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我是这样考虑的：
假设有一个微分方程，Adx+Bdy=Cdt 显然可以变化为这样的形式 Adx/dt+Bdy/dt=C 即 Ax'+By'=C 其依据应该是“一阶微分形式不变性”吧？ 那么另一个方程，Adx2+Bdy2=Cdt2 应该也可以变化为 Adx2/dt2+Bdy2/dt2=C 这里的dx2/dt2等，应该不是 (dx/dt)2，否则就是一阶微分了。 而dx2/dt2似乎与d2x/dt2应该有某种关系，即使不相等。甚至我怀疑，有些人解题的时候就这么用过。虽然我没有什么把握。 改变一下方程，即使与原来的不同，或许也有某种程度的近似。如果能有解，我当然希望看一下。看一下之后，就知道与我原来想象的结果有多大差距了。得到的解，或许谬之千里，但也有可能比较近似，总之看一下没什么坏处。何乐而不为呢？ 一味争高下，何益之有？来者最好都能有所收获。我就是为有所收获而来的，不论谁的观点如何，我都希望能收获对我有益的东西。 |
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广义相对论过于复杂，我希望能够做某些简化，可以在某些问题上得到更简单的应用，即使是近似的也就足够了。
如果说的更直接一点的话，我希望知道的是通过引力场附近的光的轨迹，实际上就是在二维平面上的投影。 我不知道原来的研究成果，而沈建其说接近双曲线，但没有提供更多的信息。我也只需要有近似的了解。 希望知道有关情况者，能提供更多信息。多谢！ |
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当然我们还可以对原方程做进一步简化，取dθ=0，变为下面的形式
（1-2GM/r）dt2=[1/（1-2GM/r）]dr2 是否有人能对这一方程给出正确的解？ |
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dt2，却没有d2u/dt2 dt2则表示对自变量t 求导两次；d2u 则表示对函变量u微分两次；譬如d2u/dt2表示函变量u对自变量t 的二阶微商（导数）。 d2u/dt2则表示对函变量u2的二阶微商（导数）；(du/dt)2则表示对函变量u一次微商（导数）的平方。 你必须首先弄清楚表达式的数学含义，仅当你给出准确的数学表达式，明确表达式的数学含义，才能向我求助；我才有依据求解，我只能帮助你求解，我并不了解你的方程的来历（建立过程），我更不宜凭猜测你的表达式的数学含义 用数学公式编辑器在Word文档编辑规范的数学（微商）表达式，以免发生歧义。 |
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对【61楼】说： 我54楼谈解法的时候已经明确地告诉你这是一个一阶微分方程了，只不过朱顶余说他能解这个方程我就没有明说而已。在方方程中诸如dr^2=（dr/dτ）^2，如果在方程中消去固有时，用坐标时代替，即得到关于坐标时的一阶微分方程， （1-2GM/r）=[1/（1-2GM/r）](dr/dt)2+r2(dθ/dt)2 在其他情形，也可以参照这种思路进行平方展开，取一级或二组近似解。在入身角φ一般条件下，抓住传播速度的垂直分量和水平分量等主要关系代入原方程进行一、二级展开即得近似解。这些一阶微分方程都没有什么难度，只是比较麻烦而已。总之，没有定解条件，原方程已经是最简的形式，无法谈论解的问题，就这么简单。 所以，朱顶余说什么能解甚至进行“解题技术封锁”之类，我便不好说了，怕泄露他的“绝技”哟 ※※※※※※ 黄氏时空由光频多普勒红移定义可变时间单位秒t'=tsquart[(C-V)/(C+V)].时间秒的变化导致了可变光速C'=Csquart[(C-V)/(C+V)].光速的变化导致了可变距离单位米l'=lsquart[(C-V)/(C+V)].黄氏自旋衰变相互作用模型:引力=动量时间变化率，电磁力=角动量时空变化率.超光速C=2ZM/r |
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对【66楼】说： 我一再强调，只专注于数学表达式，将错就错，只忠诚于求助者所呈出的数学表达式，绝不做任何修正与猜想，更不顾忌非数学问题如所谓其赋予的物理意义，所以我只专注于数学运算法则 忠诚于原式，我无需越俎代庖，我在处理数学问题过程根本无需顾忌什么相对论，光子在引力场中的运行轨迹 又是什么四维空间，在黄国友看来，在求解该方程时必须首先懂得张量代数，四维时空观 光子在引力场的运行轨迹 引力理论 相对论 球函数 椭球函数 柱函数 黎曼几何 拓扑学 复变函数论 柯西环路定理 卷积 延迟定理 复球面 四元数 运算微积 拉普拉斯变换 傅里叶快速变换 还有史丰收速算法 数学物理方法 变分法 等等 可谓“市井百态”不一而足 ………………简直是在乱扯淡 |
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对【67楼】说： 严格来说，要解久广的方程，单懂得你列举的这些还远远不够！还必须懂得闵柯夫斯基空间、席瓦西尔度规、爱丁顿坐标、克鲁卡斯坐标、仿射参量、光子四维动量等，而且，似乎缺一不可。我在这方面现在是无能为力的，这些数学意义远远超过物理学意义，20多年前我研究过，现在想都不去想了。
要解久广的方程，要用到上述知识将其变换为仅有两个未知数的光子轨道方程(1/r^2*dr/dθ)^2=(E/L)^2-1/r^2*(1-2GM/r)。(请问你具备在久广方程中消去dt项的能力么？极度怀疑！这才是解题的绝技！）更令你感到无力的是，即使我把它变换为这个只有两未知数的一阶方程，你也无法精确求解，不信你就试一试看。 解这个简化的久广方程（对描述光在引力场运动来说与久广方程完全等价）也真正挑战你朱顶余老先生的微分方程解题能力，因为，这要用到一种你可能没有用过的绝技，解方程还有很多你不知道的绝技，所以，你别再说你解方程横扫天下了，如果你足够谦虚，我会告诉你这个方程如何解。 ※※※※※※ |
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对【68楼】说： 即使我把它变换为这个只有两未知数的一阶方程， ——黄国友 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 我从来没有说过无题不解！因为对于非线性微分方程，几乎很少一部分方程幸存着“解析解”！如果这个池塘里根本就不存在着鱼，你就因为我没有从这个池塘里捕捉到大鱼，你就说，我不具有捕鱼的绝技！ 你在乱扯淡，我可以带着笔记本到附近图书馆去抄录几百个数学分支的专业书刊的名录来贴在这里……这就能显示我的学识来着……你所列举的数目，你连一本也看不懂 ！！！ 你连我论文中介绍的“变分法”（分函分析）都看不懂！！！还有什么可炫耀的 我不知道 求解非线性微分方程 为什么必须要去牵扯相对论，引力理论……按照你的逻辑，在爱因斯坦出生前，就不存在微分方程的解法啦？笑话！简直是强盗的逻辑！
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对【69楼】说： 问题是：久广方程虽然没有解析解，但还是可解的方程，求解析解只是解微分方程的一个方面，近似解、数值解、平凡解......这些也是解法呀，对一个解方程技术能横扫天下的人来说，这些解法都得懂呀 ※※※※※※ 黄氏时空由光频多普勒红移定义可变时间单位秒t'=tsquart[(C-V)/(C+V)].时间秒的变化导致了可变光速C'=Csquart[(C-V)/(C+V)].光速的变化导致了可变距离单位米l'=lsquart[(C-V)/(C+V)].黄氏自旋衰变相互作用模型:引力=动量时间变化率，电磁力=角动量时空变化率.超光速C=2ZM/r |
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对【68楼】说： 解这个简化的久广方程（对描述光在引力场运动来说与久广方程完全等价）也真正挑战你朱顶余老先生的微分方程解题能力，因为，这要用到一种你可能没有用过的绝技，解方程还有很多你不知道的绝技，所以，你别再说你解方程横扫天下了，如果你足够谦虚，我会告诉你这个方程如何解。 ………………………………………………………………………………………………………………………… 我就知道你黄国友之所以纠缠着我，就是对我“横扫天下”感到不服！就是要让你你黄国友来横扫天下！其实，我很期待大家都要比我强！也免得我太孤独——“和者盖寡”！ 我感觉如入“无人之境”！譬如 我的文章发表在《前沿科学》杂志上已经大半年了……发表在中科院智慧火花栏目也已经半年了……同时也公开贴在此论坛…… 却一直无人质疑、点评……更无人敢于豪赌一场 只是胡搅蛮缠 不遵循公认数理逻辑 不认同基本事实 不清楚基本概念 就课题的学术价值也看不出来 譬如 “引力温梯论”先后得到 杨新铁 沈建其 盛正卯 曹盛林 等老师的一致认同 却遭到 黄国友这个理盲的无理纠缠 同时 北师大理学院的博导们与王令隽老教授 在信件中也对我说"引力温梯论"颠覆了热力学乃至整个物理学（量子力学、天体力学等） 却遭到 沈建其 与黄国友的鄙视 我朱顶余的最新结论 虽然离经叛道 但却得到理论物理科班生的再三认可！ 不知 你黄国友 吹来吹去 除了自我标榜 还是自我标榜 如果你的某个数理逻辑结论 也能得到沈建其或曹盛林或其他理论物理专业的博导、教授的再三认可，那我就什么也不说了 |
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对【70楼】说： 我只是在求其解析解方面身怀绝技！在数值解方面也只是利用数学软件或模仿教材而已 我只是在寻求非线性微分方程的解析解领域身怀绝技 横扫天下 而已 任何时候任何一个帖子中都强调是指“解析解”，绝不涉及 数值解！希望你黄国友别无理取闹 乱扯淡 胡搅蛮缠！ 在数值解领域我从未声称横扫天下 |
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算了，当狂人遇到真正的狂人，结果就是这样。我还是告诉久广所需要的解吧： 久广原方程是关于原时的一阶方程，方程两边除以r^4dθ^2/(1-2GM/r),并根据能量和角动量守恒（r^2dθ/dt=L,1-2GM/r0=E,方程左边为常数项(E/L)^2）得到光轨道方程(1/r^2*dr/dθ)^2=(E/L)^2－1/r^2*(1-2GM/r)，这个是解久广方程的第一个关键，朱顶余先生没有想到吧？ 将上述一阶方程转变为二阶方程是解题的第二个关键，为了简化可设u=GM/r,为了简化方程并消去常数项，方程两边对θ求微商，直接转化为最简洁的二阶方程 朱顶余先生当初没能想到吧？ 经过这样转变后的二阶方程让人豁然开朗，似乎可以直接求解了；
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对【74楼】说：
黄国友在自己命题，自己解答，自己立靶自己打…… 强奸他意，请看“楼主”自己的意见：
“方程直接来自史瓦西解。取ds=0，即光行进的途径。dφ=0,即没有纬度方向的变化。
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http://wenku.baidu.com/view/24eae47b168884868762d6f3.html>
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对【76楼】说： 自始至终除了你没有哪个说久广给的是二阶方程；
只是为了求解，需要转变为二阶方程而已 ※※※※※※ 黄氏时空由光频多普勒红移定义可变时间单位秒t'=tsquart[(C-V)/(C+V)].时间秒的变化导致了可变光速C'=Csquart[(C-V)/(C+V)].光速的变化导致了可变距离单位米l'=lsquart[(C-V)/(C+V)].黄氏自旋衰变相互作用模型:引力=动量时间变化率，电磁力=角动量时空变化率.超光速C=2ZM/r |
| 感谢黄先生演示了复杂的变化。原来我是一点都不知道应该如何解类似问题的。结果仍然是一个很复杂的形式，是否可以看出接近双曲线？如沈建其所说。 |
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对【79楼】说： 黄国友在妖言惑众，误导他人…… 明明是一阶微分的平方，黄国友望文生义 形式类比 就似是而非糊弄出所谓“二阶方程”来了…… 从这个 （1-2GM/r）dt2=[1/（1-2GM/r）]dr2+r2dθ2 到这个过程的每一步都是在一厢情愿 违反基本的微分法则 按照自己的意愿 篡改 微分法则 强行 演变 简直是对微分法则的“绑架”和“胁迫” 的结果：d^2u/dθ＾2+u=3u^2 |
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对【74楼】说： 并根据能量和角动量守恒（r^2dθ/dt=L,1-2GM/r=E,方程左边为常数项(E/L)^2） ——黄 …………………………………………………………………………………………………………………………………… 按照黄国友的牵强附会，那么既然 E（能量）， L（角动量）都是些常数，那么与之相关联的 r 与dθ/dt 也都必然各自保持常数了……哈哈哈哈 真是一派胡言乱语 妖言惑众 |
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对【81楼】说： 没错，不过有一个笔误，E应该是1-2GM/r0，只要是角动量和能量对应的项如然角动量r^2dθ/dt都是常数(这就是物理学），动能势能之和1-2GM/r0是常数（这些关系由于用归一化的自然单位制，比较难理解）。这些说你也不明白，你就别想这些问题了吧 ※※※※※※ 黄氏时空由光频多普勒红移定义可变时间单位秒t'=tsquart[(C-V)/(C+V)].时间秒的变化导致了可变光速C'=Csquart[(C-V)/(C+V)].光速的变化导致了可变距离单位米l'=lsquart[(C-V)/(C+V)].黄氏自旋衰变相互作用模型:引力=动量时间变化率，电磁力=角动量时空变化率.超光速C=2ZM/r |
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对【79楼】说： 根据E与L的关系，分为双曲线，抛物线等，对应吸收态、束缚态和发射态 ※※※※※※ 黄氏时空由光频多普勒红移定义可变时间单位秒t'=tsquart[(C-V)/(C+V)].时间秒的变化导致了可变光速C'=Csquart[(C-V)/(C+V)].光速的变化导致了可变距离单位米l'=lsquart[(C-V)/(C+V)].黄氏自旋衰变相互作用模型:引力=动量时间变化率，电磁力=角动量时空变化率.超光速C=2ZM/r |
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对【80楼】说： 从你这贴对微分方程（1-2GM/r）dt2=[1/（1-2GM/r）]dr2+r2dθ2 到 d^2u/dθ＾2+u=3u^2 |
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不过，对朱顶余来说，这个d^2u/dθ＾2+u=3u^2 是有解析解的，譬如u=(1/2)^0.5*θ^-2之类（我看了一眼，不能确定是否准确，但确有解析解，我们称这种解为“假解”），这种可笑的解析解正是朱顶余的解方程绝技。并且，这是一个毫无意义的解 ※※※※※※ 黄氏时空由光频多普勒红移定义可变时间单位秒t'=tsquart[(C-V)/(C+V)].时间秒的变化导致了可变光速C'=Csquart[(C-V)/(C+V)].光速的变化导致了可变距离单位米l'=lsquart[(C-V)/(C+V)].黄氏自旋衰变相互作用模型:引力=动量时间变化率，电磁力=角动量时空变化率.超光速C=2ZM/r |
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黄国友 自己编造 附加条件（关联式）来强加给 原方程！还说别人不懂，那你就找一个懂你的人来阐释一下 至目前还没有发现你朱伯父不懂的道理，我在涉猎理论物理的时候，你这个兔崽子还在你妈的怀抱里吸吮着乳头呢！小混蛋！你还是去搧你的爷爷曹盛林的耳光去吧……不知天高地后的家伙……
你那所谓二阶个方程d^2u/dθ＾2+u=3u^2 只是你自己编造出来的黄氏方程吧…… 求这个方程的解析解是所有数学教材都必然交代的常规解法 用不着绝技！应该是小儿科的常基本解法…… 你的每一个帖子都流露出你黄国有黔驴技穷 无才便也罢，只要在前辈面前谦虚一点儿，也许会不吝赐教于你，可是你又无德！口出狂言 出言不逊 只是在如同疯狗狂吠 胡乱撕咬 血口喷人 妖言惑众 误导他人 你别忘了 楼主的帖子 叫 《微分方程 高手请进》，显然是在谈论数学 请数学高手帮助 而你专门乱扯淡 歪曲 篡改主题 偏离主题 胡扯蛋 只是专注于数学 楼主 没有要你多管闲事（物理意义），只要你给出楼主【1楼】的微分方程的数学解即可，谁也你东扯西拉 专门扯出方程以外得老远 什么其解析解毫无用处 你怎么就是爱管闲事 你只要 给出 出楼主【1楼】的微分方程的数学解即可，谁要你管那么多，什么有用没用，楼主只要给出解析解 并不要你乱扯淡 有用没用用不着你来判断 楼主自有抉择 谁要你越俎代庖 如果你在数学答卷上 说虽然 给方程有解析解 但毫无用处 所以停止作答 你必然得零分 在破解数学方程过程，是不允许依据动能守恒定律 角动量守恒定律 给出附加数学关联式的 因为这是数学 而不是 物理！如果楼主给出一个物理问题 光子在引力场中的相对论运动轨迹 你可以 在建立微分方程过程依据相关的物理定律 进行展开 但不能说 这个物理定律阅卷老师都不知道，这就是阅卷老师的水平所限！你这种逻辑能被阅卷老师 主考委员会认同么？ 在破解数学问题时 只允许使用数学逻辑法则 不允许私自炮制出（谁也不知道的）物理定律来作为数学关联式这就是犯规！ 不服 你就去问沈建其！ |
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当且仅当两个天体构成的力学系统中的每个天体才会保持关于其质心的动量矩守恒不变！即使是由两个天体构成的体系，若不是关于其质心的动量矩，则也不可能保持常数。也就是说对于动量矩守恒的问题是很苛刻的！
若由多于两个质点构成的自引力体系，就不可能使各个质点保持其关于质心的动量矩的守恒，但其体系的总动量矩却一直保持不变！ 依此可知 黄国友在滥用动量矩守恒定律。 |
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黄先生给出的求解过程，对我来说或许还要更详细些才能看明白。单就给出的解而言，解似乎还有一点问题。
我希望得到的解是掠过引力中心的曲线轨迹，例如通过太阳附近，到达地球的光线。 而在黄先生的解中，“u=u0*cosθ，这是一条方位角为±π/2的穿过引力中心的直线”。这是否意味着u0=0， 由u=GM/r，得r0=无穷大。 这样虽然能得到一个光线偏角，但得到不通过引力中心的光的轨道好像还有问题。 |
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u=u0*cosθ+u0^2*(1+sin^2θ)这个解才是光轨迹方程，你说的是0级似解是不精确的（直线），按u=u0*cosθ+u0^2*(1+sin^2θ)在图上画出的就是光轨迹线 ※※※※※※ 黄氏时空由光频多普勒红移定义可变时间单位秒t'=tsquart[(C-V)/(C+V)].时间秒的变化导致了可变光速C'=Csquart[(C-V)/(C+V)].光速的变化导致了可变距离单位米l'=lsquart[(C-V)/(C+V)].黄氏自旋衰变相互作用模型:引力=动量时间变化率，电磁力=角动量时空变化率.超光速C=2ZM/r |
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你那所谓二阶个方程d^2u/dθ＾2+u=3u^2 只是你自己编造出来的黄氏方程吧……
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 如果d^2u/dθ＾2+u=3u^2 是我编造的黄氏方程，那我就是伟大的物理学家了。全世界的物理学家都懂得这个方程； 并且，全世界的数学家和物理学家都懂得d^2u/dθ＾2+u=3u^2 这个方程没有解析解（久广的原方程就更没有解析解了）；但却存在“朱氏解析解”，这个“朱氏解析解”高中生就可以给出，但却是错误的。你至死也不会明白其中的道理。 并且，全世界的相对论专家（包括霍金）都会承认我的解法是正确的，因为，他们也是这样解的，结果也完全相同，不会有第二种正确的解。 这就是区别 ※※※※※※ 黄氏时空由光频多普勒红移定义可变时间单位秒t'=tsquart[(C-V)/(C+V)].时间秒的变化导致了可变光速C'=Csquart[(C-V)/(C+V)].光速的变化导致了可变距离单位米l'=lsquart[(C-V)/(C+V)].黄氏自旋衰变相互作用模型:引力=动量时间变化率，电磁力=角动量时空变化率.超光速C=2ZM/r |
