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在前面的帖子中，我和小猪讨论过“地日双引力背景中双钟问题”。小猪让我们意识到，此题不能执着于“原点”与“正方向”。只算世界线反倒能解。我很感谢他。这引发了一个新问题： 在没有具体定量推导之前我们能不能确定“卫星”的钟比“地表钟”慢？卫星固有加速度大于地表，但地表的固有加速度是持续的。从“世界线”上看，卫星“世界线”在“飞出阶段”与“回收阶段”曲率变化明显。地表“世界线”曲率变化，在这两个阶段没卫星“世界线”变化明显，但地表“世界线”曲率变化是持续的。没有具体定量，能不能确定谁的“世界线”短。 如果不能，就导致一个结论：目前对“双生子问题”的定论是错的。“双生子问题”的答案应该是“不能确定”。 “双生子问题定论”是目前相对论教学与研究中重要定论。如果推翻这一定论，会产生一系列连锁反应。对此我们还是谨慎些好。既然我们已经谈到了这里，我也没必要隐瞒。请各位朋友慎重回答这个问题。以便有助与搞清“双生子问题定论”。 |
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动钟变慢与动钟变快的情形 在前面的帖子中，我和小猪讨论过“地日双引力背景中双钟问题”。小猪让我们意识到，此题不能执着于“原点”与“正方向”。只算世界线反倒能解。我很感谢他。这引发了一个新问题： 在没有具体定量推导之前我们能不能确定“卫星”的钟比“地表钟”慢？卫星固有加速度大于地表，但地表的固有加速度是持续的。从“世界线”上看，卫星“世界线”在“飞出阶段”与“回收阶段”曲率变化明显。地表“世界线”曲率变化，在这两个阶段没卫星“世界线”变化明显，但地表“世界线”曲率变化是持续的。没有具体定量，能不能确定谁的“世界线”短。 [[小猪：这个新的表述反而不清楚。是不是这样理解的：卫星停在原地不动（当然要启动火箭发动机以平衡太阳引力），地面钟随地球绕日公转，一年后两钟相遇？我原来的简化是将地球拿掉，只剩下一个绕太阳公转的钟，避免地球引力场把问题复杂化。这样公转钟在太阳引力场中自由下落做圆周运动，固有加速度为零，即在时空中做短程线运动；静止钟在太阳引力场中的固有加速度反而不为零，做非短程线运动。因此公转钟走得快，经历了更多原时。这是简单地根据时空中的测地线性质做出的推论，但在大尺度弯曲时空中，短程线是极大值线而不一定是最大值线，所以要作定量计算才能放心，当时我是强调了这一点的。 现在就来做定量计算，仍然忽略地球。 球对称引力场的度规是史瓦西度规（令c=1）： ds2=(1-2M/r)dt2-1/(1-2M/r)dr2-r2(dθ2+sin2θdφ2) 只在公转轨道平面上考虑问题，则纬角φ恒为零，度规简化成 ds2=(1-2M/r)dt2-1/(1-2M/r)dr2-r2dθ2 根据上述度规用变分法可求出正圆测地线运动满足ω2R3=M或4π2R3/T2=M，与牛顿理论的结果在形式上一致。 留在原地的时钟经历的原时 τ0=sqrt(1-2M/R)T 公转钟经历的原时 τ1=sqrt(1-3M/R)T 由此可以看出，如果静止钟与公转钟到太阳距离相同，则还是“动钟变慢”。前面的简单考虑在弯曲时空中确实出了差错。 现在来考虑不同轨道半径的问题。在地球上来考虑，假定一个钟停在地面，地球半径为R0；而动钟在半径R处绕地球圆周运动。忽略地球自转，则有 τ1/τ0=sqrt[(1-3M/R)/(1-2M/R0)] 如果(1-3M/R)/(1-2M/R0)>1，即R>1.5R0，则“动钟变快”。]] 如果不能，就导致一个结论：目前对“双生子问题”的定论是错的。“双生子问题”的答案应该是“不能确定”。 “双生子问题定论”是目前相对论教学与研究中重要定论。如果推翻这一定论，会产生一系列连锁反应。对此我们还是谨慎些好。既然我们已经谈到了这里，我也没必要隐瞒。请各位朋友慎重回答这个问题。以便有助与搞清“双生子问题定论”。 [[双生子问题标准版不涉及引力场，只是两个太空飞船，一个留在原处（始终没有启动火箭发动机），另一个启动了火箭发动机做星际旅行。这时结论是明确的，即星际旅行的那位时间变慢。 如果静止飞船是留在地球上，到底谁的时间过得快确实与地球的质量、半径、星际旅行的速度、到达的位置等因素有关了。但这不是双生子徉谬的本质。]] |
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关键就是“地球自转” 现在来考虑不同轨道半径的问题。在地球上来考虑，假定一个钟停在地面，地球半径为R0；而动钟在半径R处绕地球圆周运动。忽略地球自转，则有 τ1/τ0=sqrt[(1-3M/R)/(1-2M/R0)] 如果(1-3M/R)/(1-2M/R0)>1，即R>1.5R0，则“动钟变快”。]] 问题就是想搞清“自转钟”慢还是“飞船钟”慢。 我们先不管原来的模型，就看“引力条件下双生子问题”。同样的钟 同样对准过，地球上飞出一个飞船带一个钟，再飞回来，问飞船钟晚还是地表面钟晚？ 飞船有固有加速度，地表也有固有加速度，我们在地表不是以“自由落体”形式存在的。飞船在起飞阶段和返转阶段曲率变化明显大过地表曲率变化，但地表一直受地表的电磁力作用没被吸到地心，一直有加速度，曲率持续变化，怎么证明前者比后者短？ |
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补充说明 “地球自转”速度未达到逃离地球引力的速度，地表不是广义相对论意义上的“惯性系”。 相对太阳静止的“太阳卫星钟”比“地心钟”慢。这点我已明白。由此可以类推“相对地心静止的火箭钟”比“环地卫星钟”慢。 现在是想知道“地表钟”比“地心钟”慢得多点，还是“飞船钟”比“地心钟”慢多点。既哪个钟更慢。如果飞船达到一定速度就停火，象环地卫星一样运动呢？ |
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有没有朋友知道“卫星是怎么定位的？”这个理论问题涉及此技术 在未具体定量推导之前，能否确定“卫星”的时间快慢？ |
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球对称引力场的度规是史瓦西度规（令c=1，G=1）： ds2=(1-2M/r)dt2-1/(1-2M/r)dr2-r2(dθ2+sin2θdφ2) 考虑地球自转，固定在赤道上的物体世界线为 r=R0 & θ=π/2 & φ=ω0t 由此可得dr=0 & dθ=0 & dφ=ω0dt ds2=(1-2M/R0)dt2-(ω0R0)2dt2 ds/dt=sqrt(1-2M/R0-ω02R02) 前一帖我们已经推得作匀速圆周运动的卫星 ds/dt=sqrt(1-3M/R) 如果sqrt(1-3M/R)>sqrt(1-2M/R0-ω02R02)，即3/R<2/R0+ω02R02/M，则卫星钟比地面钟快，否则卫星钟比地面钟慢。 求地心钟的时间快慢就不能用上述度规了。上述度规只能用于质量集中于一点，或球对称分布但考察区域在分布区之外的情况，更严格说来只能用于质量体的角动量为零的情形。 |