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洛仑兹变换与伽利略变换的公理化平行推导：（考虑二维时空） 设有惯性系R(x,t)和R'(x',t')，R'沿R的x轴正向以速度v匀速运动。 由惯性时空均匀性公设（时间、空间平移不变性），R与R'间的坐标变换为线性变换（采用矩阵表达，黑体字母表示矢量或矩阵）： P'=PT+P0 其中T为二阶方阵，有四个分量((p,q),(r,s))。 假定R与R'原点重合，则P0=0。变换简化为 P'=PT （爱因斯坦：同意！牛顿：同意！） 现在就要由已知变换来求解变换阵T。这些已知变换为（注意它们是不同的物理过程，不能简单联立）： (1) x=vt变换成x'=0，即(0,t')=(vt,t)T。对应物理过程：R'系观察者自身的存在。依据：速度定义。 （爱因斯坦：同意！牛顿：同意！） (2) x=0变换成x'=-vt'，即(-vt',t')=(0,t)T。对应物理过程：R系观察者自身的存在。依据：惯性系平权原理。 （爱因斯坦：同意！牛顿：同意！） (3A) x=ct变换成x'=ct'，即(ct',t')=(ct,t)T。对应物理过程：通过原点向x轴正向发出的光脉冲。依据：光速不变原理。 （爱因斯坦：同意！牛顿：不同意！） (3N) x=ct变换成x'=(c-v)t'，即((c-v)t',t')=(ct,t)T。对应物理过程：通过原点向x轴正向发出的光脉冲，在R系中速度为c。依据：速度线性叠加原理。 （爱因斯坦：不同意！牛顿：同意！） (4) T(v)T(-v)=I。R中的物理过程描述，变换为R'中的描述，再从R'中变换回R中，应当保持不变。 （爱因斯坦：同意！牛顿：同意！） (5) T(v=0)=I。当R'系速度为零时，R'与R实际上为同一系，两系间物理描述的变换应当是单位变换。 （爱因斯坦：同意！牛顿：同意！） 方程(1)展开为：0=pvt+rt，t'=qvt+st。决定的T分量关系为：pv+r=0 (i) 方程(2)展开为：-vt'=rt，t'=st。决定的T分量关系为：sv+r=0 (ii) 方程(3A)展开为：ct'=pct+rt，t'=qct+st。决定的T分量关系为：pc+r=(qc+s)c (iiiA) 方程(3N)展开为：(c-v)t'=pct+rt，t'=qct+st。决定的T分量关系为：pc+r=(qc+s)(c-v) (iiiN) 爱因斯坦：由(i)(ii)(iiiA)可解得q=-pv/c2,r=-pv,s=p。即T=((p,-pv/c2),(-pv,p))。由T(v)T(-v)=I，可解得p=±1/sqrt(1-v2/c2)；再由T(v=0)=I，可知p取正号。得到了洛仑兹变换！加进y'=y,z'=z就得到四维时空的对应变换。 牛顿：由(i)(ii)(iiiN)可解得q=0,r=-pv,s=p。即T=((p,0),(-pv,p))。由T(v)T(-v)=I，可解得p=±1；再由T(v=0)=I，可知p取正号。得到了伽利略变换！加进y'=y,z'=z就得到四维时空的对应变换。 爱因斯坦：我们的分歧其实只在第（3）点上。怎么能假定速度可以线性叠加呢？这样速度就没有上限。无穷大的速度是不可思议的。如果速度有上限，那么根据惯性系平权原理，这个上限在所有惯性系中都应一样。而且，所有基本作用力的传递速度都应当一样，否则不同惯性系的观察者就会面对不同的世界，因为世界的面目就是由基本作用力决定的。而且，这个不变的速度上限已经由电磁学实验证明了，这才是物理理论必须遵守的实证原则。 牛顿：速度线性叠加多么符合直觉呀！相互作用是瞬时的，这个世界多么简单呀！物理世界的数学是如此简单，中学生也能掌握，多好呀！ 后记：本帖主要目的是展示伽利略变换的公理基础，它与洛仑兹变换一样，也是需要逻辑推导才能得到的，有助于反相者加深对两种变换的理解。两者的逻辑基础只在一点上有区别，但都是数学上自洽的。 |