（1）离心力是相对于某个中心点而言的，在绳球模型中，小球相对于坐标原点的离心力仍然是用VV/r计算的，其中V是小球在垂直于绳子方向的速度分量。我的解法即是基于这点的。如果正和认为不能这样计算，是他的误解。把V误解为小球的合速度。基于合速度的小球相对于相切圆中心的离心力vv/R（R为曲率圆半径）在本题中没有意义。

///正和：对非匀速圆周运动，除了按定义计算加速度，根本没有VV/r这样的简单直觉公式，不管你的V是线速度还是垂直于R的分速度。以天体在远日点和近日点为例，设远日点离太阳R，速率V；近日点离太阳r，速率v。这里的速率既是线速率又是垂直于r的分速率。假设你的算法成立，则有GM/R^2=V^2/R，GM/r^2=v^2/r，于是得到V^2R=v^2r，这与由角动量守恒定律导出的VR=vr相矛盾，除非V=v，R=r，即天体做匀速圆周运动。太相信自觉不会有好结果的。虽然你的方法也得到小球振荡的结论，但你那是歪打正着，与我的概念清晰的方法并不等价。

（2）你认为“力矩为零M=0，则角加速度α=0”是不对的，没有任何物理原理支持这一说法。只能说“力矩为零M=0，则角动量变化率=0”，在本例中，绳的张力相对于原点的力矩为0，角动量不变，但张力在小球向内运动，即r减小的过程中对小球做功，它反映在小球动能的增加上（实际画一下力对水平运动的小球做功的线路与没有水平速度下面的小球是不同的。明显的不同是这个过程中力的方向都改变了）使小球的合速度增大，导致小球在与绳垂直的方向上的速度也增大。观察人体舞蹈旋转的情形可以很好地理解这点，当然也可以自己转转看“线速度”的变化。

///这段回答很准确！力矩为零并不意味着角加速度为零。只有对刚体而言才有力矩为零角加速度为零的结论。yanghx等人显然是将刚体的结论到处乱用了。绳球模型中绳子在缩短，根本就不是刚体转动。

在牛顿力学里，是否规定了只能把力分解到特定的互垂方向？

我记得说的是：力可以分解到任意两个互垂的方向，
不同的互垂方向不会影响最后的分析结果，
那么是否存在某种互垂方向是“直觉的伪方向”呢？
牛顿力学里哪条规定的？呵呵，你这种说法可有点“伪经典”的意思？

    首先要更正在我的第77817和77822帖中公式导出的一个错误﹕力学平衡或能量平衡方程都没有把系着在水平板下面小球的运动状态考虑进去，导致最后方程的表达系数有误，特表示歉意！

    在正和的第77804中，第(7)式的能量守恒表达方程是完整的，可就是因为他的这个能量守恒方程及其第77804帖，才使我清楚地明白了角动量并不守恒！

    我曾经认为具势运动的角动量守恒应该无可置疑，所以直接套用行星模型进行问题求解，而且根本没来得及看第77804帖的解题结果就断言r=L的特解，可是正和的整个能量守恒方程就这么一个特解难道不奇怪吗？为什么就不存在r等于其他值的力学平衡解？

    其实，根据正和“无磨擦”的题意，由初始条件速率V决定的力学平衡点在任何位置都有可能发生，“小球将产生振荡”的时间会很短！可为什么就只有r=L的特解呢？原来就是因为错误地人为规定了角动量VL守恒！

    现在，我们抛开角动量守恒重新建立力学平衡和能量守恒方程(省略质量m的表达)﹕

    2(d²r/dt)²  -  (dφ/dt)²r =  -g             ..............(1)

    (dr/dt)² + (rdφ/dt)² /2=  V²/2  + g(L-r)  ......(2)   

    当刚松开小孔处夹着绳子的夹子后，在第(1)式和第(2)中的径向r处的速度和加速度都不为零，但由于“绳子可以无磨擦地在小孔中滑动”且绳子长度很有限，于是系统很快达成第(1)式的力学平衡，于是有(rdφ/dt)² = gr 代入第(2)式得﹕

    (dr/dt)² = V²/2 + g(L - 3r/2)   ..........(3)

    很显然，当dr/dt≠0时力学平衡立即被打破，所以第(3)的左边必须同时为零，于是最后得到完整解﹕

    r =  (2L +  V²/g)/3 ≤ 2L   ...........(4)

可见只有当V²=Lg时才会出现正和的第77804帖中的特解，也由此可知，角动量mr²(dφ/dt)

在远日点和近日点时，引力完全垂直于运动方向，所以它只改变速度方向不改变速度大小。这时有dr/dt=0（没有你说的那种径向加速），dv/dt=0，dv/dt=g=-GMr/r^3，你不会不知道上述关系吧？

你提出变速运动小球的离心力等于垂直于绳的速率v^2/r是没有任何推导的直觉结论。

怎么不能定性分析？径向绳力改变的是径向速度U，
v=V+U  （矢量和），
U改变了，v的大小和方向都要改变，这不是很简单吗？

关键是这里可能还要把实际存在的vv/R分解一下，这才是关键，
你也承认“等效力”存在的必要，可又极力回避这个问题，奇怪，
看来你现在是听不进去这些了，只好以后再说吧，

你的“径向加速力”和“离心力”隐含着与“径”“共线”这一要求，我已经严格证明在这种情况下也仅在这种情况下你的分解法成立，因此你对绳球模型的解与我的解等价。但你的分解法所用到的概念“离心力”与“径向加速力”是这种特定情况下的创造。在证明这种分解法成立之前，这种分解确实是一种直觉，难以令人信服。这种分解法该叫做“宇观分解法”。

你得到的动力学方程是：
g+2d^2Y/dt^2=v^2L＾2/(L+Y)＾3
用我的符号表达出来就是：
g+2r''=V²L²/r³

而我得到的方程是：
2r'²+(VL/r)²=V²+2g(L-r)
两边对t求导即得
4r'r''-2r'V²L²/r³=-2gr'
两边除以2r'并移项即得
g+2r''=V²L²/r³
我的方程是一阶微分方程，比你的方程阶数低，好求解一点。

只有按速度方向和垂直于速度方向做力的分解才能定性地分析速度的大小和方向的改变。

你也不用急于分析速度的大小和方向了，
先看看此时的力矩是否为零？