1 经典问题。没听说有相对论陀螺理论。

2 分析力学可以是经典的也可以是相对论的，分析是方法，要看用了哪种理论。

3 当然会，除非是永动机。

4 陀螺应该以未断的线为轴，在陀螺轴所在的水平面上旋转。

1 陀螺问题，是经典力学问题，还是分析力学问题？

【【【【当然是经典力学问题。

经典力学与分析力学不具有同等地位关系。分析力学是哈密顿力学，拉格朗日力学的通称，它们也研究牛顿力学，它们是用解析方法研究力学问题。而牛顿力学有时用了矢量图。因为分析力学引入了广义坐标，广义动量概念，所以场论也能写成分析力学数学形式。】】】

谢谢指点。您这样概括以后，我进一步理顺了自己的思路。

可否这样认为：经典力学有两种含义，一种含义指运动学及动力学“牛氏基本关系”，一种含义指矢量图的“数学研究方法”。而分析力学指用解析方法研究力学问题的“数学研究方法”。“基本关系”与“数学研究方法”不具有同等地位关系。分析力学可使用于牛顿力学动力关系，也适用于广义相对论动力关系。

2 假如是分析力学问题，分析力学与经典力学是否能完全互通？即：使用经典力学是否能推导出分析力学的所有定理？

具体说来，使用矢量图研究的方法，是否能定性推导出分析力学所推导出的所有结论？

3 理想状态平自转陀螺（垂直倾角足够小，进动章动足够小，阻力足够小，无扰动），最后是否会倒？理论原因？

【【【只要有重力矩存在，没有微挠，也要倒。】】】

很高兴。我比较习惯这种对具体问题，做明确判断的讨论。

4 轴两端由线悬挂的高速横自转陀螺，剪断一线，（久广陀螺模型）会呈现出什么运动状态？理论原因？

这是个难题。您现在忙，我等您。还是您认为这道题简单得不言自明？可是我现在就是不明。

这个事关宇宙基本法则的问题不能引起各位兴趣？

在不知道旋转运动与平动运动的关系，不能由平动推出旋转运动，不能确定宇宙由何种基本法则主宰的前提下，奢谈"运动"是不明智的

因此，才出现了"托马思进动"问题，才出现了久拖不决的"旋转坐标变换"问题

不弄清楚本贴的根本"旋转问题"，其他所有讨论都是做无用功

比如
3 理想状态平自转陀螺（垂直倾角足够小，进动章动足够小，阻力足够小，无扰动），最后是否会倒？理论原因？

【【【只要有重力矩存在，没有微挠，也要倒。】】】

沈博士这个结论是错误的，理想惯性保守系统，存在"强迫规则进动"，理论上，这个运动无始无终

不下降

见10楼“强迫规则进动”，所谓“规则进动”即倾角保持不变

经典力学认为，在保守系统下，一旦形成规则进动，该运动即永恒不变

事实上也应该如此

把陀螺放到合外力为零的环境中自传，那么陀螺的运动状态在表象上什么情况？

（高速自转的）陀螺自转轴永远锁定一个方向 
假设在陀螺的自传轴垂直角度施加力，陀螺的运动轨迹会是什么样的？

如果该力不作用于陀螺质心，那么陀螺将产生整体平动并出现与力线垂直的进动（陀螺高速自转且力不超过一定限度）
假设在垂直于陀螺自传的方向施加力陀螺的运动轨迹会是什么样的？

不理解，陀螺的自转方向不是陀螺的自转轴方向吗？ 
在陀螺保持自转的同时，上述两个力会不会彼此转化？为什么？如果不能，陀螺保持固定角自旋。

与上面问题相关，不知如何回答 
从试验来看，是不能转换，但为什么不能转换，需要讨论力的理性思考

完全赞同，目前陀螺的力学原理的确是不明不白，理应进行深层次的剖析，比如立足于悬空的苹果要掉下来，如何理解一端悬空的陀螺不掉下来