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现若考虑一无限长的直线型均匀荷电棒，其周围空间充满着二维辐射状静电场；以直棒为对称轴呈圆柱形对称分布，其电场强度与其距离直棒的距离成反比:E=K/r .均匀荷电直棒单位长度所激发的库仑场自能（库仑场能）：U=∫2πrEEdr=ηln(r/r0)；可见r必须有界，否则其单位长度直线荷电棒所激发的库仑场能必然呈现发散状态；这显然不符合物理事实。那么这究竟如何面对？因若认定电场有界（即二维辐射状）电力线不能伸展至无穷远，就不符合（电荷的）高斯定理，这就似乎暴露了一个尖锐的矛盾，此乃鄙人的一个心结…… 奢望 也能得到各位高手的点拨 |
| 其实定义电子半径r0就为的是防止发散。一切计算都要截止在这个r0上，你的问题就解决了。 |
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任何一个带电体对外激发的场能总和，都等于带电体内部能量总和。r是有界的。一个电子电量在空间激发的库仑场场能，永远等于电子内部电偶极子间的引力能。
两个异号电荷，中心完全重合，不仅两电荷之间的势能为零，它们对外激发的总场能也为零。如果拉开两电荷的距离，它们就在空间激发出不为零的场，这个场能也是两个电荷之间的引力势能。 事实上，他们就是同一个场。就象m0c^2=e^2/4πε0r0………………（3） 这是把电子电荷半径压缩到r0时，电子在空间激发的场能，也叫电子的自能。但稍加变换，就成了 m0c^2/r0 =e^2/4πε0r0^2………………（4） 是电子内部电荷力，（3）也就是两个电荷间因力具有的引力势能。 把两个重合的电荷拉开一个距离，需要外部做功。该做功全部成为两电荷间的势能，同时也是两电荷对外激发的场能。 |
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对【2楼】说： 你也不看看清楚,我已经将积分下限终止于r0；但其积分上限r却不能取无穷大，当然对于点电荷是可以取无穷大的，但对于无限长直线型荷电棒就不可以取无限大。因为对于无限长直线型荷电棒的电场强度为E=k/r. |
| 哈哈！你用无限长荷电棒当然有问题了。这种场的函数形式是y=1/x的形式，在数学上它就是不能积到无穷远的。我看你题目是单位长度带电棒，这和无限长绝对不一样。 |
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对【5楼】说： 你如何表面对 “无限长直线型荷电棒”在单位长度的空间所激发的二维辐射状库仑场所拥有的静电场能趋于无穷大即发散的，但客观上并不是发散的，这说明计算公式有问题 或物理模型有问题 |
| E=k/r这个式子其实也是积分积出来的，假如你推导这个式子，上限、下限不代入-∞、+∞，而是代入一个变量-L、+L做出一个带有变量的场强式子E(L)，这个式子就不是这个形式了。你用带着变量L的场强和r再取单位高度，半径为r的体积内的积分。届时令r=kL(这是为了取得同阶无穷大)，取得总结果后，再将r取无穷（L随之也就取了无穷），我估计就有效果了。你要分析E=k/r这个式子的来龙去脉，你可能会发现，代入上、下限的时候，我们通常的做法是x→∞时，1/x→0、1/x^2→0，都不加区别地对待。这样得到的式子，其实就真的忽略掉了它是从哪个阶的无穷大推导出来的。因此我们用这个结果再去做无穷积分，很可能就不真实。但对于任何有界数，比如你的半径r取任何大的有限值，结果都是正确的。使用无穷大积分出来的式子，再用于无穷大会带来这些原始问题。 |
| 最关键还就是在无限长上面了。E=k/r式子也不错，物理模型也不错。错在企图对无限能量场积分出有限值。点电荷的场能量是有限的，所以能积。 |
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对【9楼】说： 截取 无限长 直线型均匀荷电棒的一段（单位长）且积分其所拥有的库仑场之能。并不是要求算整个无限长荷电棒所激发的总电场能。 |
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对【9楼】说： 截取 无限长 直线型均匀荷电棒的一段（单位长）且积分其所拥有的库仑场之能。确实拥有无穷多的能量。 |
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对[10楼]说：
一段直线型均匀荷电棒激发的场，式子不具有E=k/r形式。 |
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对[12楼]说： 取直棒上任一点Q(x，0，0），在上面截取一小段dx，则该小段具有电量dq=λdx。该小段距离点P的距离是 该小段在P点激发的场强是： dE=rdq/4πε0r^3 E=∫rdq/4πε0r^3（下限取-L/2，上限取L/2），具体过程不做了。 张三慧《大学物理学-电磁学》中有例题。在r>>L时，E≈λL/4πε0r^2，E≈Q/4πε0r^2，和点电荷一样。 对于无限长带电棒，显然也没有r>>L时，永远不能把它看成点电荷。
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对【12楼】说： 你总是不能看准确我的语句。 我是说： “截取 无限长 直线型均匀荷电棒的一段（单位长）且积分其所拥有的库仑场之能。确实拥有无穷多的能量。” 无限长直线型均匀荷电棒所激发的电场强度必然服从式子：E=k/r。 |
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对【12楼】说： 难道需要我提着你的耳朵说话，还需要我捏着你的眼睑说话 一定要看清楚我的原话 不要误解我的话语 |
| 就因为E=k/r是无限长荷电棒所激发的电场强度，所以你截取任何一段也是无限大能量。你的意思早看明白了，而是你没有明白。E=k/r根本就不是你那一段所能贡献出来的。除非你把那一段以外的去掉，式子自然就不是E=k/r形式了。只要式子是这种形式，你取多么小一段做无穷积分也是白搭。这种形式数学上就是不能积到无穷远的。 |
| 在这个问题上你是有心结，而不是我有心结。因为E=k/r场不是“一段直线型均匀荷电棒”所能产生的，所以别说取单位长度，你就是取“一段”的万分之一进行积分，一样还是发散，被积函数的形状决定了一切。 |
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对【12楼】说： 谁跟你说是（有限长的）一段荷电棒？一直在强调是指无限长的直线型均匀荷电棒所激发的电场，其计算公式才是：E=k/r。 你不妨具体积分一下……我已经精确地反复地积出来啦，的确是形式： E=k/r。式中的“r”并不是指别的；而是指（被考察的）“点”到该荷电棒的（垂直）“距离”。 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 估计你很难完成这道小儿科的练习题。 |
| 所以我说你“错在企图对无限能量场积分出有限值”呢，即使你只取一段空间。这一段内的所有场能也因为不是一段荷电棒所产生的，所以不能积到无限远。这一段就拥有无穷大的能量，一点不错。你要是全积下来，那就是无穷个无穷大，是高阶无穷大。 |
| 从你的标题《一个尖锐的矛盾：单位长度直线荷电棒所激发的库仑场能必然呈现发散状态》上就可以看出，你以为“单位长度直线荷电棒所激发的电场强度”和“无限长直线型均匀荷电棒所激发的电场强度E=k/r”是一样的。其实根本不一样。所以我说“一段直线型均匀荷电棒激发的场，式子不具有E=k/r形式。”你还不信，要我“展示 证明过程……”，这也是你没转过圈儿来的证明。当我在[14楼]提供了“一段直线型均匀荷电棒激发的场，式子不具有E=k/r形式。”的证据后，你又说“无限长直线型均匀荷电棒所激发的电场强度必然服从式子：E=k/r。”这句话就没有意义了，因为本来就是这样的，任何书中的“无限长直线型均匀荷电棒所激发的电场强度的式子都是E=k/r。 |
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“截取 无限长 直线型均匀荷电棒的一段（单位长）且积分其所拥有的库仑场之能。并不是要求算整个无限长荷电棒所激发的总电场能。”
你计算一段长度所拥有的场能是无穷大，你要计算“整个无限长荷电棒所激发的总电场能”就更是高阶无穷大。 |
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对【21楼】说： 不要 曲解他人的语义，单位长度的荷电棒所激发的电场是很复杂的，绝非你我所能讨论的话题，所以 你我只能讨论极限情形的荷电体譬如 无限长的直线型荷电棒 或无限大均匀荷电平板或均匀荷电球壳或点电荷 等特殊情形 这是人所共知的用不着怀疑 你怎么就是喜欢曲解他人的语义的呢？这种交流特别费劲 现在 我要求你将【14楼】的例题中的具体定积分详细地进行到底 ……我估计你无法完成这道小儿科的具体计算题
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对【18楼】说： 在讨论 电场自能与电荷聚集方式的关系问题时，迸发（演变）出如下的问题： 这属于你们电工学专业的话题 两根载有恒电流的平行导线相互作用的结果是：所获取的机械能总是等于其磁场能的增量，能否推广于永磁体 即两块永磁体相互吸引过程所 释放的机械能总是等于其磁场能的增量？ 依据永磁体所激发磁场的分子电流理论，永磁体所激发的磁场就是由永磁体中电子自旋运动以及电子轨道运动所联合激发的磁场能。其中核自旋所贡献的磁场能可以忽略。 达到磁饱和状态的“磁钢”的磁导率就相当于一般“顺磁质”的磁导率。 所以磁钢体中的磁场能密度应该是:E=BB/2μ；其中B表示 磁钢体中所具有的磁感应强度；μ为磁钢体中的磁导率。因为如果用加热退磁法使得具有同样磁感应强度的磁钢退磁与使得具有同样磁感应强度的载流线圈撤销电流而退磁所产生的电磁效果如所引起的电磁辐射能是无法区别的。 |
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“你不妨具体积分一下……我已经精确地反复地积出来啦，的确是形式： E=k/r。式中的“r”并不是指别的；而是指（被考察的）“点”到该荷电棒的（垂直）“距离”。”
设测量点在（0.y0,z0）。y0^2+z0^2=l^2，l为测量点到荷电棒的距离。 按照荷电棒长为L积分出来的垂直距离的场强公式E=λL/4πε0l(l^2+L^2/4)^1/2，L取无穷大时就得到场强 E=λL/4πε0l(l^2+L^2/4)^1/2 E^2=(λL/4πε0 l(l^2+L^2/4)^1/2)^2 =(λL/4πε0 l)^2 (l^2+L^2/4) 取L为无穷大，E^2=(λ/4πε0 l)^2 E=λ/4πε0 l 这不就是E=k/l形式吗？我计算出来你不是也不给我八万元吗？ |
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对【26楼】说： 嗷，原来 你王普霖除了食而不知其味地抄写张三慧的积分过程，轮到你自己独立拟定“被积函数”，你就乱了套咯……居然开始乱写一通咯…… 王普霖，如果你连被积函数都写不出来，你还能进行数学建模么，如果你连数学模型都无法建立，你还能建立 理论体系么 你必须提高数学建模练习的能力 这是必过的一关。你若过不了这一关，你就别妄想建立理论 哲学层次的定性的一厢情愿的凭空猜测主观臆想 侃侃而谈（胡扯淡） 是算不上什么理论的 必须进行精确的定量处理。 |
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讲理不讲理？我哪里乱写？我都点出张三慧的例题了，告诉你那里就有答案。那就是一段带电线在中垂线上的场强。把长度L取无穷就是无限长带电线的场强，你真以为我连初等微积分都不懂啊？拿八万元来我给你从头推导。是你不懂啊，我[7楼]早就说是因为取极限造成的高阶失真。这是需要悟性的。你没有这个悟性，所以你不知为什么积分好了的场强E=K/r就发散。因为积分后，代入上、下限的时候都是取的极限值。有现成的公式可用，L取极限立刻得到E=K/r。这就是E=λL/4πε0l(l^2+L^2/4)^1/2，当L→∞时，Lim=λL/4πε0l(l^2+L^2/4)^1/2=K/r。我自己重复做积分也是这个答案。你现在是要讨论问题的本质在什么地方，还是要讨论我的积分过程？就算我全然不会，我还可以用数学软件得到积分结果呢。我现在就是要告诉你E=K/r是L取极限，近似的结果。λL/4πε0l(l^2+L^2/4)^1/2中的L/(l^2+L^2/4)^1/2部分，当L→∞时,L/(l^2+L^2/4)^1/2≈1。这就是取极限的过程。事实上 其实那个问题是我用我的方法给你证明的。从你口中并没有发出对他们二位的回复。从你的角度说，你至今确实还没有证明二维的适用性呢。我替你证明的不能算你证明的，你可以不用我的方法来证明一下。我拭目以待。 |
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E=∫rdq/4πε0r^3可分解成 Ex、Ey、Ez 我将测量点P选择在x0=0，y0，z0=0的位置，就和书中的位置一样，测量点就在带电线中垂线上，这时Ez=0。因为P点居中，所以x方向的和矢量也是Ex=0。道理书中都有，不明白就看书去。现在只剩下Ey。 带电线上x点和O点、P点构成直角三角形。斜边为x点到P点的距离为r，r=(x^2+y0^2)^1/2，r^2=(x^2+y0^2) dEy=E y0/r=E y0/(x^2+y0^2)^1/2。E=dq/4πε0r^2=dq/4πε0(x^2+y0^2) 因此 dEy = (dq/4πε0 (x^2+y0^2)) y0/(x^2+y0^2)^1/2 =[ (λ/4πε0) y0/(x^2+y0^2)(x^2+y0^2)^1/2]dx Ey =∫dEy=∫[(λ/4πε0) y0(x^2+y0^2)^-3/2]dx =λ/4πε0 ∫[y0(x^2+y0^2)^-3/2]dx =(λ/4πε0 ) x/(y0(x^2 + y0^2)^1/2)，代入上、下限-L/2、L/2 =(λ/4πε0 )(-L/2)/(y0(（L^2/4 + y0^2)^1/2) -(λ/4πε0)(L/2)/(y0(L^2/4 + y0^2)^1/2) =-λL/4πε0(y0((L^2/4 + y0^2)^1/2) 其中“-”号为选择电场方向所产生，可去除、y0为测量点到带电线距离，可改做r E=Ey=λL/[4πε0r(L^2/4 + r^2)^1/2)] 和书中完全一致。 |
