一篇精彩的帖子（CCXDL不得不看）

我昨天说：关系 （x'-ct'）=λ（x-ct）对于普通粒子是不成立的，它只对光子成立。
我的以上观点是错误的，因此我现在纠正。我发现：在相对论中，（x'-ct'）=λ（x-ct）的确是成立的（对于任何普通粒子都成立），我求出λ的值为：
λ＝sqrt[(c+v)/(c－v)]。

CCXDL说“爱氏先应该证明（x'-ct'）=λ（x-ct）才是正确的思路”，那么我现在就帮爱因斯坦提供一个证明给CCXDL看看：
只要承认时空变换是一个线性变换，那么从纯线性代数角度讲，必然存在参数a,b,a',b'使得以下线性式子恒成立：
ax+bt=a'x'+b't'。
为了说明这个问题，我举一个简单例子：
(cosθ, sinθ)可以看作是某一个坐标系的点坐标，将坐标系转动一个角度－g，得到新坐标系，那么在新坐标系中，该点的坐标是
(cos（θ＋g), sin(θ+g)).
那么必然存在参数a,b,a',b'使得以下线性式子对于任何θ恒成立：

acosθ+bsinθ=a'cos（θ＋g)+b'sin(θ+g).

这很容易证明：
将a'cos（θ＋g)+b'sin(θ+g)展开为：

a'[cosθcosg-sinθsing]+b'[sinθcosg+cosθsing]
=[a'cosg+b'sing]cosθ+[b'cosg-a'sing]sinθ
与acosθ+bsinθ=a'cos（θ＋g)+b'sin(θ+g)比较，
如果：a=a'cosg+b'sing,  b=b'cosg-a'sing,
则从上式解出a',b'（用a,b表示）,于是acosθ+bsinθ=a'cos（θ＋g)+b'sin(θ+g)对于任何θ恒成立。

所以，将以上结论照搬过来，从纯线性代数讲，必然存在参数a,b,a',b'使得以下线性式子恒成立：
ax+bt=a'x'+b't'。

将ax+bt=a'x'+b't'变形为：
x'+(b'/a')t'=(a/a')[x+(b/a)t].

注意：x'+(b'/a')t'=(a/a')[x+(b/a)t]是一个纯线性代数结论，与具体物理意义毫无关系，这一式子对于任意普通粒子也应该成立，那么为了
确定其中的参数a,b,a',b'，我们就用光波方程x'=ct', x=ct。
将x'=ct', x=ct代入x'+(b'/a')t'=(a/a')[x+(b/a)t]，得到

[c+(b'/a')]t'=(a/a')[c+(b/a)]t。

由于要求以上这个式子恒成立（对于任何变量t,t'均成立），那么只能让系数为0，即

c+(b'/a')＝0， c+(b/a)=0，
即

(b'/a')＝－c,     (b/a)＝－c.
这样我们部分确定了系数a,b,a',b'，但是还未完全确定（如a/a'还未确定，令a/a'为λ），将(b'/a')＝－c,  (b/a)＝－c代入x'+(b'/a')t'=(a/a')[x+(b/a)t]，

这样我们得到CCXDL经常发牢骚的（x'-ct'）=λ（x-ct）。

以上做法是严格的，是纯线性代数做法（它的唯一假设就是：假设时空变换是一个线性变换，因此必然存在参数a,b,a',b'使得ax+bt=a'x'+b't'恒成立）。

x'=k(x-vt),  x=k(x'+vt')是狭义相对论第一假设（惯性系平权假设）的数学表述，具有物理意义。而ax+bt=a'x'+b't'是纯数学的无物理意义的一个式子，它对任何粒子均成立，光波方程x'=ct', x=ct只是它的一组特解。

CCXDL说“爱氏先应该证明（x'-ct'）=λ（x-ct）才是正确的思路”。以上我就这样替爱因斯坦向CCXDL证明了（x'-ct'）=λ（x-ct）的确正确。

在CCXDL看来，（x'-ct'）=λ（x-ct）属于对光波方程x'=ct', x=ct的“恶意”“粗暴”推广，是对光波方程x'=ct', x=ct的“强奸”，是糊涂的数学游戏。

但我不这样看。我的看法是：从纯线性代数角度看，一定存在系数a,b,a',b'使得ax+bt=a'x'+b't'恒成立，它对任何粒子都成立，而光波方程x'=ct', x=ct只是它其中的一个“特解”，我们
将特解x'=ct', x=ct代入到ax+bt=a'x'+b't'，可以确定这些系数a,b,a',b'，得到（x'-ct'）=λ（x-ct），λ为a/a'。

总之一句话：（x'-ct'）=λ（x-ct）不是对光波方程x'=ct', x=ct的“恶意”“粗暴”推广，而是：光波方程x'=ct', x=ct是（x'-ct'）=λ（x-ct）的一个特解。

我认为：用（x'-ct'）=λ（x-ct）的推导法，是一种高级的推导法。我浏览过爱因斯坦1905年论文，里面好像并没有采用（x'-ct'）=λ（x-ct）的推导法。这种推导法可能是在爱因斯坦后续论文中的推导。
我不知道CCXDL所看的论文中，爱因斯坦对以上关于（x'-ct'）=λ（x-ct）的证明是否有交代（或者在其他论文有没有对以上证明交代）。如果都没有交代，也许爱因斯坦把以上知识看作是常识了，尽管这个常识不是很“常”（所以使得多数人包括CCXDL都迷惑了，以致误解为糊涂数学）。
相反，我觉得爱因斯坦用了（x'-ct'）=λ（x-ct），这是绝顶聪明的表现。

爱因斯坦1903年独立导出了Gibbs热力学体系；1905年对布朗运动的处理也是很精彩的，至今还是被奉为经典，纳入教材内容。爱因斯坦的数学水平是很不错的。

以前，我由于没有真正弄明白CCXDL的书中意思，就0＝0*λ问题，我的答复总是隔靴搔痒，CCXDL不满足于我的答复，也是正常的。
如今，我细细研究了0＝0*λ问题，并且向CCXDL给出了（x'-ct'）=λ（x-ct）的证明。

所以，CCXDL也许应该修改自己书上关于0＝0*λ问题的论述了。

此外，其实即使不提供以上证明，我们直接采用（x'-ct'）=λ（x-ct）也是允许的，这是一种“存在性证明”方法（但是需要在这里先申明：这（x'-ct'）=λ（x-ct）只是一个假设，是对x'=ct', x=ct的暂时推广），然后导出Lorentz变换
x'=k(x-vt),  t'=k(t-vx/cc)，然后再代回到（x'-ct'）=λ（x-ct），得到λ＝sqrt[(c+v)/(c－v)]。于是“存在性证明”完毕。
以上证法虽然是“循环论证”，从完备性角度讲，却是无懈可击的。它先假设（x'-ct'）=λ（x-ct）存在，然后推出x'=k(x-vt),  t'=k(t-vx/cc)，再来反推（x'-ct'）=λ（x-ct）的确存在。只要推导严密，那么整个证明过程是自洽的，完备封闭的。不过，自洽的理论不一定反映自然，这就需要实验来检验了（这是另一回事情了）。

我以上向CCXDL展示了关于（x'-ct'）=λ（x-ct）的两种处理方法：
法一，我替爱因斯坦提供了关于（x'-ct'）=λ（x-ct）的证明（不知道爱因斯坦有没有在论文中交代以上证明，或者爱因斯坦把这类线性变换ax+bt=a'x'+b't'看作常识了。如果ax+bt=a'x'+b't'是常识，而x'=ct', x=ct又是ax+bt=a'x'+b't'的一个解，于是爱因斯坦可以直接写出（x'-ct'）=λ（x-ct），这种一眼看穿的“快速待定系数法”是聪明学生经常做的，可以避免我上面的长篇推导）；

法二，我对（x'-ct'）=λ（x-ct）做了一个“存在性证明”。

沈建其

2003/12/15