写论文来增强我们对具体问题具体分析的探索能力；而不是盲目地囫囵吞枣地死记硬背 教科书中的 “黑体字”（教条）；更不同于滥套物理公式。
但若 对于 纯粹的函数论而言 那就 允许存在着一题多解，各个解析解 的地位完全平等，无需择弃。
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对【62楼】说： 沈教授，积分常数 可由定解条件（初始值或边界条件）来确定，而解析解的个数与积分常数无关，这在线性微分方程（组）中很明显。 解析解的个数 与 阶数 以及 方程解构（譬如是否属于质因式）有关。 ………………………………………………………… 在 我们 曾经 遇到的实例中 即 由欧勒方程 获得了两个解析解，我们所做的努力（利用 绝热压缩过程体系总熵不变的熵变规律）并不是在做解析解 的择弃工作，而是在 证明 两个解析解是完全一致的，即证明了这两个解析解只是从不同的侧面获得了一致的描述。即使证明了 第二个解中的积分常数“λ”只能等于零，但这只能说明 第二解与第一个解具有完全一致的形式，并不能说明第二个解不符合客观规律，只是认定第二解中的常数“λ”只能等于零而已。 …………………………………………………………………………………… 方程的阶数 与方程解的个数有关，方程的结构（是否属于质因式）也与解的个数有关，而积分常数与解的个数无关；这在线性方程中尤为明显。 |
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对【62楼】说： 沈教授，积分常数 可由定解条件（初始值或边界条件）来确定，而解析解的个数与积分常数无关，这在线性微分方程（组）中很明显。 解析解的个数 与 阶数 以及 方程解构（譬如是否属于质因式）有关。 ………………………………………………………… 在 我们 曾经 遇到的实例中 即 由欧勒方程 获得了两个解析解，我们所做的努力（利用 绝热压缩过程体系总熵不变的熵变规律）并不是在做解析解 的择弃工作，而是在 证明 两个解析解是完全一致的，即证明了这两个解析解只是从不同的侧面获得了一致的描述。即使证明了 第二个解中的积分常数“λ”只能等于零，但这只能说明 第二解与第一个解具有完全一致的形式，并不能说明第二个解不符合客观规律，只是认定第二解中的常数“λ”只能等于零而已。 …………………………………………………………………………………… 方程的阶数 与方程解的个数有关，方程的结构（是否属于质因式）也与解的个数有关，而积分常数与解的个数无关；这在线性方程中尤为明显。 |
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有些数学物理方程存在多个解，而对应的实际物理过程客观上只是一个现实。出现这一现象的原因往往是我们那数学物理方程只是对实际过程的一个近似描述。若把简化过程中省略的那些项再加回到方程中去之后，通常也就得到描述实际过程的唯一解了。
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对【69楼】说： 谬论千种，真理唯一。 方程就像透射媒介，密度均匀透明的介质所透射的事物与客观事实一一准确对应，而有时出现海市蜃楼 有时出现重影……所有这些都是透射介质分裂光线的结果。我们必须注意识别真伪，去伪存真。 |