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静悄悄的修改麦克斯韦尔方程,首先看和它相同结构的介质方程可以如何变化?
显然这里有两个方向,一是粘性,一是压缩性. 先来找粘性方程,由粘弹性更一般,所以下面进行一番苦战,建立粘弹性的介质模型,为麦克斯韦尔方程的改朝换代鸣锣开道. 主要精力放在探讨,采用波尔兹曼叠加原理和粘弹模型代替牛顿流体模型後的力和涡的关系 1. 牛顿流体和非牛顿流体的应力应变关系 牛顿流体应力可表达式为: tao =m d r/dt d r/dt=V <17> 其中tao为应力, m为常数，g 为应变,上面的点表示度时间求导数,对时间求导以后就成了应变率。在这个假设中，缺乏我们所需要的应力和应变本身的非线性关系,没有考虑到弹性和松弛的影响.近年来非牛顿流体得到了长足的发展,使得我们可以考虑,如何考虑选用一种简单又不是普遍性的非牛顿流体应力应变关系,并采用波尔兹曼叠加原理来构造应力和应变的关系,波尔兹曼叠加原理用于应力松弛表达可简单表述如下:1)应变是全部应力历史的函数,2)各个应变对应力的贡献是独立的,总应力是各个应变贡献的线性加和.若应变史是随时间连续变化的,则: tao (t)=int(G(t-t~)dr(t~),r(t~)=r(-∞)..r(t)) =int(G(t-t~)·dr(t~)/dt~ t~=-∞..t) 这里 int( f(x),x=x1..x2) 代表 对从到的定积分,这是因为纯文本无法表示定积分而采用的maple上的表示方法.对上式分部积分得 tao (t)=G0 r(t) - int( dr(t~)/dt~·dG(t-t~)/dt~, t~=-∞..t) =G0 r(t) - int( M(t-t~)·r(t~), t~=-∞..t) 式中G(t-t~)为松弛模量,M(t-t~)为记忆函数,它表示了一切线性粘弹性流体的力学性质.如果考虑的是麦克斯韦尔流体这样的非牛顿流体,在简单剪切流中,其微分型本构方程为: tao +l2 d tau / dt=m d r/dt <18> 其中tao为应变张量元素，l2是粘性系数和弹性模量的比.它代表流体内部应变的积累效应.所谓积累效应是指,在流动的每一个微应变距离上产生的微应力贡献都是要经过衰减的,然后叠加上新产生的应力.最后总的效应应当是这些不同位置上产生的应力又经过松驰衰减后的总和.对于稳定流动,从长时间平均的角度上来看,它会又回到牛顿流体的同构关系。解如上的微分方程,引入初始条件 t=-∞, t=0,则可得: tao = int(m/l2 exp(-(t-t~)/l2)·dr(t~)/dt~, t~=-∞..t) <19> 本来动量方程就可以写成可以写成如下形式,该形式和前述的欧拉方程唯一的不同在于多了粘形项: dV/dt+▽(V·V/2)+ wxV = F-1/ρ▽P+ 1/ρ▽{tao} <20> 其中t是个应力张量, 考虑F=▽f1,f1是彻体力的位势,且 F1= wxV上式在不可压情况下可以写成: dV/dt= F1 -▽(-f1+V·V/2+ P /ρ) +1/ρ▽{tao} <21> 对上式取旋度以后仍然有: d w /dt= ▽x F1 <22> 为了求F1的散度方程,可以把动量方程式21改写成下面形式 F1 = dV/dt -▽(-f1+V·V/2+ P /ρ) +1/ρ▽{tao} <23> 于是有 ▽·F1 = -▽(f) +▽·{▽·{tao/ρ}} <24> 其中: f =-f1+V·V/2+ P /ρ 而f1的散度值等于所在点的质量密度,18式的tao也可以写成: tao = mdr/dt - l2 d tao/dt = m[e] - l2 d tao/dt <25> 其中[e] 是应变率张量,用并失:来表示就是: [e] =▽:V 所以有: ▽[e] =▽·▽V ; 以及: ▽{▽[e]} =▽{▽·▽V}=0. 从而 ▽·tao = -▽· l· 2 dtao/dt; 于是24 可以写成: ▽·F1 = -▽(f) -▽·{ l2/ρd tao/ dt } 令 F4 = { l2/ρd tao/dt } <26> 则: ▽·(F1+F4) = -▽(f) <27> F4 表示出了流体中应力加速度产生的附加应力. 再考虑到由于连续方程得还保持原样,所以它的旋度还是为零.方程5仍能够成立,即 ▽·w=0.这样 方程5, 22, 27 就构成了粘弹情况下的三个类似电磁场的方程. ※※※※※※ 换只角度看世界,世界更精彩! 欢迎大家到 http://newphysics.xilubbs.com来做客, 物理科学争鸣是敢于挑战权威的学子的家园 |