在此文中，《三、相关资料（网上摘录）》是刘武青的原创

祥细见

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刘武青，三个效应的发现者，http://cqfyl.nease.net

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比较两大定律的异同

―――库仑定律与万有引力定律

指导教师：陶建华

课题组成员：田小桥　唐林

在高一和本学期（高二）我们分别学习了万有引力定律和库仑定律，它们在内容与研究方法上的精人相似之处激起了我们的浓厚兴趣，从公式的形式上看它们均为平方反比律，它们是自然界中仅存的四种相互作用中的两种，为什么这两种作用有如此多的相似之处呢？隐藏在其背后的东西也许我们得用一生的时光探究（老师这么说的！），但现在我们能对它做些什么呢？大概也只能比较一下它们的精人的相似之处吧！以下是我们的行动了，让我们走入这“相似的精彩”。

一、        扭秤

研究的工具：两位大学者都想到一块了，用的手段之相似就耐人寻味，都用到了金属丝的扭转形变来度量力，大概是当时人们对金属丝的扭转认识特别清楚的缘故吧，我们弄不明白为什么他们对金属丝的扭转那么的清楚，看来实验能力是一种综合的素质，一点也不为过了。其中的用光的反射现象放大角度的方法也值得我们研究哟，这一研究让我们收获了不少。

我们首先只就实验中用的情境进行了探讨：

平面镜旋转φ角，法线与镜面看作一个整体，它们的转角是一样的均为φ，这样入射角与反射角都变化φ，它们间夹角变化为2φ。也就是说界面扭转φ角时，其光线的扭转角度将为2φ。

其次我们由此联想到了高一物理中显示微小形变的方法，那时我们并没有对它进行深入的认识，个中的精彩我们在这里才有所体会。

水平桌面上竖直两块平面镜，当用力压水平桌面时，桌面发生轻微形变两边桌面均向中间下凹φ角，致使两平面镜均向中央旋转φ角，当然其法线也向下旋转φ角，我们最初从感觉上看出射光线比入射光线间夹角将改变4φ，但指导教师向我们指出结果应该还大一倍为8φ，那一倍的偏差从何而来呢，这很折腾了我们了一下。最终我们在指导教师的帮助下终于揭开了其中的奥秘：原来第一次反射时光线改变2φ，但第二次反射时光线应该是改变6φ，第二次的反射要受第一次结果的影响，它的入射角应该算改变了2φ＋φ，2φ是由第一次反射形成的，φ是由第二块平面镜的旋转造成，反射角与入射角均减少3φ，因此第二次反射现象应该致使光线旋转6φ角度。这一点让我们觉得物理中理性的东西往往隐藏在感性东西的背后，让我们惊叹这一小现象中居然有这么多值得我们探讨的东西――（学无至境，仁者见仁，智者见智）。

二、公式的相似

   万有引力

 库仑力

公式

 F=Gm1m2/r2

 F=Kq1q2/r2

产生原因

 只要有质量就有引力，因此称为万有引力

 存在于电荷间，不光有吸引也可能有排斥

最大的相似

 与距离的关系为平方反比，在我们完成的习题中反复用到这一点。

遵从牛顿第三定律

 吸引力与它们质量积成正比

 库仑力与它们的电量积成正比

从力的独立性来理解均有涉及到“补偿法”的物理问题

 去掉其中一部分质量，另一部分的质量与其所产生的引力不变

 去掉一部分有可能要影响另一部分的电荷分布，在不影响另一部分电荷分布的情境下也不影响另一部分的力。

它们均为保守力做功与路径无关

 有相应的重力势能

 有相应的电势能

对公式的相似性的探讨认识让我们对这些相关的知识有了系统的认识，让我们建立起了知识间的立体联系，让这些知识在我们大脑中真正的生根。

1、这两种力中均涉及到了“两者之积”，我们体会到了很多的习题都是基于这一点来命题的，在题中用到了数学的一个常用的结论：两者和一定时其积当它们相差较小时较大，当两者相等时其积最大。

譬如万有引力中涉及到将“地球质量搬到月球”上的这类问题，库仑斥力中的两形状相同金属带电小球碰后置于原处就是用到了这一点知识。

2、补偿法

圆环上缺一小段，到球面上缺一小圆，然后是球体中挖去一个小球。其基本的均是应用对称性与力的独立性，这两种引力均有精人相似的问题。对这些问题的探讨让我们对力的独立性原理有了更为深入的认识。

3、万有引力的“卫星问题”与库仑引力的“氢原子问题”也有很多的相似

首先均匀分布（质量或电荷）球体或球面它们对外面的作用力相当于一个球心处的点电荷或质点，这个知识我们的数学知识是证明不了的，但老师告诉我们这也是由于平方反比力的缘故，不是平方反比律就没有这样的现象了，这一点还有待我们在今后的学习中探索。探索这一项知识时我们明白了为什么地球中心质点将不受地球的引力，也知道了质点置于地球内部时其所受地球的引力与它到地心的距离成正比。也弄明白了在地球上沿径向开一个贯穿地球的隧道，质点可以在其中做简谐运动。在这两种力的作用下均有匀变速运动，椭圆运动，抛物线运动。

4、库仑力可以被屏蔽，但万有引力不能被屏蔽，个中的道理我们现在仍然是想不通的，只是到这一点好象与电荷有两种而质量没有正负之分有关，在今后的学习中我们用更用心去体会，去探索。

三、相关资料（网上摘录）

通过网上的资料查询让我样进一步了解到了物理学家们的工作，认识了他们所处的环境和思考问题的方式方法，给了我们不少的启示，下是我们所摘录的相关的资料。

牛顿万有引力定律：“万有引力是存在于任何物体之间的一种吸引力。万有引力定律表明，两个质点之间万有引力的大小，与它们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比。”

在定律中“物体”的概念，物体是由原子、分子、质子、中子、电子、夸克等基本粒子构成的，构成物体的基本粒子就有基本粒子的数量及排列方式、位置共同存在的事实。还有绝对化的“任何物体”这几个字，可以认为，任何物体就是基本粒子的任何数量及任何排列方式、位置。在定律中所讲到的“质量”，对于“质量”来说，也有基本粒子的数量及排列方式、位置共同存在的事实。还有与距离的平方成反比。总结：两个质点之间万有引力的大小：与基本粒子的数量及排列方式、位置有联系。而且与距离的平方成反比。

库仑定律：“两个磁极间的引力或斥力的方向在两个磁极的连线上，大小跟它们的磁极强度的乘积成正比，跟它们之间距离的平方成反比。” 在定律中“磁极”的概念，磁极是由原子、分子、质子、中子、电子、夸克等基本粒子构成的，构成磁极的基本粒子就有基本粒子的数量及排列方式、位置共同存在的事实。

在定律中所讲到的“磁极强度”，对“磁极强度”来说，也有基本粒子的的数量及排列方式、位置共同存在的事实。还有与距离的平方成反比。

总结：两个磁极间的引力或斥力的大小：与基本粒子的数量及排列方式、位置有联系。而且与距离的平方成反比。通过以上总结，证明了影响万有引力大小与影响磁力的大小的因素是同样的：与基本粒子的数量及排列方式、位置有联系。而且与距离的平方成反比。由此证明，万有引力与磁力可以转换，物体间是万有引力或是磁力是由基本粒子的排列方式、位置所决定。电埸同样也用以上的理由。关于电与磁的互相转换，网友们是很清楚的，没有必要多讲了。

当然，有的网友不同意用原子、分子的排列来统一牛顿万有引力定律与库仑定律，但是，你无法否认：“两个质点之间万有引力的大小：与基本粒子的数量及排列方式、位置有联系。而且与距离的平方成反比。”，“两个磁极间的引力或斥力的大小：与基本粒子的数量及排列方式、位置有联系。而且与距离的平方成反比。”这样的客观存在的事实。

库仑定律是电磁学的基本定律之一。它的建立既是实验经验的总结，也是理论研究的成果。特别是力学中引力理论的发展，为静电学和静磁学提供了理论武器，使电磁学少走了许多弯路，直接形成了严密的定量规律。从库仑定律的发现可以获得许多启示，对阐明物理学发展中理论和实验的关系，了解物理学的研究方法均会有所裨益。

一、 从万有引力得到的启示

18世纪中叶，牛顿力学已经取得辉煌胜利，人们借助于万有引力的规律，对电力和磁力作了种种猜测。

德国柏林科学院院士爱皮努斯(F.U.T.Aepinus，1724—1802)1759年对电力作了研究。他在书中假设电荷之间的斥力和吸力随带电物体的距离的减少而增大，于是对静电感应现象作出了更完善的解释。不过，他并没有实际测量电荷间的作用力，因而只是一种猜测。

1760年，D．伯努利首先猜测电力会不会也跟万有引力一样，服从平方反比定律。他的想法显然有一定的代表性，因为平方反比定律在牛顿的形而上学自然观中是很自然的观念，如果不是平方反比，牛顿力学的空间概念就要重新修改（注）。

富兰克林的空罐实验（也叫冰桶实验）对电力规律有重要启示。1755年，他在给兰宁(John Lining)的信中，提到过这样的实验：

“我把一只品脱银罐放在电支架（按：即绝缘支架）上，使它带电，用丝线吊着一个直径约为1英寸的木椭球，放进银罐中，直到触及罐的底部，但是，当取出时，却没有发现接触使它带电，象从外部接触的那样。”

注：自然现象中许多过程都服从平方反比关系，例如：光的照度、水向四面八方喷洒、均匀固体中热的传导等无不以平方反比变化，这从几何关系就可以得到证明。因为同一光通量、水量、热量等等，通过同

强度与半径的平方成正比。如果在传播过程中有干扰的媒质，例如有一透镜置于光路中，就会使光的分布发生畴变，这就出现各向异性。所以，平方反比定律假定的基础是空间的均匀性和各向同性。

富兰克林的这封信不久跟其他有关天电和尖端放电等问题的信件，被人们整理公开发表流传甚广，很多人都知道这个空罐实验，不过也和富兰克林一样，不知如何解释这一实验现象。富兰克林有一位英国友人，名叫普利斯特利（Joseph Priest-ley，1733—1804），是化学家，对电学也很有研究。富兰克林写信告诉他这个实验并向他求教。普利斯特利专门重复了这个实验，在1767年的《电学历史和现状及其原始实验》一书中他写道：

“难道我们就不可以从这个实验得出结论：电的吸引与万有引力服从同一定律，即距离的平方，因为很容易证明，假如地球是一个球壳，在壳内的物体受到一边的吸引作用，决不会大于另一边的吸引。”

普利斯特利的这一结论不是凭空想出来的，因为牛顿早在1687年就证明过，如果万有引力服从平方反比定律，则均匀的物质球壳对壳内物体应无作用。他在《自然哲学的数学原理》第一篇第十二章《球体的吸力》一开头提出的命题，内容是：“设对球面上每个点都有相等的向心力，随距离的平方减小，在球面内的粒子将不会被这些力吸引。”

牛顿证明，他写道：

“设HIKL为该球面，P为置于其中的一粒子，经P作两根线HK和IL，截出两段甚小的弧HI、KL；由于三角形HPI与LPK是相似的，所以这一段弧正比于距离HP，LP；球面上任何在HI和KL的粒子，终止于经过P的直线，将随这些距离的平方而定。所以这些粒子对物体P的力彼此相等。因为力的方向指向粒子，并与距离的平方成反比。而这两个比例相等，为1∶1。因此引力相等而作用在相反的方向，互相破坏。根据同样的理由，整个球面的所有吸引力都被对方的吸引力推动。Q.E.D.”

牛顿的论述是众所周知的。显然，读过牛顿著作的人都可能推想到，凡是遵守平方反比定律的物理量都应遵守这一论断。换句话说，凡是表现这种特性的作用力都应服从平方反比定律。这就是普利斯特利从牛顿著作中得到的启示。

不过，普利斯特利的结论并没有得到科学界的普遍重视，因为他并没有特别明确地进行论证，仍然停留在猜测的阶段，一直拖了18年，才由库仑正式提出。

在这中间有两个人曾作过定量的实验研究，并得到明确的结论。可惜，都因没有及时发表而未对科学的发展起到应有的推动作用。

一位是苏格兰的罗比逊（John Robison）。他注意到1759年爱皮努斯那本用拉丁文写的书，对爱皮努斯的猜测很感兴趣，就设计了一个杠杆装置，如图3－2。装置很精巧，利用活动杆所受重力和电力的平衡，从支架的平衡角度求电力与距离的关系。不过，他的装置只适于对同性

得到δ=0.06。这个δ就叫指数偏差。罗比逊认为，指数偏大的原因应归于实验误差，由此得出结论，正如爱皮努斯的推测，电力服从平方反比定律。

另一位是卡文迪什(Henry Cavendish，17310-1810)。他在1773年用两个同心金属壳作实验，如图3-3。外球壳由两个半球装置而成，两半球合起来正好形成内球的同心球。卡文迪什这样描述他的装置：

“我取一个直径为12.1英寸的球，用一根实心的玻璃棒穿过中心当作轴，并覆盖以封蜡。……然后把这个球封在两个中空的半球中间，半

正极接到半球，使半球带电。”

卡文迪什通过一根导线将内外球联在一起，外球壳带电后，取走导线，打开外球壳，用木髓球验电器试验内球是否带电。结果发现木髓球验电器没有指示，证明内球没有带电，电荷完全分布在外球上。

卡文迪什将这个实验重复了多次，确定电力服从平方反比定律，指数偏差不超过0.02。

卡文迪什这个实验的设计相当巧妙。他用的是当年最原始的电测仪器，却获得了相当可靠而且精确的结果。他成功的关键在于掌握了牛顿万有引力定律这一理论武器，通过数学处理，将直接测量变为间接测量，并且用上了示零法精确地判断结果，从而得到了电力的平方反比定律。

卡文迪什为什么要做这个实验呢？话还要从牛顿那里说起。

牛顿在研究万有引力的同时，还对自然界其他的力感兴趣。他把当时已知的三种力——重力、磁力和电力放在一起考虑，认为都是在可感觉的距离内作用的力，他称之为长程力(long-rangeforce)。他企图找到另外两种力的规律，但都未能如愿。磁力实验的结果不够精确。他在《原理》的第三篇中写道：

“重力与磁力的性质不同。……磁力不与所吸引的物质的量成比例。……就其与距离的关系，并不是随距离的平方而是随其三次方减小。这是我用粗略的试验所测的结果。”

至于电力，他也做过实验，但带电的纸片运动太不规则，很难显示电力的性质。

在长程力之外，他认为还有另一种力，叫短程力（short-rangeforce）。他在做光学实验时，就想找到光和物质之间的作用力（短程力）的规律，没有实现。他甚至认为还有一些其他的短程力，相当于诸如聚合、发酵等现象。

二、 卡文迪什和米切尔的工作

牛顿的思想在卡文迪什和另一位英国科学家米切尔的活动中得到了体现。米切尔是天文学家，也对牛顿的力学感兴趣。在1751年发表的短文《论人工磁铁》中，他写道：

“每一磁极吸引或排斥，在每个方向，在相等距离其吸力或斥力都精确相等……按磁极的距离的平方的增加而减少，”他还说：“这一结论是从我自己做的和我看到别人做的一些实验推出来的。……但我不敢确定就是这样，我还没有做足够的实验，还不足以精确地做出定论。”

既然实验的根据不足，为什么还肯定磁力是按距离的平方成反比地减少呢？甚至这个距离还明确地规定是磁极的距离，可是磁极的位置又是如何确定的呢？显然，是因为米切尔先已有了平方反比的模式。

在米切尔之前确有许多人步牛顿的后尘研究磁力的规律，例如：哈雷（1687年）、豪克斯比、马森布洛克等人都做过这方面的工作，几乎连绵百余年，但都没有取得判决性的结果。

米切尔推断磁力平方反比定律的结论可以说是牛顿长程力思想的胜利，把引力和磁力归于同一形式，促使人们更积极地去思考电力的规律性。

米切尔和卡文迪什都是英国剑桥大学的成员，在他们中间有深厚的友谊和共同的信念。米切尔得知库仑发明扭秤后，曾建议卡文迪什用类似的方法测试万有引力。这项工作使卡文迪什后来成了第一位直接测定引力常数的实验者。正是由于米切尔的鼓励，卡文迪什做了同心球的实验。

但是卡文迪什的同心球实验结果和他自己的许多看法，却没有公开发表。直到19世纪中叶，开尔文（即W.汤姆生）发现卡文迪什的手稿中有圆盘和同半径的圆球所带电荷的正确比值，才注意到这些手稿的价值，经他催促，才于1879年由麦克斯韦整理发表。卡文迪什的许多重要发现竟埋藏了一百年之久。对此，麦克斯韦写道：

“这些关于数学和电学实验的手稿近20捆，”其中“物体上电荷（分布）的实验，卡文迪什早就写好了详细的叙述，并且费了很大气力书写得十分工整（就象要拿出去发表的样子），而且所有这些工作在1774年以前就已完成，但卡文迪什（并不急于发表）仍是兢兢业业地继续做电学实验，直到1810年去世时，手稿仍在他自己身边。”

卡文迪什出生于贵族家庭，家产厚禄，他都没有兴趣，一心倾注在科学研究之中。早年攻化学和热学，发现氢氧化合成水。他后来做的电学实验有：电阻测量，比欧姆早几十年得到欧姆定律；研究电容的性质和介质的介电常数，引出了电位的概念；他发现金属的温度越高，导电能力越弱，等等。他的同心球实验比库仑用扭秤测电力的实验早11年，而且结果比库仑精确。对于卡文迪什把全付心身倾注在科学研究工作上的这种精神，麦克斯韦写道：

“卡文迪什对研究的关心远甚于对发表著作的关心。他宁愿挑起最繁重的研究工作，克服那些除他自己没有别人会重视甚至也没有别人知道的那些困难。我们毋庸怀疑，他所期望的结果一旦获得成功，他会得到多么大的满足，但他并不因此而急于把自己的发现告诉别人，不象一般搞科研的人那样，总是要保证自己的成果得到发表。卡文迪什把自己的研究成果捂得如此严实，以致于电学的历史失去了本来面目。”

卡文迪什性情孤僻，很少与人交往，唯独与米切尔来往密切，他们共同讨论，互相勉励。米切尔当过卡文迪什的老师，为了“称衡”星体的重量，曾从事大量天文观测。他们的共同理想是要把牛顿的引力思想从天体扩展到地球，进而扩展到磁力和电力。米切尔发现了磁力的平方反比定律，但他没能完成测量电力和地球密度的目标。卡文迪什正是为了实现米切尔和他自己的愿望而从事研究。可以说，米切尔和卡文迪什是在牛顿的自然哲学的鼓舞下坚持工作的。他们证实了磁力和电力这些长程力跟引力具有同一类型的规律后，并不认为达到了最终目标，还力图探求牛顿提出的短程力。卡文迪什在他未发表的手稿中多处涉及动力学、热学和气体动力学，都是围绕着这个中心，只是没有明确地表达出来。米切尔则把自己对短程力的普遍想法向普利斯特利透露过，在普利斯特利的著作——1772年发表的《光学史》一书中记述了米切尔的思想。

三、 库仑的扭秤实验

关于库仑发明扭秤，并用扭秤精确地测量电力和磁力的实验，已经在别的地方有详尽描述，这里只想探讨一个问题，就是库仑是不是事先就有平方反比的思想框架？

从史料中可以看到如下几点：

1．库仑虽然直接测量了电荷之间作用力与距离的关系，但精确度毕竟有限，如果用平方反比关系表示，其指数偏差可达0.04。如果库仑不

2．库仑并没有改变电量进行测量，而是说“假说的前一部分无需证明”，显然他是在模仿万有引力定律，认为电力分别与相互作用的两个电荷量成正比，就如同万有引力分别与相互作用的两个物体的质量成正比一样。

3．库仑在另一篇论文中还提到磁力的平方反比关系，写道：

“看来，磁流体即使不在本质上，至少也在性质上与电流体相似。基于这种相似性，可以假定这两种流体遵从若干相同的定律。”

库仑的实验当然是认真的，他如实地发表了实验结果。不过，他在行文中用了如下词汇：“非常接近16∶4∶1，可见，磁力和距离的平方成反比”。

显然，库仑在研究电力和磁力时也是把它们跟万有引力类比，事先建立了平方反比的概念。

四、 类比方法的意义

从库仑定律的发现经过我们可以看到类比在科学研究中所起的作用。如果不是先有万有引力定律的发现，单靠实验具体数据的积累，不知要到何年才能得到严格的库仑定律的表达式。实际上，整个静电学的发展，都是在借鉴和利用引力理论的已有成果的基础上取得的。

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