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第一篇 三旋数学 第一章 三旋与流形 第1.1节 自旋结构 旋转的地球与其它旋转的姐妹行星一起围绕着旋转的太阳旋转，太阳又随着组成银河的众多旋转的恒星一起转动。宇宙间从已知的最小物质夸克到最大物质星体都在旋转。因此可以说，整个宇宙都处于旋转之中。此外，自然界中还可以普遍观察到流体的涡旋运动，而宇宙中99%以上的物质是流体，可见涡旋运动在整个物质世界中也占着重要的位置。一般的旋转与涡旋不同，但也有共性，把它们结合在一起可以问：为什么万物都要旋转？美国麻省理工大学的物理学家维克多·威斯考伯认为：因为万物旋转的可能比不旋转的可能大，所以万物要旋转。其次，也有人认为，固体可以在一定条件下转化为流体，而流体的涡旋运动是来自物质结构的不均。总之，著名科学家、诺贝尔奖得主杨振宁教授提出过一个猜想：自旋是一种“结构”。为了证明这个猜想，我们在不改动欧几里德对点的定义的情况下，再补充三条公设： （1）圈与点并存且相互依存。 （2）圈比点更基本。 （3）物质存在有向自己内部作运动的空间属性。 为什么要加这三条公设呢？因为人类的科学自从牛顿把天上的力与地上的力统一起来，爱因斯坦把时间与空间统一起来之后，正面临第三次能相与形相的大统一。能相即对物体能量作的相图，形相即对物体形状作的相图。到20世纪末，人类在社会实践和对自然科学的研究中，对各种各样的系统、体系的事物、现象建立了多种的数学方程和解法，真可谓走进了方程村，走进了方程林；其中著名的牛顿力学方程、麦克斯韦电磁场方程、爱因斯坦广义相对论方程、薜定谔量子力学方程、杨振宁规范方程以及大统一方程、超大统一方程、超弦方程和混沌、孤波、分形等一类非线性科学方程，都涉及能相和形相的统一问题。而能相与形相的统一又在于要找到统一的相图。如果单纯从数学上来说，点线面体四级结构都不具有严格的统一能相和形相的分析意义。以点为例：在纸上用笔尖打一点，是一个“点”；在纸上用针尖扎一个孔或放一粒沙，也是一个“点”，然而它们的意义却不同。例如把它们放到量子时空中，扎孔的“点”可以看成是“阴性”，可以类比势阱；放沙的“点”可以看成是“阳性”，可以类比势垒。如果把它们放到具有生成元意义的分形、分维相图中，阴性的阱和阳性的垒则具有不同的维数。所以说，仅从用笔尖打的“点”的中性出发，还不能抓住事物形相与能性的本质。 人类创造了各式各样的方程，也创造了各式各样的解法，如果这中间有些长期应用证明是正确的，也就基本证明它们与实践相通，可以对应实践的事物。这些实践或是局域性的，或是多元性的，它们的全域数学性也都体现了一种时间的多环路或空间的多环路。事物也都是这一种空间多环路和时间多环路对称破缺的表现，例如能够思维的人，正是这种时空多环路破缺的表现。反之，从这种多时空环路出发，也就可以发现统一各式各样方程和解法的端倪。 数学本身是一种物理简并，解题方法、手段、规则也是一种简并。各种各样物体的形状千差万别，而它们的能相的简并模式，都可以归结为类圈体自旋的环面或极限环的分岔、周期、倍周期、准周期、拟周期、拉伸、压缩、折叠等张力所决定。到20世纪，人类探索物质的能相与形相已取得巨大成功，一是相对论发现物体的能量和质量虽然存在差别，但在质能关系上数量是相等的，即E= mc2；二是量子论发现个体的能相和形相的差异观测，愈到微观领域愈是趋同，而且粒子的动量和位置也不能同时兼顾求解，即有海森伯的测不准原理：（Δq）′（Δp）≥h，（ΔE）′（Δt）≥h的限制。 这里涉及到重新认识能相和形相的虚与实、有与无问题。一般来说，实的东西能以形状、图像描述，但虚的东西并不是一定不存在，而是指难以描述它的形状、图像，只能用变换、代换的图相、模型描述。例如人体与思维，在一段时间，某人的形态不会有太大的变化，但思维却是多种多样的，难以用图像描述，但总会是和人类社会实践活动多环路有关，因此总可以归入多环路的某些方面。类此，数学方程也是一种虚与实结合的模型、图相表达；特别是对于一些轨迹、能线、力线信息的演化方程，更能进一步转化为一种多环路的统一图相、模式来加以理解，即类似于思维的多环路时空描述。这不奇怪，因为各式各样能描述事物形态、能态的数学方程，本身就来自人的思维，人类思维的花朵是与多环路相通的；当然也不是所有思维表达的数学模型，都是多环路的，它们都还必须进行细致的数学定位。但多环路确实有很宽的统一性，作为多环路的生成元，从前面举的点的“势阱”、“势垒”的拓扑性出发，圈与点都是必备选择的，就类似虚与实、有与无的二相一样。 然而从牛顿力学、相对论、量子力学建立以来，到今天的非线性科学，虽然发展和完善了很多数学工具，但都没有捅破能与形如何统一这一点。它们虽然也涉及到了圈圈、点点的许多方面，精细到了圈圈、点点的许多方面，但都没有把自旋像笛卡儿用三个直角坐标解构或建构空间那样，用面旋、体旋、线旋来解构或建构。因此当代科学仍面临有补遗、补漏或补正的任务，即当代科学中正确的东西，我们应当继承和发扬；当代科学中还没有的东西，或不准确的东西，要进行补遗、补漏或补正。其次，物质是可以联系具像而能伸发性的客体。物质存在有向自己内部作运动的空间属性，这实际是指物质并不存在向自己内部作运动的先验约束条件；我们目前观察到的那些约束，仅是物质在运动、演化过程中才产生的。并且用物质存在有向自己内部作运动的空间属性这条公设，也可以证明圈比点更基本，进而如果把它贯穿到数、理、化、天、地、生等各门科学领域，还可以得出很多新奇的结论，因此这三条公设具有挑战性、新颖性、前沿性和潜在的应用性，其本质不是与现代科学对立，而是在于实现东西方科学的融合。 一、自旋解构或建构 旋转和涡旋，其实并不基本。质点系动量概念渊源于日常的语言交流，实际人们对自旋、自转、转动等旋转概念的区分并不大，而这些概念又都有一个共同点，即可用对称性来判断。早在1959年，我们就注意到一种自然全息：锅心沸水向四周的翻滚对流；地球磁场北极出南极进的磁力线转动；池塘水面旋涡向下陷落又在四周升起的这类现象，如果把它们缩影抽象在一个点上，它类似粗实线段轴心转动再将两端接合的旋转。这种原始物理的认识加上对称概念，使我们对自旋、自转、转动有了语义学上的区分，设旋转围绕的轴线或圆心，分别称转轴或转点，现给予定义： （1）自旋：在转轴或转点两边存在同时对称的动点，且轨迹是重叠的圆圈并能同时组织起旋转面的旋转。如地球的自转和地球的磁场北极出南极进的磁力线转动 （2）自转：在转轴或转点的两边可以有或没有同时对称的动点，但其轨迹都不是重叠的圆圈也不能同时组织起旋转面的旋转。如转轴偏离沿垂线的地陀螺或廻转仪，一端或中点不动，另一端或两端作圆圈运动的进动，以及吊着的物体一端不动，另一端连同整体作圆锥面转动。 （3）转动：可以有或没有转轴或转点，没有同时存在对称的动点，也不能同时组织起旋转面，但动点轨迹是封闭的曲线的旋转。如地球绕太阳作公转运动。 根据上述自旋的定义，类似圈态的客体我们定义为类圈体，那么类圈体应存在三种自旋，现给予定义： 1、面旋：指类圈体绕垂直于圈面中心的轴线作旋转。如车轮绕轴的旋转。 2、体旋：指类圈体绕圈面内的轴线作旋转。如拨浪鼓绕手柄的旋转。 3、线旋：指类圈体绕圈体内中心圈线作旋转。如地球磁场北极出南极进的磁力线转动。线旋一般不常见，如固体的表面肉眼不能看见分子、原子、电子等微轻粒子的运动。其次，线旋还要分平凡线旋和不平凡线旋。不平凡线旋是指绕线旋轴圈至少存在一个环绕数的涡线旋转，如墨比乌斯体或墨比乌斯带形状。同时不平凡线旋还要分左斜、右斜。因此不平凡线旋和平凡线旋又统称不分明自旋。反之，面旋和体旋称为分明自旋。这样看来，涡旋仅是自旋中的线旋或线旋与面旋的组合；而一般说的旋转运动，如果是自旋，主要也指的是面旋或体旋。
分明自旋和不分明自旋统称三旋，即面旋、体旋、线旋合称三旋。普朗克的量子论，爱因斯坦的相对论，使得物体的刚性概念在微观和高速的情况下，变得不够明确，已为三旋进入这些领域提供了立足之地。
二、三旋的截面定义 陀螺或廻转仪的进动和公转，是旋转概念中不好区分的一个问题，把自旋的定义转换成截面的定义来看待三旋，就很明白了。 （1）面旋：用一系列平行的截面来切一个作自旋的物体，如果能在每个截面内找到一个且仅有一个不动的转点的旋转，称为面旋。如果由这些不动点组成的转轴与截面正交，这些截面就称为面旋正面，这条转轴就称为面旋轴，也称面旋Z轴。 （2）体旋：物体作面旋，面旋轴只有一条，而面旋正面却有很多个，并且物体还可以绕其中一个面旋正面内的一条轴作旋转，这称为体旋。而这个面旋正面就称为体旋面，这根转轴称为体旋轴。但过这个面旋正面不动点的体旋轴还可以有许多条，因此在体旋面内选定一条作体旋X轴，那么体旋面内过不动点与它垂直的另一条轴就称为体旋Y轴。绕体旋X轴转90度，体旋面就与原先的位置相垂直，体旋Y轴这时也与原先的位置相垂直。如果体旋绕X轴再转90度，体旋面就翻了个面。其次，前面体旋面从开始位置转90度垂直起来时，还可以停下来绕体旋Y轴旋转若干圈，再停下来绕体旋X轴继续转90度从而回到开先的水平位置。 从上可以看出，体旋实际比面旋复杂。而这一点恰恰是很多理论力学中没有提到的知识，因此容易把如廻转仪陀螺一类中心点不动，且存在面旋与体旋混合时的偏角不大的体旋，判为“进动”，这是不确切的。 （3）线旋：用一系列体旋轴与面旋轴构成的截面去切一个作自旋的物体，每个截面能显现闭封同心线的旋转，称为线旋。且每个截面内同心的不动点组成的圈线，称为线旋轴。 从各个方向用一系列平行的截面去切一个物体，总可以找到一个相对截面面积最大的截面。以这个截面作水平面，并以它的相对中心点作垂直轴，再以这条垂直轴与过中心点的水平轴构成的一系列截面去切这个物体，又总可以找到一个相对截面面积最大的垂直截面。再比较这两个截面的大小，如果从肉眼上在短时间内能分辨得出来，就称为弱对称，或强不对称。反之，肉眼不能一眼区辨出来，就称为强对称或弱不对称。 即弱不对称的物体作自旋，难以区分它的面旋和体旋；而强不对称的物体作自旋，面旋和体旋的区分就很明显。三旋截面定义的扩充，正是增添这种强弱对称的区别。因为今后类粒子模型与类圈体模型，一般主要是看有没有孔洞这种拓扑不同伦的区别。然而在孔洞之外，也还有上述的那种区别，即球面一般是强对称物体，而环面一般是弱对称物体。取其强对称与弱对称的判别，而暂放开孔洞的拓扑分别来定义三旋，更具有广泛的范围，也有其数学内涵。因为。它还揭示了人类的科学文化无不打上地球的烙印。 例如地球存在重力，就存在沿垂线，与此相应，也就有水平面，可以说这是无处不在的固有坐标系。与此坐标联系的转动物体，本身又带有一个移动坐标系，这两者都构成了三旋研究的对象。以陀螺为例，如果陀螺面旋轴处在沿垂线的位置，那么面旋正面一定都处在水平位置。此时所有的体旋X轴都是体旋水平轴，只有当体旋面绕X轴转90度处在沿垂线的位置，体旋Y轴才显示垂直轴性，并且还只有这一条。 其次，三旋的定义更细致地区分了转动、进动和自旋。因为不管陀螺的转体是强对称还是弱对称，不管陀螺是地螺式着地支撑还是灵敏元件式的多圈架支撑，它们都存在一个相对中的绝对参考系。即以沿垂线构筑的三角坐标系，用这个坐标系加上三旋坐标系，能够区别出陀螺的面旋，绕水平轴和垂直轴的两种体旋，以及进动或公转。 1、面旋和体旋形成的旋转体即使容易区分开来，面旋和体旋也是相互约定的。只有把其中的一种自旋定为面旋或体旋后，才能把绕另一条转轴的自旋定为体旋或面旋。 2、地螺的进动很明显，它的面旋轴偏离沿垂线，在不到90度的位置停下来，又绕沿垂线作圆周运动。这两者结合，既不是面旋、体旋，又不是公转，这种情形只能称进动。在灵敏元件廻转仪中，由于陀螺转体的质心不象地螺那样有倾倒变化，这种进动就更能迷惑人。因为此时，它既有以水平轴线作的体旋，又有以沿垂线作的面旋。这种与地球联系的三旋文化，已是超越地球渗透进宇宙和量子世界中的。 三、三旋的手征判定 三旋的信息丰富多彩，人类穷尽了各种数学方法去描述的事物，实际上都是在描述它，但都没有将它捅破，将它解构。它既可以联系黑洞、白洞和蛀洞，又可以从宏观深入到微观，它像意识的自我，又不是自我。要观察判定它时，它既在其中又不在其中。现做一个实验：观察一个蛀洞的孔口的变化。 如果蛀洞存在三旋，把它变换为类圈体，要观察蛀洞口，就要分孔口是穿入还是穿出？这主要是由线旋方向决定。又由于类圈体同时还存在面旋和体旋，这种观察就会因手征规则的不同而有极向守恒和极向对称两种变化。 观察之前作一个约定：在一次性观察中，三旋的方向是连续的，不能有逆向性的变化。其次，观察应该有一定的客观性：观察是与意识同构的，它应在三旋之外；参与其中也应在其外。 （1）测试之一（单手在其中）：质心不动。将类圈体线旋出口对准自己，用左手或右手握住类圈体，其四指弯曲的方向指示类圈体的面旋；而大姆指垂直圈面，再上端弯曲，方向指示类圈体的体旋。以此单手规则固定于蛀洞出口一处不变，跟随类圈体作面旋和体旋，检查蛀洞出口的观察效应，发现只能看到蛀洞出口（见表1.1）。我们称做蛀洞极向守恒律，这同处于自然现象之中的观察相关。 （2）测试之二（两手参与，一手在外）：质心不动。如果以左手或右手握住为类圈体，其四指弯曲的方向指示类圈体的面旋，固定于蛀洞出口一处跟随转动，另外以右手或左手固定其垂直向上的指向，以指示类圈体坚持在这个方位作体旋，以此双手规则不变检查蛀洞出口的观察效应，发现蛀洞进出口都能看到（见表1.2）。我们称做蛀洞极向对称律，这同远离自然现象之外的观察相联。 以上说明：自然现象不仅同事物的本质有关，而且还同人的观察操作或同人是处于事物之中还是之外不可分。只要你愿意试做这两个实验，你会感受人类的观察是难于统一，不管是还原解构，还是整体整合，都存在不定性。所以科学的精致化是必要的，只有这方面的判定严密，结论和物质化才能取得实质性的进步。 表1.1 蛀洞极向守恒实验记录 三旋运动圆周刻度 规则 规则 表1.2 蛀洞极向对称实验记录 三旋运动圆周刻度 规则 规则 四、黎曼度规与三旋符号度规 黎曼是一位伟大的数学家，1854年，他创立的黎曼几何，60年后被爱因斯坦推导到了广义相对论，用来解释宇宙的创生及其演化。130年后被超弦学家推导到了十维几何，用来企图统一物理的所有定律。此外，黎曼的两大成果——黎曼度规张量和黎曼切口也给三旋研究以巨大的启示，现先来讲黎曼度规引发的三旋符号度规。 黎曼度规的秘密在于把空间拆成一些矩形块，每一个矩形块与一种不同的力相对应。用这种方法，通过把各种自然力安排成像拼图板块一样的度规张量就能描述它们了。这是用高维空间统一自然规律的一种数学表达。三旋吸收了黎曼这一思想而又不同的地方是：三旋从可观测的世界看到了众多的物体或系统，可以分解为动力学部分的能相Ω和非动力学部分的形相φ；Ω类似不同的力，φ类似每一个矩形块；φ不但可以同Ω相对应，而且如果φ的形态选择得足够的“黑”，还可以使φ与Ω同一。俗话说：万物有形，万物有能，万物有灵。如果有足够“黑”的度规，就可以使三者同一，达到能形耦合，能形虽各有频率，也可能形交换，能形变换，即会有能化形，形化能的情况出现。在古希腊人的数学发现中，有一个定理是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即：a2+b2=c2，中国古代也曾更早发现这个定理，但一般称为毕达哥拉斯定理。在三维空间中，毕达哥拉斯定理表述为立方体中相邻三边的平方和等于对角线的平方，即a2+b2+c2=d2。黎曼从著名的毕达哥拉斯定理出发，把这个定理推广到n维中的超立方体的对角线：设一个n维立方体，若a，b，c，…是这个“超立方体”的边长，且z是这个“超立方体”的对角线长度，则a2+b2+c2+d2+…=z2。即虽然我们头脑中不能想象出一个n维立方体，但是却很容易写出它的边和对角线的关系的公式。同理，类圈体的三旋在我们的脑子里虽然也难于想象，但用数学语言也能描述这类客体的性质的。 当然这也需要有黎曼这样的空间想象力。这就是黎曼认为空间既可以是平坦的，也可以是弯曲的。如果是平坦的，那么两点之间直线最短，平行线永不相交，三角形三内角之和等于180度。但推导到具有“正曲率”象皮球那样的球面时，这些面上的平行线就会相交，而且三角形的三个内角之和可以超过180度。同时曲面也可以有“负曲率”，如马鞍形的或喇叭形的表面，在这些面上，三角形三内角之和小于180度。 如果用类似黎曼的想象力来看三旋，我们会首先想到象法拉弟看到的电磁场。电磁场是占有一个三维空间域，在空间任何一点，麦克斯韦方程就是一组描述这一点磁力线或电力的数。而黎曼是将这组数用来描述空间在这一点被挠曲或弯曲的程度。这个数组被称为黎曼度规张量。在四维空间中每一点的度规张量需要16个数来描述。这些数字可以排成4′4的方阵（见图1.4），这些数中的6个实际上是多余的，因此说度规张量是10个独立的数。
g11 g12 g13 g14
图1.4
四维空间黎曼度规张量矩阵只描述了中性的点，而三旋是包括了点的阴性与阳性的φ和Ω。如果用类似黎曼度规符号建构三旋度规，根据排列组合和不相容原理，三旋可以构成三代共62种自旋状态，即需要在每一点引进62个“数”。而三旋的单动态是10个，它们可以包容在10′10的方阵中，采用类似实用符号动力学的统一给予符号刻划的方法（这便于分类和分析共性），下面是给出的三旋分类的符号表及三旋度规矩阵。
表1.3 三旋规范符号动力表 分
类
计 动 态 动 态
将三旋分类表1.3中的单动态再作矩阵的对角线排列，全表可转换为三旋度规的矩阵表示。
A 0 (BA) Ab AbG Ag AbE Ae AbH Ah
图1.5 三旋度规矩阵
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