结论是虽然B看来a，b距离支点的距离一直不相等，但是B自己也坚信支点收到的压力信号是平衡的。虽然a要早于b掉下杠杆，但是a，b各自最后发出的压力信号也是同时到达支点的。也就是说在支点位置上来说，压力信号是同时消失的。所以依然是平衡的。
第二部分 证明杠杆两端受的A球和B球在竖直方向的力是大小相等的。
本文要解决的问题杠杆悖论和电梯悖论。一共分为三个部分， 
一，关于相对论力学规律的变换结果的引用。 
二，关于力学规律变换结果的在电磁场、引力磁场等等中的解释； 
三，解释杠杆悖论和电梯悖论 

一，相对论力学规律的变换结果的引用 
 好多文献或者教程里基本上都讲了在惯性系下通过洛伦兹变换导出的时间膨胀，质量增加，长度收缩等结果，给出了不同参造系下速度，时间的变换关系。也讲了采用牛二定律最初的定义F的方法（F＝dp/dt）,并证明了一些物理规律是四维协变的，三维下也一样可以推导，让这些规律具有相同的形式。四个字，“异曲同工”。但是对于不同参造系下，动量，能量，力的各自变换关系却很少提及。还是被我找到了，至于了他们的真伪性，我想大家可以自己去验证，我只能暂时引用。为了说明我的问题。 
 也许有的人说，加速度的变换，力的变换设计到广义相对论的内容，狭义相对论解决不了。个人嫩是不太赞同，关键是黄老师踢出的火箭问题，他就是在两个惯性系之间变换来讨论力学事件。要解决好这个问题，那么狭义相对论的不同参造系之间的力的变换等就必须有。不然没法分析。 
 引用zxz026的相对论的力的变换，http://post.baidu.com/f?kz=186970876> ，大家还可以参造藏淑杰，瞻卫生 的 文献：洛伦兹变换与爱因斯坦狭义相对论。发表在大连轻工业学院学报上。（虽然不太出名，但个人认为还是正确的理论）。我把ZXZ026的相对论力学规律变换中重要的部分贴过来（希望他本人不反对），我只用一部分来说明我的理论。 

1 
首先给出坐标的洛仑兹变换公式 
x'=γ(x-vt) x=γ(x'+vt) 
y'=y y=y' 
z'=z z=z' 
t'=γ(t-vx/c^2) t=γ(t'+vx/c^2) 

2 
推导速度的洛仑兹变换公式 
由t'=γ(t-vx/c^2) t=γ(t'+vx/c^2)可知 
dt/dt'=1/γ(1-vUx/c^2)=γ(1+vUx'/c^2)此式备用 
Ux'=dx'/dt'=(dx'/dt)(dt/dt') 
dx'/dt=d[γ(x-vt)]/dt=γ(Ux-v)再带入(dt/dt')=1/γ(1-vUx/c^2) 
Ux'=γ(Ux-v)/γ(1-vUx/c^2)=(Ux-v)/(1-vUx/c^2) 
同理Uy'=Uy/γ(1-vUx/c^2)=Uy/γ(1-vUx/c^2) 
 Uz'=Uz/γ(1-vUx/c^2)=Uz/γ(1-vUx/c^ 
把v换成-v,带'与不带'的量互换就可以得到逆变换 
结论 
Ux'=(Ux-v)/(1-vUx/c^2) Ux=(Ux'+v)/(1+vUx'/c^2) 
Uy'=Uy/γ(1-vUx/c^2) Uy=Uy'/γ(1+vUx'/c^2) 
Uz'=Uz/γ(1-vUx/c^2) Uz=Uz'/γ(1+vUx'/c^2) 
6 
力的洛仑兹变换公式 
fx'=dPx'/dt=(dPx'/dt)(dt/dt')=[dγ(Px-Ev/c^2)/dt](dt/dt')= 
γ[dPx/dt-(v/c^2)dE/dt](dt/dt') 
dPx/dt是fx,dE/dt是fx的做功功率dE/dt=fxUx+fyUy+fzUz 
带入可得 
fx'=γ[fx-(v/c^2)(fxUx+fyUy+fzUz)]/γ(1-vUx/c^2)= 
fx-(fyUy+fzUz)v/(c^2-vUx) 
fy'=(dPy'/dt)(dt/dt')=(dPy/dt)(dt/dt')=fy/γ(1-vUx/c^2) 
fz'=(dPz'/dt)(dt/dt')=(dPz/dt)(dt/dt')=fz/γ(1-vUx/c^2) 
结论 
fx'=fx-(fyUy+fzUz)v/(c^2-vUx) （※1） 
fy'=fy/γ(1-vUx/c^2) （※2） 
fz'=fz/γ(1-vUx/c^2) 

fx= fx'+(fy'Uy'+fz'Uz')v/(c^2+vUx') 
fy= fy'/γ(1+vUx'/c^2) 
fz= fz'/γ(1+vUx'/c^2) 

可以了。我把问题简化。 
a只考虑原参造系中，一质点，只受y方向的力。其坐标及一些力学量如下 
Ux=Uz=0; Fx=Fz=0; Uy 和 Fy不等于0，下面来推导Fy与Fy'的关系 
代入力学变换关系式（※2）直接可以得到 
 Fy'=Fy/γ=Fy(1-v^2/c^2)1/2 (1) 

结论1：与运动方向垂直的力在运动参造系看来是要变小的就像长度收缩一样。 

b只考虑原参造系中，一质点，只受x方向的力。其坐标及一些力学量如下 
Uy=Uz=0; Fy=Fz=0; Ux 和 Fx不等于0，下面来推导Fy与Fy'的关系 
代入力学变换关系式（※1）直接可以得到 
 Fy'=Fy (2) 
结论2：与运动方向平行的力在运动参造系看来大小是不变的。（这点和长度又不谋而合。 ）
二，关于力学规律变换结果的在电磁场、引力磁场等等中的解释； 
 结论1和结论2，是通过狭义相对论变换得到的结果。是不需要附加条件的。为什么说磁场只是电场的一种相对论效应呢。下面的论证你将会看得很清楚。 
 在某个惯性参造系下，某个时刻有两个相对静止的点电荷（质量相等），带电量都为q，相互之间距离为r，另有一个相对于第一个参造系运动的新参造系，运动速度为v，且运动的方向与两个点电荷的连线垂直。 
1 在静止参造系下（说静止不太合适，只要你知道我指的是哪个我就放心了）。。。。。。分个AB吧，a电荷 和 b电荷 
 考虑a的受力情况 
 电荷a的周围只有b所产生的电场。且大小为kq/r^2 
 所以a受到的力 Fa ＝ kq^2/r^2 
2 那么在运动的参造系下看 电荷a 受力多大呢 
 先不分析：引用狭义相对论的结论1，电荷a的受力大小应该是 
 Fa'=Fa(1-v^2/c^2)1/2 
那到底是不是这么大呢。我们用相对论电场理论重新分析下。 
 在运动的参造系看来。b在a处产生的电场大小为(注：不懂自己去查) 
 Ea = kq/[r^2(1-v^2/c^2)1/2] 
 那么a受的电场力大小为 
 Fa静＝kq^2/[r^2(1-v^2/c^2)1/2] 
 假如只有电场没有磁场，这个力是不能平衡的，如果相信狭义相对论是正确的，那么必然还有个力。 
 这个力为多大呢。。。为了平衡这个力必须等于 
 Fa静 － Fa' = kq^2/[r^2(1-v^2/c^2)1/2] － Fa(1-v^2/c^2)1/2 
 = (kq^2/r^2)(v^2/c^2)/[(1-v^2/c^2)1/2] 
 
 
 作者： 被流放的冥王星  2007-5-28 23:58 　 回复此发言   
 
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7 回复：加速火箭中的杠杆悖论 （相关论证整理）－－冥王星 
 那么直接运用磁场理论呢。。。b在a处产生的磁场大小 
 Ba ＝ (1/c^2) V！×Ea！（！矢量标记） 
 ＝ kqv/{[r^2(1-v^2/c^2)1/2]c^2} 
 a在这个磁场中运动受到的洛伦兹力又为多大呢 
 F洛＝ Baqv = (kq^2/r^2)(v^2/c^2)/[(1-v^2/c^2)1/2] 
看两种方法得到了同样的结果，当然要得到同样的结果不然相对论不是打自己嘴巴。。就是说在人们没有发现磁场之前，如果先搞出了相对论和电场，就能导出磁场的存在。当然你也可以叫其他的名字，而磁场的存在是显然意见的，因此电磁场的规律说明了什么，说明了狭义相对论力的变换是正确，至少在这里得到了验证。。。 
 我想这才是 人们说 磁场只是电场的一种相对论效应 的确切含义 

那么如何两个电荷的连线，与运动的哪个惯性参造系运动方向平行呢。。。我算过了，可以得到同样的验证。。。就是他们之间的作用力在另一个参造系看来。大小是不变的。。。 
 引力磁场同样 可以通过狭义相对论导出。。。。 
  三，解释杠杆悖论 和 电梯悖论 
我想大家知道我将要如何解释。。。 
1，杠杆悖论 
把杠杆放在匀加速上升的火箭里。。。从外面与杠杆平行运动或者静止的两个参造系来看。。。 
a，先从相对于支点在水平方向没有位移的那个参造系来看。。 
 A球和B球受力相等，且方向和运动的参造系垂直。 设大小为F 
b，从水平运动的那个参造系来看。引用相对论变换 
 则A球受力大小为 Fa' ＝ F (1-v^2/c^2)^1/2 
 B球的受力大小为 Fb' ＝ F（1-v^2/c^2)^1/2 

2. 电梯悖论。。。引用相对论变换 
 与力平行运动的参造系看来，力的大小是不变的。。所以他们可以匀速运动。。可以平衡。。。（放到加速的火箭里，不能解释，那涉及到广义相对论）
第三部分 针对竖直方向加速变换后，杠杆与球的运动协调性问题

该部分论证：虽然杠杆和A球B球的加速度不一样，但是仍然能和谐的在一起。 
1） 
首先给出坐标的洛仑兹变换公式 
x'=γ(x-vt) x=γ(x'+vt) 
y'=y y=y' 
z'=z z=z' 
t'=γ(t-vx/c^2) t=γ(t'+vx/c^2) 

2）速度变换 
Ux'=(Ux-v)/(1-vUx/c^2) Ux=(Ux'+v)/(1+vUx'/c^2) 
Uy'=Uy/γ(1-vUx/c^2) Uy=Uy'/γ(1+vUx'/c^2) 
Uz'=Uz/γ(1-vUx/c^2) Uz=Uz'/γ(1+vUx'/c^2) 

3）加速度变换 
a_x'=a_x/γ^3(1-vUx/c^2)^3 
a_y'=[a_y+a_xUyv/(c^2-vUx)]/γ^2(1-vUx/c^2)^2 
a_z'=[a_z+a_xUzv/(c^2-vUx)]/γ^2(1-vUx/c^2)^2 

a_x= a_x'/γ^3(1+vUx'/c^2)^3 
a_y=[a_y'-a_x'Uy'v/(c^2+vUx')]/γ^2(1+vUx'/c^2)^2 
a_z=[a_z'-a_x'Uz'v/(c^2+vUx')]/γ^2(1+vUx'/c^2)^2 

主要解决的问题：证明杠杆是倾斜（不仅倾斜而且弯曲）的， 且倾斜的杠杆和球能保持在一起 

详细解决过程。 
初始条件。 
一，初始时刻： 
 惯性参造系1（与杠杆在水平方向保持相对静止）下，杠杆静止，杠杆上两个球A，B以-v和v从杠杆中点向两边运动。杠杆连带两球【一起】有个向上（y轴方向）的加速a，向上的速度此刻为零。 
 惯性参造系2（相对于参造系1有个水平向右的运动的速度v，竖直方向和参造系1一样保持相对静止），显然参造系2与B球保持相对静止。 

二，下面证明，杠杆为什么倾斜(不仅是倾斜的而且是弯曲的)，以及倾斜的杠杆如何能保持A，B不离开（即，不产生谬论） 
 由于两个参造系在水平方向上有速度差。因此参造系1下杠杆两端的同时事件在参造系2看来并不同时。差值为多少呢？ 
 设，在参造系1下杠杆右端的坐标为，x2，距离右端x远的杠杆上的点坐标为x1（以后这里称为Lx端），两点的时刻同步t1=t2. 
 则，在参造系2下，引用洛伦兹变换 
 t1' = r (t1 - vx1/c^2) 
 t2' = r (t2 - vx2/c^2) 注： r＝γ＝（1－v^2/c^2）^-0.5 
 因此差值 
 #t’ = t1' - t2' = r v(x2 - x1)/c^2 ＝ r vx/c^2 
 就是说本来参造系1下同时发生的事件，在参造系2看来是先后发生的，因此，在参造系1下，杠杆两端同时获得加速度a'，在参造系2看来，是右端先有加速度a'，过了#t’时间后，Lx端才拥有加速度a'，这就是说在参造系2看来，杠杆两端并不是同时向上开始运动 
 考虑右端获得加速度a'后经过了时间t'，则Lx端加速的时间长为 
 t' － #t' , 
则， 
右端上升的距离 L右 ＝ a't'^2 / 2 
Lx端上升的距离 L(x) ＝ a'(t' － #t')^2/2 
 ＝ 0.5a’t’^2 + 0.5a#t’^2 － at’#t’ 
 代入#t’ ＝ 0.5at’^2 + [0.5a(rv)^2/c^4]x^2 –( arvt’/c^2)x 

 从Lx的表达式我们可以看出，本来参造系1下水平的杠杆，到了参造系2下，变成了抛物线形状的（Lx与x构成二次函数的关系），即，杠杆不仅倾斜而且是弯曲的。 
（顺便提下，如果杠杆在保持水平运动的同时向上不是加速运动，而是匀速运动，那么杠杆就只是倾斜而没有弯曲。具体可通过Lx与x的关系看出来。当然这里不能直接得出，这里是杆从静止开始向上不断加速的过程。令a＝0，杠杆没有向上的速度，杠杆仍然水平。） 
 但是B球所在位置杠杆上的点（不是恒定的点，随着杠杆运动这个点不断切换）向上的加速度究竟是多少呢。下面就来处理这件事情。 
t’时刻B球所在的杠杆位置离右端的距离为x = (L’/2 – vt’) r （乘r 是为了转换成参造系1下的长度，这样才能代入，对着图就明白了） 
则， 
L(x) ＝ [0.5a’(rv)^2/c^4] [(L’/2 – vt’) r]^2 + 0.5a’t’^2 － ( a’rvt’/c^2) (L’/2 – vt’) r 
整理下， 将含有t’^2 的项都取出来。 
 有M ＝ 0.5a’(rv)^2（vr）^2/c^4 ×t’^2 + a’r(v/c)^2 × t’^2 + 0.5 a’t’^2 
注： 为什么只要t’^2 项呢，因为我们要对L（x）求二次导数，因此一次项和常数都没有用。 
 L(x)’’ = M’’ = [(rv/c)^4 + 2(rv/c)^2 + 1]a’ 
 = a’[(rv/c)^2 + 1] ^2 
代入r ＝ [1－(v/c)^2]^-0.5 可得 
 L（x）’’ = a’c^4 / (c^2 － v^2)^2 

求B球的加速度 
 列出参造系1下，杠杆L和 B球的初始条件。 
 加速都只有y方向的即，a_Lx = a_Lz = 0 
 a_Bx = a_Bz = 0 
 V_Lx = 0, V_Bx = v 
代入公式 对于杆 
 则 a_Ly' = a_Ly/r^2 
 = a_Ly(1-v^2/c^2) 
 由上面可知 a_Ly' 就是 a', 若设参造系1下的加速度a_Ly定为a，则 
 a' ＝ a (1-v^2/c^2) 
 对于球B 
 a_By' = a / (1-v^2/c^2) 

将a' ＝ a (1-v^2/c^2)，代入L（x）’’得 
 L（x）’’ ＝ a / (1-v^2/c^2) 

 显然可以看出 a_By' ＝ L(x)’’ 
说明变换后的B球的加速，与B球靠着的杆上的点（变化的点）的加速度是相等的，B球与靠着的杆上的点x坐标又一直相同，B球与杠杆上的点，一起运动，且加速度一样，那么就保证了。B球在没有滑到端点之前，永远跟杆在一起。 
 同理可证，A端也一样。 
 
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