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假设K'系绕一固定轴相对于K系以角速度ω旋转, K'系中距半径r'处有一观测者乙，r'处线速度为v 。并假设他不知自己所处的K' 系在转,但他感觉到有一沿半径向外的力作用于他,于是,他认为自己处在一力场中。在二维复时空平面上（前面已谈过，请看爱因斯坦狭义相对论再认识之一），我们可推知在半径r'处乙所处微时空K’系由于力场的作用而被扭曲形成"四维圆环",当乙在K'系中沿半径步行,其在不同的半径处形式不同半径的"圆环", 我们将这些圆环放在一半径为 r。(表示乙处于 r。 时相对于K系的线速度均为光速 c ) 的球面上，在这里我们认为K'系在力场中被扭曲成一球面，这个球面的性质符合非欧的黎曼几何。当乙处于半径为 r' 的处的微时空中,二个无限接近空时点四维弧元用球坐标 (r、α、β）可写成
ds^2= — c^2dt'^2+dr'^2+r'^2（dα^2+sin^2 α dβ^2） （注：式中的^2均为幂） ( 2.1 ) 此时, r' 处微时空对于K系的夹角为θ,可得sinθ= v/c , 因此,由《新相对论再理解之一》中的(1.1)式dx'(cosθ+i sinθ) ,和(1.2)式(cosθ+i sinθ)/dt' 。可写出 r' 处微时空在复时空中的空间微元,表示为： dR=dx'(cosθ+i sinθ) 和时间微元： 1/dT=(cosθ+i sinθ)/dt' 将两式分别平方后可得： dR^2=dx'^2(cos2θ+i sin2θ) (1/dT)^2=(cos2θ+i sin2θ)/dt'^2 作为K系中的观测者甲只能测出dR^2和(1/dT)^2在实轴上的投影,取其实部可得甲的测量值: dr^2=dr'^2cos2θ 1/dt^2=cos2θ/dt'^2 (注：dr和dt后面的^2为幂,以下同)由倍角公式变换后，上式可变为： dr'^2=dr^2/cos2θ=dr^2/（1—2sin^2 θ） dt'^2=dt^2cos2θ=dt^2（1—2sin^2 θ) 将上式代入(2.1)式可得出实时空中观测者测出的加速场中四维时空弧元(此时在K'系和K系中测出的半径相等,即 r = r' )。得： ds^2= — c^2dt^2（1—2sin^2 θ) +dr^2/（1—2sin^2 θ）+r^2（dα^2+sin^2 α dβ^2） (2.3) 以下在引用加速场中四维微分弧元公式时,我们认为力场与加速场在微元范围内是等效的。下面我们只以引力场中的四维弧元的解为例进行求解。其它类同。 |