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一无粘情况下,不可压流体介质方程和电磁场方程的等价关系:
从电磁场和介质场,电和力,磁和漩涡的相似性现象开始 人们经过苦苦的搜寻和探索,终于发现无粘的介质场和电磁场是完全对等的.其中力所表现的量为拉姆矢量,简单一点说,如果介质只作同轴的转动时,拉姆矢量就是离心力,它等于速度叉乘以角速度. 漩涡的方程就像磁场方程,而拉姆矢量方程就像电场方程. 下面来证明它 欧拉方程的动量方程表达如下: dV/dt= -wxV -▽(P/ρ+ V·V/2) <1> F1称作兰姆矢量,如果流动是沿着同心园的环流,那么兰姆矢量表示的力就是离心力.下面我们就来设法证明兰姆矢量和涡矢量构成四个和电磁场完全对等的方程组.为简单起见,用F1代表兰姆矢量,用f代表压力和速度的势函数,这里 F1和f都是x和t的函数, 其中: F1=wxV, f = P/ρ+ V·V/2 于是有: dV/dt= F1 -▽f <2> 对方程1求旋度,得到涡强的方程: dw/dt=▽x F1 <3> 另一方面,由连续方程得到: ▽x V= 0 <4> 再对连续方程再求旋度,就有: ▽x w= 0 <5> 方程2又可以写成: F1 =- dV/dt -▽f <6> 对上式两边取散度 ▽· F1 =-▽· dV/dt -▽·▽f 进一步可以写成: ▽· F1 = -▽·▽f <7> 如果把 -▽·▽f 这样的量看成类似电荷一样的量的话,从5和7式就得到了兰姆矢量和涡矢量的散度都类似于磁场和电场的散度的等价方程.前面还有从方程3得到了涡的时间变化等于兰姆矢量的环量的类似于电场变化等于磁场环量的类似表达式.这样我们就已经有了电磁场和介质场的三个等价表达式,下面来求最后一个表达式即兰姆矢量对时间的导数的表达式. 左边兰姆矢量F1对时间的导数又可以写成: dF1/dt =d (wxV)/dt=d w/dtxV +wxdV/dt <9> 把式3和式2分别带入上式的右边得: dF1/dt =-d (wxV)/dt=-(▽x F1) x V +wx(- F1-▽f) <10> 从矢量分析可以得到: ▽(V·F1)= (V·▽) F1+( F1·▽) V + V x (▽x F1) + F1 x (▽x V) <11> 但是由于上式左端项散度算符里面是u和兰姆矢量(wx u)的点积,也就是u,w,u的混合积,这个值是零.所以有: -(▽x F1) x V =- (V·▽) F1-( F1·▽) V - F1 x w <12> 把12式带入兰姆矢量对时间导数的方程式10得到 dF1/dt =- (V·▽) F1-( F1·▽) V - F1 x w +wx(- F1-▽f) 带下划线的部分相约去,于是得到: dF1/dt =- (V·▽) F1-( F1·▽) V-wx(▽f) <13> 又由于可以从矢量分析可以得到: ▽x (V x F1) = V (-▽·▽f) - F1 (▽·V) - (F1·▽) V - (V·▽) F1 利用 F1的散度和u的散度的表达式4和7得: ▽x (V x F1) = V (▽·F1) - (F1·▽) V - (V·▽) F1 或者 - (V·▽) F1=▽x (V x F1)+ V (▽·▽f) - (F1·▽) V 而上方程右边的第一项又可以写成: ▽x (V x(wx V))= ▽x (V·Vw- ( V· w) V) = V·V▽xw- ▽(V·V) x w-▽x ( V· w) V 所以兰姆矢量对时间的导数方程13就可以改为: dF1/dt = V·V▽xw-▽x ( V· w) V+ V (▽·▽f)-2( F1·▽) V-wx▽(f + V·V) <14> 定义 j = ▽x (V·w)V-V (▽·▽f) + 2( F1·▽) V+ wx ▽( f+V·V) <15> 这样,上式写成: dF1/dt = V·V▽x w -j <16> 于是欧拉方程就和电磁场方程一一完全对应了起来. 电动力学方程组 连续介质力学方程组 ▽(εE) = ρ ▽F1= -▽·▽f w d(εE)/dt = ▽╳ H + g E d(F1)/dt = V·V▽╳w - j d(m H)/dt = -▽╳ E d w/dt = -▽╳ (F1) ▽(m H) = 0 ▽ w= 0 从上两方程组的数学描述中可以很明显的看出,磁场和涡场等价,而电场和拉姆矢量的力场等价. ※※※※※※ 换只角度看世界,世界更精彩! 欢迎大家到 http://newphysics.xilubbs.com来做客, 物理科学争鸣是敢于挑战权威的学子的家园 |