关于小猪如何逃生的问题我终于破解啦！

这回小猪可把我害苦啦！一开始我对这道题不屑于一算，可后来竟费了我将近一星期的业余时间，且走了好大的一个弯路，而结果却是如此出人意外！

按照人们通常的思维方法是：小鹿先沿半径为 r = Ru/v 的圆周在湖中转圈，待与虎的圆心角拉大到π时，小鹿再沿半径方向往岸上游。只要

t = (R - r)/u < πR/v  小鹿就能逃生。

因为   r = Ru/v

所以必须     u/v > 1/(π+1)

可换个角度想：小鹿干嘛非要沿半径方向往岸上游呢？它为何不沿切线方向直接往岸上游？且这样做小鹿的路程并未增加多少，但虎的路程却大大增加，岂不快哉？设由此增加的圆心角为Δ，则 cosΔ= r/R

因为必须 t = r tgΔ/u < R(π+Δ)/v

其中   r = Ru/v

所以得  tgΔ<π+Δ

由此式可解得  Δ< 1.3518168 rad

r/R = u/v = cosΔ> 0.21723363

此为小鹿逃生的最小速度比！比1/(π+1) 还要小。

怎么样？小猪同志，我说得对不对？

老马能建立自己的完整的时空理论模型，数学功底确实是不错的：）

还有第三问，比第二问更困难，第三问需要连带解决第一问双方最优策略的问题。

同时，还需要证明第二问的解确实是最优结果。

我现在外地出差。抽空在一个小网吧上网。不便于写出长篇证明。回家后我再公布全部结果和证明。

再给大家一些时间解决全部三个问题。

先证明：

    因为时差 Δt = SQRT(RR + rr – 2Rr cosΔ)/u –(π+Δ)R/v

Δt当然是越大越好，所以对它求导并令导数等于0 得

r sinΔ/(u SQRT(RR + rr – 2Rr cosΔ) = 1/v

再将  r = Ru/v 代入得

cosΔ= r/R

Δ正是小鹿沿切线方向游出去所增加的圆心角。

问题是：小鹿干嘛非要傻乎乎的转圆圈呢？它为什么不以圆心为焦点转最长最扁的椭圆呢？这样当小鹿转到最远点且恰好与老虎相差π角时即可沿最佳方向游上岸来；且这样还可将速度比进一步降低。

设 最扁最长的椭圆长轴为r，这样椭圆周长则为 2r .

因为  2r/u = 2πR/v

所以  r =πRu/v

我们要求时差

Δt = SQRT(RR + rr – 2Rr cosΔ)/u –(π+Δ)R/v   （1）

为最大。因此对它求导并令导数等于0 且再将  r =πRu/v 代入得

cosΔ= r/(ππR) + SQRT[(1-1/ππ)(1-（r/πR）^2 )]   (2)

当令（1）式等于0 同时也将r =πRu/v 代入可得

r/R = 1/[cosΔ+ SQRT( cosΔcosΔ- 1+ (1+Δ/π)^2 )]     (3)

解（2）（3）联立方程即可得小鹿逃生的最小速度比和最佳逃跑方向。因为解得   r/R = 0.493572

增加的圆心角 Δ= 0.166184 rad = 9.52164°

cosΔ= 0.986223

所以得速度比 u/v = r/πR = 0.1571

最佳逃跑角度为

tgα= sinΔ/(cosΔ- r/R) = 0.335778

       α= 18.56044°

当年毛泽东指挥的四渡赤水不就采用了这一战术么？在蒋介石的重兵包围之下，红军左回右转、方向不定，最后突然来了个挥师北上，从而把蒋介石远远地抛在了后边……

我楼上帖子说马先生虽然得到了正确的临界K值，但不一定作出了证明。看来一点没说错。这一帖就充分显示了马先生没有作出证明，故没有思考透，故进一步的思考反而犯错误了。

很简单地可以证明，小鹿在r=KR（以下简称K圆）之外的区域时，无论朝何向游，角速度都是小于狼的。
因此，如果小鹿一开始处在最不利位置：与狼无限接近，角距离为零，那么，小鹿在K圆之外由于角速度小于狼，故无法拉开与狼的角距离，而角距离始终为零是无法逃脱的。要拉开角距离，小鹿必须回到K圆内。狼在小鹿回到K圆内后可以站着不动，在小鹿重新到达K圆时从角距离较小的方向一直追击。因此小鹿从K圆逃向岸边最有利的出发位置也就是K圆上距狼的最远点（角距离为π）而已。马先生关于K圆切线为最佳出逃方向的证明是正确的。从这里出发能逃脱的K值满足：

tanθ=π+θ
Kc=cosθ
K>Kc=0.21723363……

也就是马先生原来的解。但还需要证明在K>Kc时，即使狼改进策略（如醉放先生的挑战），小鹿仍可安全逃脱。这个证明需要一个思维飞跃，是解决另外两问的关键点之一，因此暂时卖个关子保持悬念：） 此外，马先生新法的思路是想继续加大狼追赶的角距离，但如果从K圆上外逃的角度（与径向的夹角）大于90度，则又回到了K圆内，狼可以站着不动了，不必继续追赶，而等小鹿再次到达K圆时从角距离小的一方截击。

事实上，小鹿和虎是在同向转圈的过程中，当角差达到π的瞬间小鹿沿着切线离开圆周的。当虎发现小鹿的意图时，它同时还会发现自己与小鹿的角差已经小于π了，并将继续减小，所以它是不会掉头截击的。即

π- vt/R + arctg(ut/r) =π- vt/R + arctg(vt/R) < π  总是成立的。

即使虎掉头截击，小鹿也不用害怕，可立即改走另一条切线，这样还会使它与虎的角差比前边更大。

至于小鹿转椭圆的策略也有它的高明之处，即：捉摸不定、出乎预料！难道连伟大领袖毛主席他老人家都不如你吗？四渡赤水是多么成功的战例啊！

小鹿要在K圆外P点角差达到π，只能是在到达P点之前角差大于π，因为在K圆外小鹿的角速度小于狼的角速度。但这时狼可以掉头截击，因此在到达P点前角差不可能大于π。

故小鹿不可能既到达P点而又获得角差π。

如本人前帖所述，狼总可以采取当小鹿在K圆内时不动，当小鹿到达K圆时从角差小的一方追击的策略，就足以保证小鹿不可能获得比K圆远点更好的出逃起点。

首先，马先生证明从K圆上出逃的最佳路线是K圆切线，这没有问题。

但更严密的结果需要证明从K圆外任一点为起点出逃的最佳路线仍是K圆切线。

其次，马先生证明切线出逃还差一点点严密性，也就是还没有彻底否定醉放先生狼的反向截击策略。马先生的论证是，当小鹿切线出逃时，狼发现小鹿的意图时角差已经小于π了，故只能原向追击。

但是，狼是可以预见到小鹿会切线出逃的，因此在角差达到π时就立即掉头；马先生可以争辩道，小鹿也可以预见到狼的预见，从而在角差达到π也掉头；但狼也可以预见到小鹿的预见……没完没了。正如诸葛亮智算华容，多算一轮少算一轮都不行，也就是说这个策略不是稳定解。

稳定解是，小鹿在K圆远点（角差为π）时沿径向外逃，狼必须任选一个方向追击，否则会眼睁睁看着小鹿上岸。

小鹿在狼向一个方向移动距离ε后，改沿切线出逃（这就是前面要求证明从K圆外任一点最佳出逃路线都是K圆切线的用意）。这时角差小于π，狼没有理由掉头。但由于K>Kc（临界K），也就是说如果小鹿从K圆上切向出逃，狼从背后追击时小鹿是能够逃脱的，即小鹿上岸时与狼距离δ。故小鹿只需要保证ε<δ就仍能逃脱（证略）。这时如果狼掉头截击，小鹿用不着马上掉头，也就不会形成上述的不稳定的策略“振荡”。小鹿这时的策略是，在狼掉头时，小鹿假定有一头虚拟的狼并未掉头，而是原向追击，如果小鹿也原向前进，则这头虚拟的狼在小鹿上岸时是追不上小鹿的。由于虚拟狼追赶的角距离小于π，真实的狼截击的角距离大于π，而虚狼的角距离减小得慢，真实狼的角距离减小得快，故在某一时刻角距离相等，也就是“两狼”关于小鹿与圆心的连线对称，这时小鹿就折向对称方向前进，这样就让真狼与虚狼的位置掉了个，真狼如果原向追击是抓不到小鹿的。如果真狼再次掉头，则小鹿可以再次生成一头虚狼，如法泡制，真狼仍旧抓不到小鹿。在纸上画一下就知道，由于小鹿每次折向都是折向与半径对称的方向，故小鹿上岸时走过的折线长度与不变向时是一样长的。

进一步可以证明，折向之后小鹿可以不按切线方向而按更快上岸的方向逃脱，故狼的掉头策略只会让小鹿更有利。
因此，狼只能采取沿一个方向一直追击的策略。由于δ，ε可以任意小，极限就是从K圆远点直接沿切线出逃，在这种情况下可解得临界K值（Kc）。

从K圆上出逃的策略到此就算讨论彻底了。接下来是在K圆内小鹿如何行动，以及从任意初始位置到达K圆远点的最佳方式。并求出K>Kc时，从最不利的起始位置出逃所花的时间。
仍然留给大家思考。提示一下，“虚狼”在后面的思考中是一个很重要的方法，尤其是解决第一问双方最佳策略。