"设绳子的系着点为原点，小球的极坐标为(r,θ)，由于是匀速收绳，所以 r'=dr/dt=-v  ,即r=L-vt "

怎么你可以用"匀速收绳"呢?你的绳子方向就不变了?
我为了使你的y"/x"=0/0不至于太难堪才引入了"匀加速收绳",
可你又说不行,那你自己看看先把y"/x"=0/0的问题怎么解决一下了?

你说极坐标的r不是矢量,可这里你又强调绳子的方向,我不看足球也要晕了?
我怎么就不能使用极坐标表示呢?
你也要稍微清醒一点呀?把话说的太满,不是自己找老虎骑吗?
现在的教科书总是从刚体运动引入角动量守恒的概念,什么原因就不清楚了,
可能是有意回避质点角动量守恒会遇到的这类麻烦吧?

竖直方向的加速度之所以是A=g, 是因为水平方向的加速度a=0,
但是a=0仍然是个必须的约束条件呀?

要求抛射距离L不就要联立求解吗(联立的意思就是要同时满足?):
A=g
a=0

两边积分得:
V=gt
U=C (常数)
(v=V+U   矢量和,方向随时而变)

再积分得:
H=gtt/2
L=Ut

t=sqr(2H/g)
L= U sqr(2H/g)

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同样的,要解决绳球问题,不也要联立求解吗:
具体参见帖子"综合起来考虑",
怎么能只考虑绳子方向,而把垂直于绳子的"切向"说成是"伪概念"呢?

竖直方向的加速度之所以是A=g, 是因为水平方向的加速度a=0,
但是a=0仍然是个必须的约束条件呀?

///正和：哪有你说的“因为”这样的因果关系？重力加速度g=(0,-g)整个是已知条件。g这个矢量是客观的，坐标系的主观的特殊的选择才使之成为(0,-g)。
你欠缺的东西太基本了，不怕你伤心，你缺少的是数学物理的正常感觉，无法形成正确的抽象思维。比如你对矢量、矢量的坐标表示的理解就是一团混乱。唉，你可以私下去问别的人对你的这些帖子的看法。

设行星的极坐标是(r,θ)，直角坐标是(x,y)，θ=0对应于x轴正向，由极坐标与直角坐标间的基本数学关系有
x=rcosθ...........(1)
y=rsinθ............(2)
y/x=tgθ............(3)

由牛顿第二定律和万有引力定律得，行星的加速度
a=(x",y")=F/m=-GM/r²(cosθ,sinθ).............(4)
显然有y"/x"=tgθ，已知y/x=tgθ，于是有
y"/x"=y/x
xy"-x"y=0
(xy"+x'y')-(x"y+x'y')=0
(xy')'-(x'y)'=0
(xy'-x'y)'=0
xy'-x'y=C
x²(y/x)'=C
(rcosθ)²(tgθ)'=C
r²θ'=C................(5)
(5)代入(4)得
(x",y")=-GM/C(θ'cosθ,θ'sinθ)
两边积分得
(x',y')=GM/C(C₁-sinθ,C₂+cosθ)...............(6)

r=sqrt(x²+y²)
r'=(xx'+yy')/r=x'cosθ+y'sinθ ...........(7)

(6)式按分量展开代入(7)式(并进行常数符号替代，这在积分中经常不加声明地直接进行)得
r'=C₁cosθ+C₂sinθ
r'/r²=C₁cosθ/r²+C₂sinθ/r²
将(5)式代入到此式得
r'/r²=C₁θ'cosθ+C₂θ'sinθ
两边积分得
-1/r=C₁cosθ+C₂sinθ+C₃
r=C₃/(1+C₁cosθ+C₂sinθ)
r=C₃/(1+C₁cos(θ-C₂)).................(8)
这个方程就是行星的轨道方程（即轨道的几何形状，但不是运动方程，因为不含时间t），对称轴为θ=C₂。这是焦点在原点的圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的一般方程。通过坐标设置强制使对称轴为x轴，则有标准形式
r=C₁/(1+C₂cosθ)...................(8s)
将(8s)代入(5)得
θ'=(C₁+C₂cosθ)²
此式的解与(8)式结合就构成了行星的极坐标运动方程。

只要你也认同“重力加速度g=(0,-g)”这个已知条件就好，
至于坐标系的选取当然是主观任意的，不会对自然现象产生影响，
但是坐标系也有一些规矩，这里就必须是两个坐标轴互垂，
而且坐标原点位置和坐标轴的方向选取直接关系到研究的最简单化问题，
所以这里一般选取抛射点为原点O，重力方向为y轴，水平方向为x轴，
当然你也可以选择其他位置做原点O，选择其他方向的坐标轴，
但是把速度、加速度、力分解到这些坐标轴上后，计算的结果应该都相同，

估计你以前的思路类似于：
虽然水平方向没有力的加速作用，但是如果把重力分解到质点的速度v方向上，
由于v并不垂直于mg，所以v方向上的力F=mg cosθ≠0，
如果假设出现了一个与重力方向相反的力N，它不但可以与重力相平衡，
还可以大于重力，使得质点m可以恢复到初始的水平方向运动，
那么由于F=mg cosθ≠0的作用，m原来的初始水平速度V就会增加？

或者干脆可以把v方向上的F=mg cosθ再分解到水平方向上去改变V？
一定要这样再次分解的话，不要忘了还有mg sinθ也要一起再次分解到水平方向，
结果还是水平方向上的合力为零吧？

其实估计你也不相信一个始终垂直于某方向的力会对该方向上的速度产生影响？
（再次强调：这个“某方向”不是m的实际运动方向，是m的初始运动方向）
都是“角动量守恒”的奇怪要求把人搞晕了？

回到“绳球模型”上看，一般是选取轴心为原点O，
这样由于是位矢的转动问题，所以选择极坐标更简洁一些，
那么速度、加速度、力分解到哪里呢？
分解到极轴r方向和极角θ方向？极角方向怎么分解呢？
所以一般都是分解到极轴和垂直于极轴的方向来研究？
按你的说法就是“绳子的方向”和“垂直于绳子的方向”，

当然在微分几何里也经常是把物理量分解到实际轨迹上某点的切线方向和曲率半径的方向，
这只是分析方法的形式上不同而已，分析的结果应该都是相同的？
在“绳球模型”中如果用这种方法，虽然轨迹是真实的，可曲率半径又是虚的（伪的？），
采用一般的极坐标分析法，半径是真实的绳子了，
可“切向”与“径向”又不是实际的运动轨迹了（伪概念？），
但这都不应该影响最后的分析结果吧？

至于矢量运算的确很多地方要向你学，而且也确实学到不少，
只是在这方面你要求的比较高，所以时常的不满意，
再加上你的一些失误，情绪受到影响，教学上难免失去耐心？

///加速度在x,y坐标轴上的分量的比值y"/x"怎么会=0/0呢？
难道y'/x'（速度分量的比值）也是0/0吗？
可见你完全不能理解基本的数学物理方程。

是呀，我一开始也是认为：
x=rcosθ
y=rsinθ
x'=r'cosθ - rθ'sinθ
y'=r'sinθ + rθ'cosθ
x" = r"cosθ - r'sinθ - r'θ'sinθ - rθ"sinθ - rθ'cosθ
y" = r"sinθ + r'cosθ - r'θ'cosθ - rθ"cosθ + rθ'sinθ

y"和x"肯定是不为零的呀，可是也推导不出 y"/x"=y/x 呀？
于是你说：“直接有x"=|a|cosθ，y"=|a|sinθ ，
这是（瞬时）加速度的矢量分解，与是否曲线运动无关。”
那么这里的|a|不是绳方向上小球的加速度吗？不为零吗？
小球沿绳方向做匀速运动，你的数学表达是：r=r0-Ut，
那么|a|=r"=0，没错吧？

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///谁在有意回避了？我在77339帖明确指出“用角动量守恒问题的解更简洁，
但你既然对角动量守恒存疑，那我就不用它”，是为了你而回避的。
但角动量守恒自动地蕴含在小球的运动方程中了，
你不会用求导的办法求出速度，再按角动量的定义去计算角动量吗？
何况我在求解过程中已经导出了θ‘r^2=C这样的中间结果，等价于角动量守恒。

的确，只要以匀加速收绳，就有x"=|a|cosθ≠0，y"=|a|sinθ≠0，
那么确实可以直接得到：y"/x"=y/x，最后得到：θ'r^2=C，
可是你忘记了，为什么小球的加速度a会只在极轴r上呢？
如果有一个垂直于极轴的力（切向力）同时作用于小球呢？a还会在极轴上吗？

不要忘了，为了简化问题，我们才使用了极坐标，
而在极坐标下也有个物理量分解的问题，
分解到极轴上容易理解，可是怎么能分解到极角上呢？
所以一般都是分解到极轴和垂直于极轴的方向上，即一般所说的径向和切向（伪概念？），
那么你要把本来为了简化问题的极坐标再转换成较复杂的直角坐标来分析，
也可以，但不能忘记了这个“切向”约束的前提条件呀？
即
a是一个矢量和：a=an+at=an+0=an=|r|"  ，a与r共线，
但当at≠0时，a与r不共线，a≠|r|"=(x",y")，
由以上分析可知: 可以使用：x"=|a|cosθ，y"=|a|sinθ的前提条件就是：
at=0
那么由这个前提条件出发会得到什么结果呢？
就是在你得到的结果 θ'r^2=C 中，V=θ'r=C，

总之我们要判断某个方向上的速度是否会变化，
只要把各种力分解到该方向和与该方向垂直的方向上，
然后看看该方向上的合力是否为零，只要该方向上的合力为零，
那么就可以肯定该方向上的速度不会改变？
这是最基本的力学分析方法了吧？比如平抛运动等，
何必要由简化繁的绕这么大一个圈子去分析呢？
难道这也是如相对论那样是常人和常法理解不了、解决不了的东东？

如果你认为椭圆轨道上垂直于引力F方向上的加速度v'=0，
那么又怎样理解最后得到的结果：
椭圆轨道上垂直于引力F方向上的加速度为：
v'= -C/rr ≠0

别人有错、承认、修正你都认为是很自然而然的事，
可是你自己却不能容忍自己出一点错（也不能容忍别人出错）？
当然也就谈不上承认和修正了？
文革时期和现在的一些领导者就是这样的，结果如何呢？
不要小看了这个“修正主义”的重要呀？

如果你认为椭圆轨道上垂直于引力F方向上的加速度v'=0，
那么又怎样理解最后得到的结果：
椭圆轨道上垂直于引力F方向上的加速度为：
v'= -C/rr ≠0

别人出错、承认、修正你都认为是很自然而然的，
可就是难以容忍自己出一点点错？当然也就谈不上承认和修正了，
wg和现在的一些领导者就是这样的，结果如何呢？

这是两回事了，陀螺的重力使得陀螺产生倾倒角动量L，
这就是倾倒方向的“切向力”，
由于陀螺的自转，引起L方向的改变，
才把这个L转化成了进动角动量和抗倾倒角动量的，
这你应该比我清楚呀？呵呵，

“球绳模型”中能找到类似的角动量转化吗？
如果存在，只要能说出个大概就行，那我就要重新考虑修正了，