当我们在中学学习平面和立体几何时，涉及的是点，线，面，角，多边形，多面体，圆，球，……没有坐标。这些元素都是画在图上的，我们将图旋转或平移一下根本不改变这些几何元素的关系：距离、夹角、面积、体积……。

当我们学了解析几何后，什么都带上了坐标，于是我们可以抛弃直观形象，纯粹和代数打交道。然而，坐标的建立方法是不唯一的，有平面直角坐标，极坐标，球坐标，柱坐标……完全视方便而定。不管建立什么坐标，几何实在的内在关系是不变的。由于解析几何的威力，我们常不自觉地将坐标当成了几何实在。

现在回到物理实在上。

我们习惯于把物理实在看成空间中的存在和时间中的过程。但相对论却打破了这一习惯图像。

在相对论中，物理实在不是一个在三维空间中的过程，而是四维时空中的存在。事件就是这个四维时空中的点（称之为“世界点”）。一个连续的事件序列构成了四维时空中的一条线段（称之为“世界线”）。

相对论就是在这个物理实在图像下，研究世界点的距离，世界线的长度，曲率，相交，夹角……

给定一个事件集合，以及任意两个事件的时空距离，这个事件集就唯一确定了。物理实在就是一个含有距离关系的点集——“距离空间”，事件的时空距离有些奇特，不重合的两点距离可以为零，这与我们习惯的欧氏空间大异其趣，称之为闵氏空间。我们根据时空距离是否可以代表因果关系而将其分成类时，类空，类光三类。

物理实在是一个庞大的事件集，因此有必要用更加有条理的方式来处理它们。这时就需要对事件集编号——建立坐标。坐标的建立方法是多种多样的，但坐标不能丝毫改变物理实在。建立坐标后，对物理实在的研究就变成解析几何了。同样，由于坐标化的威力，我们也常常将时空坐标当成了物理实在。有些人就放不下坐标的“时空意义”。

在几何学中，我们定义“直线”为连接两点的长度极值线。在欧氏几何中直线是长度极小值线，即通常认为的两点之间直线最短；但在闵氏几何中直线是长度极大值线。

在相对论的时空几何中，一个“观察结果”对应于四维时空的一个三维“切片”。显然“切片”的方法不是唯一的，也就是说，不同的观察者可能看到不同的事件子集。但不同观察者的观察结果还原到四维物理实在时是相同的。这就是物理实在的客观性和唯一性。

狭义相对论中，时空是平直的，可以形象地理解为玻璃板上的几何学；但广义相对论揭示物质的存在会造成时空的弯曲，因此广义相对论是橡皮膜上的几何学。这个类比还是超出了我们的直觉，因为在我们的经验中，不管是玻璃还是橡皮膜，至少在一个微小的局部，几何学是欧氏的；而对时空几何来说，局部的几何是闵氏的，闵氏几何是超直觉的。

更困难的是，这个玻璃板或橡皮膜还不是二维的，而是四维的！您能想象一个四维的物体吗？因此相对论常常是一大堆看不到直观形象的抽象数学计算，这成了公众理解相对论的最大障碍。一般人对于不能在思维中建立形象的东西是很难理解的。

广义相对论在研究时空几何学时，没有什么速度，加速度的概念。为了照顾已经形成这些概念的非相对论学者，所以在时空几何中找到了其对应物：两条世界线的夹角（正切值）对应着固有相对速度，世界线在某点的曲率对应着该点的固有加速度。这些都是时空几何的内在几何性质，不随坐标系的选择而变化。

在勉强回到速度概念时，必须知道，如果世界线不相交，则两条世界线的夹角（对应于相对速度）可能是没有定义的；在平直时空中，还可以通过平移来建立夹角的远程定义，但在弯曲时空中没有自洽的平移，因此在广义相对论中，速度没多大意义。远处物体的速度只能由远处物体附近的观察者来测定，对相隔遥远的观察者来说速度没有物理实在意义。