陈建民先生提出天平平衡问题，对于坚硬天平臂，我用纯相对论手段证明了两端触发信号同时到达支点O的结论，相对论还是自洽的，所以陈先生问题在相对论中不导致矛盾。

黄新卫去年提出杠杆问题，讨论很火热，一直以来未解决。今天我认为我解决了。

黄新卫去年问题如下：

有一根杠杆，沿着x轴水平放置，支点（中点）是O点，杆子上有滑槽，两个一样的小球能在滑槽里沿着杆子同时从O点出发沿着相反方向向两边运动，相对于滑槽的速度大小都是u（但方向相反）。整个装置置于一个竖直向下的均匀引力场中。在静止系（杠杆系）看来，杠杆两边左右对称，杠杆始终平衡。设有一个运动系，沿着x轴水平向左运动，速度为v。

显然，在运动系看来，两个小球速度大小不一样，向右运动的甲小球的速度为（u+v）/(1+uv/cc),

向左运动的乙小球速度大小是（u-v）/(1-uv/cc).

于是黄新卫问：两个小球的速度既然不一样，那么它们的动质量也不一样，于是重力也不一样，那么在运动系看来，杠杆就要不平衡。向右运动的甲小球速度大，于是杠杆就要向右边倾斜。

这就是去年黄新卫的杠杆问题。

本人去年是这样回答的：虽然两个小球的动质量不一样，但是它们受到的合力（引力＋引力磁场力）还是相等的。在运动系看来，运动的重力场会感应出引力磁场，引力磁场会对有速度的粒子有一个引力磁力（类似于电动力学中的Lorentz磁力）的作用。在运动系看来，两个小球的速度分别为（u+v）/(1+uv/cc)与（u-v）/(1-uv/cc)，且方向相反（从而它们的引力磁力也相反）。两个小球的引力有大有小，它们的磁力也有大小，可是它们的合力（引力＋引力磁场力）却是相等的。

下面我来证明以上文字叙述：

在运动系看来，向右边运动的甲小球的速度是（u+v）/(1+uv/cc)，它的动质量为

m1＝m0/sqrt{1－[（u+v）/(1+uv/cc)]^2}. m0为静止质量。

经过一番计算（希望大家帮我复核），得到m1＝m0(1＋uv/cc)/sqrt[(1-uu/cc)(1-vv/cc)]。

同样，向左运动的乙小球的速度是（u－v）/(1－uv/cc)，它的动质量为

m1＝m0/sqrt{1－[（u－v）/(1－uv/cc)]^2}＝m0(1－uv/cc)/sqrt[(1-uu/cc)(1-vv/cc)]。

下面来研究引力磁场。对于特殊形式的引力场（如轴对称均匀引力场），可以证明（已有不少文献证明），广义相对论引力场方程中的“磁性”部分的数学结构与Maxwell电动力学一模一样的（如郎道的书上就有），所以下面我直接用电动力学的电磁感应结论来计算引力磁场。对于一个沿着y方向的引力场g，在运动系看来，它的场强变为g’=kg (郭硕鸿《电动力学》第249页), 这里k为相对论因子，k=1/sqrt(1-vv/cc). 沿着y方向的引力场g在运动系看来，感应出一个沿着z‘方向的引力磁场，其大小B’=－kgv/cc (郭硕鸿《电动力学》第250页).

在运动系看来，向右运动的甲小球的速度为（u+v）/(1+uv/cc), 于是甲小球的引力磁力（引力Lorentz力）为f1=m1*B’×[（u+v）/(1+uv/cc)]=－m1*kg(v/cc) [（u+v）/(1+uv/cc)],

那么甲小球的（引力＋引力磁力）之和为

m1*kg+f1=m1*kg{1－(v/cc) [（u+v）/(1+uv/cc)]}＝m1*kg*(1-vv/cc)/(1+uv/cc).

把上面的m1= m0(1＋uv/cc)/sqrt[(1-uu/cc)(1-vv/cc)]代入上式，得到甲小球的（引力＋引力磁力）之和为m0g/ sqrt(1-uu/cc),其中相对论因子k=1/sqrt(1-vv/cc)已用了进去。

同样，

在运动系看来，向左运动的乙小球速度大小是（u-v）/(1-uv/cc)，于是乙小球的引力磁力为f2=m2*B’{－[（u-v）/(1-uv/cc)]}.注意，这里速度大小（u-v）/(1-uv/cc)前的负号乃是因为（u-v）/(1-uv/cc)的方向与甲小球的速度（u+v）/(1+uv/cc)方向相反所致。

f2=m2*B’{－[（u-v）/(1-uv/cc)]}＝m2*kg(v/cc) [（u－v）/(1－uv/cc)]，那么乙小球的（引力＋引力磁力）之和为

m2*kg+f2=m2*kg{1＋(v/cc) [（u－v）/(1－uv/cc)]}＝m2*kg*(1-vv/cc)/(1－uv/cc).

把上面的m2= m0(1－uv/cc)/sqrt[(1-uu/cc)(1-vv/cc)]代入上式，得到

乙小球的（引力＋引力磁力）之和也为m0g/ sqrt(1-uu/cc),其中相对论因子k=1/sqrt(1-vv/cc)已用了进去。

于是，我们得到一个很有用的结论：虽然在运动系看来，两个小球质量不一样，但是它们所受到的合力（重力＋引力磁力）却是相等的，都是m0g/ sqrt(1-uu/cc)。

所以，这样我就解决了黄新卫去年的原始问题中的原始质疑。

这就是本人去年的工作。

但是，去年有人指出，在运动系看来，在相同时间内两个小球通过的距离（滑槽距离）不同，因此力臂不同，杠杆还是要转动。对于这个问题，本人去年指出，因为力矩传递到支点O不是瞬时过程，是需要时间的。但是由于去年未曾计算，这个问题就不了了之。虽然去年很多人讨论得很火，但是实际上公认为：这个杠杆问题没有完全解决。

现在我认为我已经解决了。我下面要证明：在运动系看来，在相同时间内两个小球通过的距离（滑槽距离）不同，但是它们的力矩信号传递到O点也是不同的，而这两个不同，恰好可以抵消。

下面我们来看左右两段力臂L（已经做了Lorentz收缩）。设声速在杠杆中的速度是w，那么在运动系看来，支点O右边的声速（方向向左）大小为（w-v）/(1－wv/cc); 支点O左边的声速（方向向右）大小为（w＋v）/(1＋wv/cc)。

对于支点O右边的力臂L，设甲小球用了时间t1才到达，即我们有

{[（u+v）/(1+uv/cc)]－v}t1=L,

可以变形为[u(1-vv/cc)/(1+uv/cc)]t1=L, 解出

t1=L(1+uv/cc)/ [u(1-vv/cc)].

假设这一力矩信号需要花费时间T1到达支点O，则我们有

{[（w-v）/(1-wv/cc)]+v}T1=L,

变形为[w(1-vv/cc)/(1-wv/cc)]T1=L,得到

T1=L(1-wv/cc)/[w(1-vv/cc)].

于是在力臂L上的力矩需要时间t1+T1（自小球从支点O刚出发计时）才能到达O点。

t1+T1＝L(1+uv/cc)/ [u(1-vv/cc)]＋L(1-wv/cc)/[w(1-vv/cc)]

＝[L/(1-vv/cc)](1/u+v/cc+1/w-v/cc)= [L/(1-vv/cc)] (1/u+1/w).

同理，

对于支点O左边的力臂L，设乙小球用了时间t2才到达，即我们有

{[（u－v）/(1－uv/cc)]＋v}t2=L,

可以变形为[u(1-vv/cc)/(1－uv/cc)]t2=L, 解出

t2=L(1－uv/cc)/ [u(1-vv/cc)].

假设这一力矩信号需要花费时间T2到达支点O，则我们有

{[（w＋v）/(1＋wv/cc)]－v}T2=L,

变形为[w(1-vv/cc)/(1＋wv/cc)]T2=L,得到

T2=L(1＋wv/cc)/[w(1-vv/cc)].

于是在力臂L上的力矩需要在时间t2+T2（自小球从支点O刚出发计时）才能到达O点。

T2+T2＝L(1－uv/cc)/ [u(1-vv/cc)]＋L(1＋wv/cc)/[w(1-vv/cc)]

＝[L/(1-vv/cc)](1/u－v/cc+1/w＋v/cc)= [L/(1-vv/cc)] (1/u+1/w).

下面要问：

t1+T1与t2+T2相等吗？从上面看出，它们相等，都是[L/(1-vv/cc)] (1/u+1/w).

这说明了什么？说明了：在运动系看来，左右两边的相同力臂L上的相同力矩（m0g/ sqrt(1-uu/cc)×L，因为上面我已经证明两个小球的合力（引力＋引力磁力）都是m0g/ sqrt(1-uu/cc)）尽管触发时刻不同，在杠杆中中传递到O点所花的时间也不同，但是它们却是在同一时刻（[L/(1-vv/cc)] (1/u+1/w)，自两个小球离开O点开始计时）传递到支点O的！！！！！于是，杠杆仍旧平衡。荡气回肠！！！

这样，黄新卫去年杠杆问题获得完全解决！！

欢迎大家复核我的运算。

沈建其

2003/9/27