原来陈拖顺先生贴的是这一段，我开始还以为贴的是路途中的引力红移问题。我再贴出全文才好讨论，因为季灏先生和劳伦斯都承认季先生给的公式(1)和(2)，这是讨论的前提基础。你的帖子与王飞和周宪一样迴避公式(1)和(2)，只用牛顿力学的公式(3)来讨论，再讨论是各说各的，己经毫无意义了。这只能表示你们对人的不满，与讨论的学术论文无关 。        

劳伦斯教授发明的电子迴旋加速器由两个D形盒组成。两盒间的电位差为U,间隙中的微波加速电场对应于季先生实验的瓦里安2300C/D直线加速器内的微波行波电场。迴旋加速器内的磁感应强度B的圆形磁场对应于季先生实验的半圆形偏转磁场。                     

按1932年劳伦斯和利文斯顿设计的回旋加速的工作原理：电子电荷为e，质量为m，第1圈加速的电场力做的功等于电子获得的动能：eU = (1/2)mv₁²，电子在磁场中受的罗仑兹力与离心力平衡：ev₁B = mv₁²/r₁。求得：r₁= (2mU/e B²)^1/2。同样，求得转第2圈后电子的轨道半径：r₂=(4mU/e B²)^1/2,……转n圈和n+1圈后r_n=(2nmU/e B²)^1/2和r_n+1=[2(n+1)mU/e B² ]^1/2。r_n+1/r_n= [(n+1）/n]^1/2 , r₂/r₁=1.4/1。电子从速度为零开始加速，其轨道半径r逐步增大呈螺旋状运动。到50圈时r_n+1/r_n=1.01,到500圈时r_n+1/r_n=1.001，轨道间愈来愈逐于重合。上述计算中用了近似:忽略相邻两圈间电子质量的变化。

更严格的计算为：迴旋加速器工作中是让U的交变周期等于磁场B中圆周运动周期T。

     T=2πr/v                            (4)，

由      eU =(1/2)mv²                         (5)，

和      mv²/r=evB                          (6)，

对消式(5)和式(6)中的m，可求得：

       T=πBr²/U ≈ πBR²/U                    (7)，

加速器的D形盒的尺寸(工作半径R)是按电子速度为光速c时设计的(T=2πR/c)。T是一个取决于B、R和U的加速器结构常数。由式(4) r严格地正比于速度v。当v愈接近光速c时，r就愈接近于常数R。从表1可见：r等于常数R的精度，4Mev以上为1%，6MeV以上为0.5%，12MeV以上为0.1%。对应于半边加速器的季先生实验，就是不同速度的电子打在靶上的位置会随能量愈高愈接近。表3的实验结果，完全符合于表1的预期。

对于季先生的实验，直线加速器输出不同能量的电子束，由式(5)就对应于不同的U。再由式(7)能量愈高，U愈大则T愈小。高能时v接近c，由式(4)则愈高能量时T愈小r也愈小。但季先生从公式(3)却得出愈高能量r应愈大。

由相同的前提式(6)和式(3)得出互相矛盾的结论，这是真正的难题。相对论学者多年来没有对季先生发表的论文做出回应，原因也许在此。从r_n+1/r_n=[(n+1)/n]^1/2 与表1对照可得：电子迴旋加速器中约60圈后的电子相当于季先生用的直线加速器4MeV档的输出电子，约135圈后的电子相当于6MeV挡的输出电子。当电子能量从渐变转为突变，让人不得不惊奇: 4MeV与6MeV的电子为何会有几乎相同的轨道半径？

其实迴旋加速器与季先生的实验一样，其内部约75圈的中间过渡只是掩眼法而己。真正要面对的仍然是在每一圈（例如60圈约4MeV和135圈约6MeV）的电子在各自的轨道中的力的平衡问题。季先生的实验只是揭开了掩眼法的幕布。

     电子迴旋加速器工作原理的要害在于：由式(6)的力平衡则电子质量在磁场中是不变的，由式(5)电子的能量（或质量）在电场中每圈都会增大一些。高能时电子速度基本不变，电子的质量和动量会持续增大。从而得出与季先生同样的结论：电子的轨道半径会随能量的增大而增大，这与实际运行状态相矛盾。 

三，相对论的严格公式 

     作者认为，劳伦斯的迴旋加速器工作原理的公式(6)和季先生论文中公式(3)都是不妥的。他们用的离心加速度中的v只是电子真实速度矢量v的一个切向速度分量v_T 。仅有v_T则电子不可能在磁场中拐弯。v_T在磁场B中产生的罗仑兹力f_N=ev_TB是改变电子运动方向的主动的向心力，用来抵消向心力f_N的离心力m v_T²/r是被动产生的。若是完全抵消了则法线方向合力为零，电子将是从切线方向射出的直线运动。因此，离心力mv_T²/r总是滞后並小于向心力f_N的。差值△f_N = f_N - (mv_T²/r)会产生向心加速度a_N及其时间积分的向心速度v_N。v_N让电子向内运动微小距离，即切线与圆弧线之间的间隙。v_N的罗仑兹力f_T =eBv_N 沿切线方向的反方向使电子减速，f_T远小于f_N。令ψ=f_T/f_N=v_N/v_T，在迴旋半径为R的圆周上两点A和B各画一条切线，两切线交点N至圆心O的连线ON与弦AB相垂直且交点为H。令α为切线AN与弦AB的夹角，则：sinα =NH/AN=AH/R。当A与B足够接近，则：v_N/v_T ≈ NH/AN，sin α ≈ α，从而：ψ=v_N/v_T ≈ α，即弧线AB对圆心所张角的一半。v_N与v_T两个矢量不断地合成使得v_T在半圈内方向转了180度，因此180度中v_N的总和∑v_N = 2v_T。无论α取值的大小如何，半圈内v_N的总和的作用总是一样的。从每度内v_N约为v_T的1/90，由此可粗略地估计出ψ值约为1/100。

   电子的动量变化率与罗仑兹力平衡的正确表述是季先生的矢量公式(1)，用相对论因子γ = m/m₀ =[1-(v²/c²) ]^-1/2式(1)改写为：

    d(m₀ γv)/dt = m₀ γ(dv/dt) + m₀v (d γ/dt) = -ev×B    (8)，

(8)式中(dv/dt)与v的方向可以相同也可以不同。直线加速器中 (dv/dt)与v的方向相同。磁场B中(dv/dt)沿法线方向，v沿切线方向。令β= v/c, f_P = m(dv/dt)，f_C = v(dm/dt)，则比率K=f_C /f_P为：

       K = f_C / f_P = v m₀(d γ/dt) / m₀γ(dv/dt)

         = (v²/c²) / [1-(v²/c²)] = β² γ²                                  (9)，

电场中的电子加速过程dm/dt为正，f_P和f_C是同方向的电场力。 f_P增大电子的速度，f_C增大电子的质量。磁场中与离心力平衡的法线方向力f_N 正是f_P 的具体体现。切线方向力f_T正是f_C的具体体现。f_T沿 v的反方向减小电子质量，dm/dt为负。

    由公式(9)和电子总能量E= γ m₀ c²，m₀ c² = 0.511MeV，算出的不同电子总能量时的γ和K= γ² β²见下表①。            

 表①不同电子能量对应的γ和KE(MeV):

         1 -----2 -----3 -------4 -----6 -------9 -----12 -----16 -----20,

 γ:  1.9569--3.9138--5.8708--7.8278--11.741--17.612--25.483--31.311--39.139,

 K: 2.8300--14.318--33.467--60.274--136.87--309.20--545.06--979.21--1530.8, 

电子总能量低于0.8MeV（动能小于0.3MeV）时，动量变化率中的速度变化力f_P大于质量变化力f_C，f_P才起主要作用。由表①可见，电子总能量高于1MeV后f_C就比f_P大很多，能量愈高比值K愈大，4MeV为60多倍，6MeV为130多倍。

    高于4MeV时电子速度与光速的比值β等于1的误差在1%以内，速度的变化的影响己经不重要了，电场力f_E主要是增大电子质量的力f_C。当更高能量的电子射入磁场中，其速度v增大甚微，主要是质量增大使得动量mv增大，从而更难以弯曲它改变方向。要减小其动量主要是靠v_N的罗仑兹力f_T减小电子的质量。从K= f_C / f_P大于60,ψ约1/100，可得f_T = ψKf_P ≈ 0.6 f_P。估算6MeV的电子在磁场B中降至4MeV所需时间，从f_T ≈ 0.6 mv²/r，f_T做功半圈(用4MeV的电子质量m，速度v = 0.9918c)：

   W =∫₀^πf_Tds ≈ 0.6πr mv²/r ≈ 1.89mv² ≈ 1.85mc²

由此可见，f_T做功的路径不到半圈就可使电子的总能从6MeV降到4MeV。

    切向力f_T做负功使电子质量减小从而动量减小，主要体现为沿切线方向发射向前的同步辐射。法线方向力f_N只能改变电子的法向动量，不可能产生沿切线方向的同步辐射动量。正因为如此，电子在磁场中的同步辐射直至1947年才被F. Elder等人意外地在同步加速器运行时发现，而没有成为证实相对论预言的考证实验。只是当F. Elder等人在意外发现之后才想起D.Iwanenko和I.Pomeranchuk曾在1944年预言过：存在有电磁辐射会限制电子感应加速器的能量提高。朱洪元、J.Schwinger先后于1948年、1949年各自讨论了同步辐射的辐射功率及其角分布与频率分布等问题。以1965年诺贝尔奖得主J.Schwinger^[3]为代表的同步辐射理论是：基于电子按规定的路径运动, 用1897年J.J.Larmor的经典加速辐射功率P的公式，和高速荷电粒子的Liénard – Wiechert推迟电磁势，算出的同步辐射功率为γ ⁴ P，再做量子电动力学修正则为γ ⁶ P。Larmor的辐射功率公式为：

       P=2e²a² / 3c³                                           (10)，

e和a分别为电子的电荷和加速度。将磁场B中迴旋加速度a代入式(10)则：P= 2e⁴β² B² sin²α / 3m₀²c³  (用高斯单位制，避免用真空导磁率和真空介电系数)，α为电子速率与磁场的夹角。

  同步辐射理论继承了经典的电子路径和辐射公式，也就继承了劳伦斯迴旋加速器理论的磁力分析及其无法解释实验结果的缺陷。由表①可见：对5.5MeV、12MeV和20MeV能量的电子,同步辐射功率比经典迴旋辐射功率P分别相应高出1百万倍、1.7亿倍和40亿倍。这三种能量电子的迴旋半径和速度基本相同，经典迴旋辐射功率P也相差不大。同步辐射能量比1/170/4000与电子自身的能量比1/2.2/3.6严重不成比例，从而无法用同步辐射的耗能来解释不同能量的电子迴旋半径相同的实验结果。

   同步辐射喷射出的动量对电子的反冲作用力称为Abraham- Lorentz-Dirac力>，它如同真空涨落的阻尼作用力一样使电子减速。若将涨落真空阻尼改为磁阻尼，即是说，切向同步辐射的反冲，使电子获得反切向速度，並产生反法向的罗仑兹力及其引起的反法向加速度和速度。反法向速度的罗仑兹力f_B沿切线方向，是减小f_T的磁阻尼力。f_B是由反切向力f_T产生的电子同步辐射，经辐射反冲速度由磁场B反作用到电子上，是典型的负反馈机构。其导致的电子的能量损失减缓而自动地趋向动态平衡，並最终让f_T做功半圈所损失能量从约1.85 mc²降为约1 mc²。对季先生实验是：入射电子在半圈内由于f_T做负功，使6MeV的电子基本上降回到4MeV时的质量、速度和轨道半径。对迴旋加速器则是：电子每穿过一次电场所增加的能量，大部分都会在进入磁场的半圈中损失掉。再进入下半圈的电场加速（高能时主要是增加质量），构成电场加能-磁场减能的循环。从而得到高能电子轨道半径与其质量（或能量）无关的结论。

以上是按相对论式(1)的计算结果，无需再做量子电动力学的更正，就与实验相符。这又出现一个疑问，在J.Schwinger尚未用量子电动力学更正同步辐射公式的1954年之前，同步辐射理论与实验结果是否严重不相符? 因为在电子能量20MeV时γ ⁶比γ ⁴大了千倍以上，100MeV时大了三万倍以上。现在仅用相对论（经典的劳伦斯理论加f_T修正），而未用量子电动力学更正，也与实验结果相符。只是混用了牛顿力学观点dm/dt=0的式(6)和式(3)才得出了与实验不相符的结论。

     迴旋加速器中从第n圈到n+1圈电子的能量变化不显著，反切线方向力f_T的作用不容易引起人们的注意。但是从60圈约4MeV到135圈约6MeV累积的能量变化为2MeV，被一次性地按季先生的实验方式对比展现出来，罗仑兹力切向分量f_T的作用就明显了。电场的加速增能作用每圈都是一样的，前60圈增加了能量4MeV，后75圈只增加能量2MeV，也表明磁场减小电子能量的作用随着能量提高愈来愈显著。

四，相对论混用牛顿力学並不罕见 

   牛顿力学和相对论是物理学发展进程中两个里程碑式的阶段，既有继承性，又各具特色。形成了两个理论体系。通常认为，后者包含了前者，牛顿力学只是相对论力学弱场低速近似下的特例。但从应用的观点来说，相对论运用于强场高速场合，牛顿力学运用于弱场低速场合，各得其所。在强场高速场合，混用牛顿力学的质量不变(dm /dt=0)的观点，理论上似不成立,也得不到实验结果的支持。除了季先生和劳伦斯教授之外，这种相对论混用牛顿力学观点的情况並不罕见。

   暗物质理论是瑞士天文学家兹威基(F.Zwicky)^[4]提出的，他根据的是：观测到几十个星系的质量-转速关系曲线对牛顿理论导出的维里定理>的预期全都反常，星系内的所有可见物质的总质量M的引力mGM/R²，都不足以平衡星系边缘物质运动速度的离心力mV ²/R。为此需要引入比可见质量大几十倍的看不见的质量称为暗物质。

   加拿大维多利亚大学F. I. Cooperstock 和 S. Tieu ^[5]用一个稳定的轴对称压力-自由流体模型，根据广义相对论计算得到多个星系的质速关系曲线並不反常，而是符合于可见物质的密度分布，从而无需引入额外的暗物质来平衡转动离心力。

   暗物质理论的要害是：本应该用相对论来计算，却在星系中各星体的总引力的计算中用了基于质量不变(dm/dt = 0)的力的线性迭加原理。质量不变和引力的线性迭加原理是牛顿力学独家专有的。在狹义相对论、广义相对论和量子场论中都是质量可变(dm/dt ≠ 0)，也不存在力的线性迭加原理。因为当第三个物体C的出现会影响原先两个物体A和B的质量，原先A和B之间的力f_AB就会改变为f_AB’，从而引力的线性迭加原理必然失效。

   上世纪七、八十年流行的第五种力的理论，也是基于引力的线性迭加原理产生出来的。1989年作者^[6]从量子场论得出质量可变的牛顿引力定律，再用引力的非线性迭加解释了有关第五种力的实验结果以及历史上观测到的其他引力异常。九十年代以后第五种力的理论渐渐地不再流行了。

    又如流行的黑洞理论中，理论创始人钱德拉塞卡、兰道、奥本海默、托尔曼等人在计算“多大质量产生的引力会超过不相容原理>所能提供的排斥力的极限”时，都用了牛顿力学独家专有的力的线性迭加原理。推导出黑洞存在的星体结构的完备方程组为：球对称静态理想流体的托尔曼-奥本海默-沃尔科夫恒星内部平衡方程、质量方程和状态方程三者联立^[7]。其中质量方程为M(r)= ∫₀^r4πρr’²dr’，是将引力源中的各部分的质量直接线性相加。爱因斯坦方程的非线性导致：质点的质量会因周围存在其他质点而变小和引力不满足力的线性迭加原理或引力作用有自屏蔽效应。黑洞理论中混用了牛顿力学的力的线性迭加运算步骤,才能得出结论：不相容原理不能够阻止质量大于钱德拉塞卡极限的恒星坍缩成为体积接近于零、质量密度无限大奇性黑洞。作者考虑到引力迭加的非线性（nonlinear）^[8]得出：无论多大质量的中子星的内部引力都不会超过中子气的简并压力，从而不可能坍缩成奇性黑洞。

   所以，作者提出相对论与牛顿力学能混用吗?向学界请教!参考文献

[1]季灏 关于电子Lorentz力和能量测量的实验 中国工程科学 10（2006）60-65

[2]季灏  不同能量的电子在均匀磁场中运动规律的实验 中国科技纵横  6（2009）

[3] J. Schwinger, On the Classical Radiation of Accelerated Electrons Phys. Rev. 75, 1912–1925 (1949); The Quantum Correction in the Radiation by Energetic Accelerated Electons, Proc Natl Acad Sci U S A. 40(2) 132–136(1954)

[4]Zwicky, F., On the Masses of Nebulae and of Clusters of Nebulae>, Astrophysical Journal. 1937, 86: 217, doi>:10.1086/143864>

[5] F. I. Cooperstock and S. Tieu, General relativity resolves galactic rotation without exotic dark matter, astro-ph/0507619 v1 26 Jul 2005

[6] Chen Shao-Guang, Does vacuum polarization influence gravitation?   1989, Nuovo Cimento B 104, 611-619 

[7]刘辽 赵峥 广义相对论 高等教育出版社2004年第二版 P.208-212 

陈托顺先生:   你已承认你用的是传统的牛顿定律F=ma=mv²/r

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我在哪儿承认过用的是传统的牛顿定律F=ma=mv²/r？

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按严格的相对论力学，只要物体在运动（v不为零），m就会变化（dm/dt不为零）。

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在哪本相对论教科书上有这样的陈述？

当v接近c时，按相对论m会变化但q不变，q/m就非为常数，qvB=mv²/r不成立。

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SHEN RE: 如果不考虑辐射，qvB=mv²/r当然成立。姗姗上面的几个观点有很多错误。有的还颠倒了因果关系（如波尔量子化轨道）。

对【75楼】说：

jqsphy:

影响电子增加或减少质量的原因很多：

1.电场电压使电子加速。

2.电子辐射能量并减速。

3.电子克服洛伦兹力的吸引而做功、减速。

4.洛伦兹力吸引电子，对电子做功，使电子增速。

等等。

所以电子所增加或减少的质量绝不可能有一个固定的函数式。同时当电子质量的增减区间在-dm/dt～+dm/dt之间过渡，即电子运动轨迹从收敛的螺旋线变为发散的螺旋线，或从发散的螺旋线变为收敛的螺旋线时，就必然通过dm/dt=0，并具有一段匀速圆周运动的曲线。

3.电子克服洛伦兹力的吸引而做功、减速。

4.洛伦兹力吸引电子，对电子做功，使电子增速。

等等。

所以电子所增加或减少的质量绝不可能有一个固定的函数式。

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周老先生：你说的上面的这些话又错了。

电子的运动状态取决于接收虚光子时的辐射压力与发射虚光子的喷射推力的平衡，这种平衡是统计的和动态的。【【【沈回复：姗姗不要把问题岔开去，我们暂时只谈经典物理学中的电子运动，来看待你的问题。】】

你难道认为电子能是牛顿力学概念下的质点，可以不考虑辐射吗?    【【沈回复：电子在外电磁场中运动，当然有辐射。但是，你的问题不在于有没有辐射，是你的逻辑错误。我们可以在“假设无辐射或辐射趋于零”和“有辐射”两个层面来看你“电子dm/dt”问题。你的观点是错误的，而且还颠三倒四。】】

你说若不考虑辐射，会如何如何，但你的帖子中就有 P γ^ 4 的辐射。  【【沈回复：电子在外电磁场中运动，当然有辐射。但你的“电子dm/dt”问题有其它错误。】】

至于因果关系问题，你认为经典理论中牛顿力学超距作用下的质量不变和电磁学推迟势观点下的加速辐射，两者是是协调的吗?   对波尔轨道电子来说：牛顿力学认为‘v^2不变，m不变，动能就不变，电子对质子的距离r不变，电势能也不变’，电子总能量不变应该不会辐射；经典电动力学认为电子圆周运动必有加速辐射，圆电流圈和加速器的实验也完全证实了存在加速辐射。力学与电磁学得出完全相反的结论不值得深思吗?  【【【沈回复：你在“力学与电磁学得出完全相反的结论”之前说的几句倒是完全正确。但“力学与电磁学得出完全相反的结论”就颠三倒四了。这怎么说是“完全相反的结论”呢？这是因为在牛顿力学框架中，没有找到辐射的机制和辐射的源泉而已。但牛顿力学框架，是一个开放的框架，只要把辐射阻尼力加进去（来自电动力学），我们就在牛顿力学中得到了“电子圆周运动必有加速辐射”。注意：古典的电动力学=牛顿力学+电磁场方程，“电子圆周运动必有加速辐射”其实就是联合了牛顿力学之后的产物。它们是一家子。这里有什么矛盾？？这就好比男人和女人两种人，一种能怀孕，一种不能，于是你说他们是“矛盾”，但单靠一个，也生不出孩子。有什么矛盾？？ 这就是你的“颠倒因果关系”。】】

相对论和量子力学理论问世前超距作用的牛顿力学就己经遇到困难了，量子电动力学的问世就更彻底地否定了超距作用的牛顿力学能用于电子的高速运动中。 【【【沈回复：这些问题与你的错误问题毫无关系，不要拔高你的错误性质。】】】

电子受到的洛仑兹力始终与其速度垂直，故洛仑兹力不会对电子做功。

相对论的质速关系如果成立的话，它就是一个描述电子质量的固定的函数关系式。

电子受到的洛仑兹力始终与其速度垂直，故洛仑兹力不会对电子做功。
评：所谓力，就是在单位时间里传输mv的东西，说它不会做功我不理解。固然“洛仑兹力始终与其速度垂直”，但是在它的吸引下电子将越来越快地接近向心力中心。
相对论的质速关系如果成立的话，它就是一个描述电子质量的固定的函数关系式。
评：问题是在辐射和电子不断的势能动能变换的情况下，我们没有一个能够精确描述它的质量、能量、速度如何变化的公式。如果有了这样的公式，还要讨论什么季灏实验？质速关系仅仅是结果，我指的是描述造成质量、速度变化的众多复杂原因的函数式。

我猜想，磁场通过洛伦兹力对电子做功与力学是不一样的。电线里电流周围的磁场方向是大致在电线的法平面上的多个同心圆，而这些同心圆就是从电子里按垂直于电流和磁场方向的角度，即洛伦兹力的方向发出来的。所以电子要吸收磁场能量，必须按洛伦兹力的方向，同样电子对磁场做功，也必须通过洛伦兹力。两根并排的有电流的电线会相吸或相斥，其方向就是洛伦兹力的方向。显然洛伦兹力是做了功。

季先生：

   你又闹笑话了，你说:“另外，在牛顿力学中，场当然有能量，如电势能，就是能量（其最终在数学上就可以转化为场的能量）。至于场的动量，在牛顿力学中被隐藏起来了。”