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cos（x+dα）=cos（x+dβ）*cos（dγ），求dα精确表达式[跟x、dβ、dγ的关系]。 这种计算题挺繁琐的，我尝试了泰勒展开，化成双曲余弦计算，结果越算越复杂。谁能计算出来啊？ ※※※※※※ 天地之道，以阴阳二气造化万物。是故易有太极，是生两仪。两仪生四象，四象生八卦。 |
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cos（x+dα）=cos（x+dβ）*cos（dγ），求dα精确表达式[跟x、dβ、dγ的关系]。 这种计算题挺繁琐的，我尝试了泰勒展开，化成双曲余弦计算，结果越算越复杂。谁能计算出来啊？ ※※※※※※ 天地之道，以阴阳二气造化万物。是故易有太极，是生两仪。两仪生四象，四象生八卦。 |
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如果你是教师，钻研一些学生提出来的难题是有必要的。否则，我劝你不要把脑子花在这种地方。难题目是做不完的。
我只思考教科书上的基本概念。大凡基本概念，既不很难，又极为重要。不要以为书上的基本概念不会错，实际上错误比比皆是。 |
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对【2楼】说： 周老师，其实这只是个小儿科的问题……谈不上“难度”……只是 此人心不诚，狂妄自大， 没有人愿意为虎作伥 如果是 憨厚友善 的沈建其 提出来的，必然是心怀诚意……本侠必将不吝点拨一二…… |
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这是根据球面三角得出的公式。这个计算必须解决的，没有这个计算没法积分。
没水平的人请靠边站，别一堆废话。 ※※※※※※ 天地之道，以阴阳二气造化万物。是故易有太极，是生两仪。两仪生四象，四象生八卦。 |
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问： cos（x+dα）=cos（x+dβ）*cos（dγ），求dα精确表达式[跟x、dβ、dγ的关系]。 这种计算题挺繁琐的，我尝试了泰勒展开，化成双曲余弦计算，结果越算越复杂。谁能计算出来啊？ 答：如果你是准备在做了近似计算再进行积分的，那么可以考虑在等式两边做一阶近似，即舍去二阶以及更高阶无穷小。于是 方程左边近似为cosx-sinxdα，方程右边近似为（cosx-sinxdβ）*1，所以方程化简为dα=dβ。 如果采用二阶近似，即舍去三阶以及更高阶无穷小，那么方程变为： cosx-sinxdα-0.5*cosx*(dα)*(dα)=[cosx-sinxdβ-0.5*cosx*dβ*dβ]*[1-0.5*dγ*dγ] 以上左边是关于dα的一元二次方程，右边是dβ与dγ的函数，且与dα无关，所以可以解出dα。 但是请注意，解出的结果必然是dα=dβ+f(x)*（dβ与dγ的二阶以及更高阶无穷小）的形式，其中f(x)是x的函数。不过用这个结果去积分，可能得不出你所需要的结果（指有别于dα=dβ的）。 所以怀疑你在推导你的原始结果时出了差错。 另外，不用近似方法而用反正弦函数也可以得到dα的表达式，而且是精确的，而精确的表达式进行积分虽然原则上对数学家来说不是问题。但是正如上面的近似方法所暗示的，你可能得不出什么有意义的结果。 ~无忧仙人 |
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对【6楼】说： 以上有关结论只是我根据自己的经验所做的判断，也有可能你的问题在我经验之外。在这种情况下，我的结论不适用。 ~无忧仙人 |
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对【6楼】说： 老朽之所以 不乐意示范一下……其实易如反掌，就是因为 楼主 总是在充当 夜郎 如果 楼主 肯缴纳八百万美金的学费 以示诚意，本侠 将 施展 精彩妙招…… |
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对【6楼】说： 当x=0时，dα不=dβ。约=[（dβ）^2+（dγ）^2)]^(0.5) 取一阶，取两阶近似都得不到这种结果。谢谢参与！ 对【8楼】说： 分离变量法是求微分方程的。不是求这种问题的。 你总是神经兮兮的，水平又没有，怎么能让人佩服呢？ ※※※※※※ 天地之道，以阴阳二气造化万物。是故易有太极，是生两仪。两仪生四象，四象生八卦。 |
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写成反三角函数形式，虽然简单，但没法积分且没法用数值计算模拟！ ※※※※※※ 天地之道，以阴阳二气造化万物。是故易有太极，是生两仪。两仪生四象，四象生八卦。 |
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对【10楼】说： 积分与数值模拟都不是问题，关键是你的问题要有确定的物理或数学含义，或者有其它明确的实际应用背景。因为你没有讲这些信息，所以没有办法帮你。 另：无忧仙人的本科专业就是计算数学，专门研究数值数学，包括数值积分、微分、插值、逼近、优化等等，所以，如果你把问题讲清，恐怕不愁找不到解决办法。 ~无忧仙人 |
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对【9楼】说： 分离变量法是求微分方程的。不是求这种问题的。 露馅啦！ “分离变量法”是用于求解“函数方程”的！而“微分方程”仅仅是其子集而已。 你不是在【1楼】说了么：“求dα精确表达式[跟x、dβ、dγ的关系]。” 你不就是要谋求其 （函数）“关系”的么 所以 “分离变量法”很适用 看来 对“分离变量法”的独到理解和灵活运用（举一反三），“分离变量法”才不属于僵死的东西……其实 这也属于“绝技”或曰“绝妙用法”…… 博采众家之长 才是正道……楼主 总是扮演“夜郎”……自投绝路……就让你毁灭在你自己的虚荣心的手里吧 ，运用本侠的这个绝妙的思路 使得你这个问题沦为 易如反掌的小儿科习题……可是 你虚荣心 大作 ；还出言不逊 用芜杂之词诅咒 本侠 乃大不敬也 ……那你就继续束手无策（一筹莫展）、绞尽脑汁、在迷茫中苦苦求索……、索而不得、恼羞成怒、气急败坏、 便咆哮街道、鼓噪公堂、继而气绝身亡…… 自取欺辱去吧…… |
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既然是球面三角公式中的问题，这就是一个固定的等式关系(与勾股弦定律等价)，你还想再计算什么？ 另一方面，如果dα表示的是微分形式，那么按级数展开到一级值就足够了，而事实上你这却是在画蛇添足。 9楼中的x=0时，两边取平方值化为正弦平方值之和，略去高阶值即得球面与平面三角形过渡的对应关系。 ※※※※※※ 牛 东 |
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问题已解决。这是在建【随动正交球面坐标】时出现的问题。南北极的bug还是存在，所以必须把x=0挖去，也就是不能通过这一点。在挖去bug点之后，dα=dβ。 ※※※※※※ 天地之道，以阴阳二气造化万物。是故易有太极，是生两仪。两仪生四象，四象生八卦。 |
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我的层次很低，一些简单的问题也看不懂。希望楼主和无忧仙人、黄教授、朱老师等理科精英施出援手。 ▽·r/r^3(分子上的r是矢量，下面的r是值)=0 ▽·r=3 是怎样计算出来的。 |
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对【15楼】说：
按我的理解是因为，散度有两种错乱等价式。一个是电通量的曲面积分/曲面包住的体积，取极限就是散度。没电荷就没有散度。另一种就是▽·E=[ex(ə/əx)+ey(ə/əy)+ez(ə/əz)]·（exEx+eyEy+ezEz），后一种在没包住电荷的区域也是有散度的，两种表达式是不等价的。 ▽·E=ρ/ε0是由∫∫∫▽·EdV=∫∫∫ρ/ε0dV推得的。 这就好比：三角函数系任意二个函数在[-π，π]的积分值为0，那么能根据两积分结果以及积分区域都相等，得出两积分函数表达式相等吗？不能。假设电荷集中于一小区域，选V内无电荷区域，不相等的结论就更为明显了。 ※※※※※※ 天地之道，以阴阳二气造化万物。是故易有太极，是生两仪。两仪生四象，四象生八卦。 |
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教科书说法是因为他们不加思索。当r大于a时，▽·E=0 是为了跟第一种极限表达式等价。他们是抄书匠，书本就是权威，错了就睁只眼闭只眼。
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按我的理解是因为，散度有两种错乱等价式。一个是电通量的曲面积分/曲面包住的体积，取极限就是散度。没电荷就没有散度。另一种就是▽·E=[ex(ə/əx)+ey(ə/əy)+ez(ə/əz)]·（exEx+eyEy+ezEz），后一种在没包住电荷的区域也是有散度的，两种表达式是不等价的。
============================================================================================== 很好！ 我认为后一种是对的。因为是电场强度的散度，而不是电荷的散度。 但是仍然需要找出第一种物理意义，它应该是有用的。 |
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对【18楼】说： 我也认为后一种是对的。我想找到一种更简单的散度等价理解。 一种是：局域空间矢量在其方向上的变化率。第二种是：矢量在扩散方向的变化率。 但总是觉得有问题。 ※※※※※※ 天地之道，以阴阳二气造化万物。是故易有太极，是生两仪。两仪生四象，四象生八卦。 |
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对【18楼】说： 第一种就是矢量场在闭合曲面包住区域V(趋向无穷小时）的净通量（流出或流入）与V的比值。有源就有散度，无源就没有散度。 ※※※※※※ 天地之道，以阴阳二气造化万物。是故易有太极，是生两仪。两仪生四象，四象生八卦。 |
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对【15楼】说： 回周先生： 你所引用的电场散度计算方法是，先直接确定球体内外的电场大小，内部是 E1(向量)=k1（常数）*r（向量）， 外部是 E2(向量)=k2（常数）*r（向量）/(r*r*r)。 (注：括号内是对该物理量性质的说明，下略。) 所以下面只要根据球面内、外的电场强度直接计算E的散度即可。为了方便，以下省略其中的常数k1，k2。 由定义，r（向量）=（x, y, z），所以E2的散度=(x,y,z)/r^3的散度=（x/r^3,y/r^3,z/r^3）的散度=（x/r^3）对x的偏导数+（y/r^3）对y的偏导数+（z/r^3）对z的偏导数=(1*r^3-x*3r^2*x/r)/r^6+(1*r^3-y*3r^2*y/r)/r^6+(1*r^3-z*3r^2*z/r)/r^6=(3r^3-3r^2*[x^2+y^2+z^2]/r)/r^6=(3r^3-3r^2*r^2/r)/r^6=0. 注：以上推导使用了商函数的导数公式，另外使用了以下复合函数的求导结果：r^3对x的偏导数=3r^2*(x/r)，等等。 类似的，E1的散度=（x, y, z）的散度=x对x的偏导数+y对y的偏导数+z对z的偏导数=1+1+1=3. ~无忧仙人 |
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对【16楼】说： 后一种在没包住电荷的区域也是有散度的，两种表达式是不等价的。 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 小伙子说的很对！ 散度的微分形式 应该进行坐标反演再求和 即应该写成 df/dx +df/d(-x) ， dx与d(-x) 分别表示从同一点出发沿着x轴的“左微分”与“右微分”，即从同一点出发沿着x轴向左前进一小步，再退回到出发点且再向右前进一小步，这类似于时间坐标的反演。 df/dx +df/d(-x) 这才是一维空间的散度微分式，如果这里没有电荷，即使dE/dx ≠0，但df/dx +df/d(-x)必然等于零；但若该点存在着点电荷，则必有df/dx =df/d(-x) ，一般地有 df/dx ≠df/d(-x) |
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对【21楼】说： 非常感谢无忧老师不厌其烦的解释。 朱老师的评说也很精彩。 |
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我不相信散度的两种表达式是等价的。按第一种散度解释，无限小区域如果包不住电荷就没有散度。电荷到底多大呢，无法得知。如果是无限小，那根本就包不住。计算这种散度没有意义，直接看有没有电荷就行了。电荷是互相排斥的，局域电荷密度是固定的无法改变。因此，即使有电荷，这种计算式也没有意义。
21楼的计算前提 内部是E1(向量)=k1（常数）*r（向量）。 外部是E2(向量)=k2（常数）*r（向量）/(r*r*r)。 计算没问题。问题在于这是一种理想情形。也就是电荷均匀分布在球内，塞满球内。这种电荷观点有点象汤姆孙模型，已经被推翻了的。 一个梯度的缺陷：F=-▽势，势是确定分布的标量场，那么力的方向就是确定的了。那无法描述正负电荷不同受力方向。 不知道我的理解对不对，请大家怕转！ ※※※※※※ 天地之道，以阴阳二气造化万物。是故易有太极，是生两仪。两仪生四象，四象生八卦。 |
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按第一种散度解释，无限小区域如果包不住电荷就没有散度。
============================================================ 这种解释应该是错的。 包住电荷的封闭曲面可以是任意大小，其电通量都是一样的。空间的任何一点，都可以包进去，而且一旦包进去，这个曲面的积分就固定了。我们不能再把另外一个通过求散度获得的无限小区域来替换这个曲面。这样就犯了偷换概念的毛病，不符合逻辑推理的原则。 那个ρ视作电荷密度也是错误的。在电场强度的表达式里，q是用来计算q周围距离它r处的电场强度的。所以这个ρ也是q在r处的电场强度密度。 这个是对麦克斯韦方程的理解错误，应该也是很重要的。 我的感觉是，教科书里遇到自己看不懂的东西，往往就可能有错误，而且是影响广泛的错误。搞清楚的方法是反复思考，多数情况下倒也不用什么高深的东西。 |
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对【25楼】说： “我的感觉是，教科书里遇到自己看不懂的东西，往往就可能有错误，而且是影响广泛的错误。搞清楚的方法是反复思考，多数情况下倒也不用什么高深的东西。” ………………………………………………………………………………………………………… 周老师说的极是！教科书里或某个大权威的语录，如果“艰涩难懂（违反逻辑、违反常理）”就有可能是错的！譬如《相对论》中的“钟慢尺缩”就显得“艰涩难懂”（难以接受）违反常理，所以就有可能是一种谬误 |
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对【24楼】说： 引用：“一个梯度的缺陷：F=-▽势，势是确定分布的标量场，那么力的方向就是确定的了。那无法描述正负电荷不同受力方向。” 答复：这个不是梯度的缺陷。梯度或力的方向可以只对正电荷定义，然后对负电荷只要取其相反方向即可。当然这个顺序也可以反过来。但不管怎样，都不会出现定义不清或者自相矛盾的问题。 ~无忧仙人 |
| 无忧老师的计算当然没有问题。问题是第一种情况是电荷场不能无限大时才出现的情况，这与电场强度的式子不符合。这个式子从来就对r的大小没有限制。应该按第二种情况计算，3是正确答案，而且也能够覆盖第一种情况，因为那时电荷密度是极其小的，可以视作0.你想的问题我都想到过，所以才会对书上发生怀疑。但是你最后一个问题无忧老师的看法是对的。 |
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对【27楼】说： 都不会出现定义不清或者自相矛盾的问题。 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 赞同！ 我也只是认同“散度”的微分式 有问题，但“梯度”并没有问题。 |
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高斯定理 如果把ρ定义为Q/4πrr 这个公式大概还可以用。 其中r是当前位置到电场源的距离，电力线随r的平方的增加，在波阵的球面上越来越稀疏。 |