求补积分算法及定理

考虑一个在x-y平面第一象限内过原点的单调递增连续函数y=f(x),x≥0,y≥0,函数上一点(x,y)和点(0,0),(x,0),(0,y)为顶点的矩形面积函数为s(x,y)=xy,则面积微分ds=d(xy)=(x+dx)(y+dy)-xy=xy+xdy+ydx+dxdy-xy=xdy+ydx+dxdy,舍去高阶无穷小dxdy,得到ds=xdy+ydx,
矩形面积s(x,y)=xy=∫ds=∫[0,y]xdy+∫[0,x]ydx,方括号内为[下限，上限]，以下同.
因此得到结果∫[0,x]ydx=xy-∫[0,y]xdy…………（1）
只需将x,y代换u,v即可.(1)这个结果也可用分部积分公式∫udv=uv-∫vdu直接得来.分部积分公式中的v和u都是自变量x的函数,而这里的(1)式是把这两个函数当作两个坐标变量了.变成了性质完全不同的两个概念.
引出(1)这样一个结果是要说明一个什么问题呢？函数的定积分知识告诉我们,定积分表达式s1(x)=∫[0,x]f(x)dx表达的是以自变量x、变量y形成的曲线和直线y=0(x轴)之间的面积函数.曲线y(x)和直线x=0(y轴)之间的面积就是

s2(y)=∫[0,y]xdy.存在一个十分显然的道理是:一个经过原点的单调递增连续曲线y=f(x)与x轴之间的面积s1(x)和与它与y轴之间的面积s2(y)之代数和等于xy.即
xy=s1(x)+s2(y)
因此有s1(x)=xy-s2(y)………………（2）
(2)式写成积分式就是(1)式.

比如求解y=x^3和x轴之间的面积函数S(x),可以通过定积分直接求得
S(x)=∫[0,x]x^3dx=x^4/4,这个结果也可以通过公式(1)求得.这时x=y^(1/3)
S(x)=xy-∫[0,y]xdy=x^4-∫[0,x^3]y^(1/3)dy
 =x^4-(3/4)y^(4/3)
 =x^4-(3/4)(x^3)^(4/3)
 =x^4-(3/4)x^4
 =x^4/4
这里y^(1/3)是x^3的反函数，并调换了反函数中x,y的位置.在求这个函数积分的例子中,使用(1)计算比直接计算稍复杂.这是因为我举例中特意选择的简单函数.在遇到一些不能对f(x)直接公式积分的函数时,比如在s1(x)=∫[0,x]f(x)dx中的被积函数f(x)表达式中甚至出现y这种情况下，即变量不能完全分离的情况下，使用这个算法可以提供有效的解.这个算法被我暂时称为“求补积分算法”,是我推出的一种新算法。这是继换元积分法和分部积分法之后，出现的第三种积分求法.

这是我在已知电子的时间和速度的关系,并试图求出电子位移和速度的关系时,遇到了积分困难的问题时发现的一个方法.在我的《质增并非相对论效应》中给出了电子速度和时间的关系式(此式为研究电子运动规律时所推导，并非最终结果，后又有多次修正.)v(t)=c[1-exp(-(v(t)m＋Eet)/2cm)]时,对位移的直接求解遇到了困难.因为v=ds/dt,代入后得到

ds/dt=c[1-exp(-(mds/dt＋Eet)/2cm)],以我的数学水平无法得到位移s1(t)的解析式(后来使用数学软件推导也不能得到解析式).但是在推导时v(t)=c[1-exp(-(v(t)m＋Eet)/2cm)]时得到的t=[2c[ln(c)－ln(c-v)]－v]m/Ee却能对v轴进行积分,这个函数刚好是v(t)的反函数形式，并且已经对调了变量的形式.此时我想到了这个方法.
s1(t)=vt-s2(t)=vt-∫[0,v]tdv…………(3)
s2(t)=∫[0,v]tdv=(m/Ee)∫[0,v][2c(ln(c)－ln(c-v))－v)dv
求得s2后,代入(3)式可得到位移函数-速度函数s1(v)=[2cc[ln(c/(c-v))-(c+v)v/2]m/Ee………………(4).

这个算法简单地说就是:一个通过原点的单调递增曲线y=f(x),把点(0,0),(x,0),(x,y),(0,y)四个点连成的矩形面积分割成两部分面积函数s1(x)=∫[0,x]ydx和s2(y)=∫[0,y]xdy.这两部分面积函数的和就是矩形总面积s(x,y)=xy.当计算积分

s1(x)=∫[0,x]ydx(y的原函数表达式)遇到困难时,可以转而求s2(y)=∫[0,y]xdy.最后s(x,y)-s2(y)就是所要求的s1(x).
s1(x)=∫[0,x]f(x)ds=xy-∫[0,y]xdy………………(5)
去掉(5)式s1(x)上的区分标志“1”，得到算法的一般形式
s(x)=∫[0,x]f(x)ds=xy-∫[0,y]xdy………………(6)

(6)式这个算法可形成一个定理.经过严格的数学语言叙述和函数适用条件的制约,也能扩大适用范围.虽然我举例和推导过程使用的是经过原点的在第一象限的单调递增函数曲线,但实际上这个算法可适应一般的单调曲线.比如曲线不一定要经过原点(0,0),曲线不局限于在第一象限,曲线也不局限于递增等.

这个特例是经过原点的单调递增函数在第一象限形成的,但在第三象限也依然成立.因此,对于过原点的单调递增连续曲线

y=f(x)在整个定义域满足s(x)=∫[0,x]f(x)ds=xy-∫[0,y]f^-1(y)dy.
对于过原点的单调递减连续函数,xy为负值面积,s1、s2也是负值面积,因此s(x)=∫[0,x]f(x)ds=xy-∫[0,y]f^-1(y)dy在二、四象限依然成立.因此,对于经过原点的单调连续函数y=f(x),s(x)=∫[0,x]f(x)ds=xy-∫[0,y]f^-1(y)dy在函数定义域内总是成立的.这就是我命名的求补积分算法.对于不经过原点的单调连续函数,可以通过移轴的方法,先将其化为过原点的函数,然后使用求补积分定理计算.得到结果后,再将轴移回来.
本定理虽未经数学家用标准数学语言严格证明，但我认为已经可以使用了.这对于不能完全分离出自变量和变量的函数很有效.对于不存在变量显式表达的函数y=f(x，y)，却可能存在变量显式表达的反函数y=f^-1(x).

如果存在y=f^-1(x),调换x、y即可得到x=f^-1(y),按求补积分算法计算就可以了.

为什么称为求补积分算法呢?我们知道,狭义的补数是两数相加等于10,或100,或1000等等,这两数互为补数.我在这里要定义广义的补数:两数相加的和可以是任何数,包括变量.在我这个例子中,矩形面积xy就是一个变量,s1,s2同样也是变量.矩形面积总等于s1+s2,因此s1,s2互为补数,我称它们为补变量.在能够容易求得矩形面积变量又能求得两补变量中任一个面积变量后,利用补变量和矩形面积xy的关系可求出另一面积变量。

还以y=x^3为例,现在把它变成不过原点的函数y=(x-a)^3.a>0,x>a时出现正面积,x<a时出现负面积.这时不能直接使用求补积分算法所叙述的方法,这时我可以令x'=x-a,把它变成过原点的函数,再使用求补积分定理计算.计算过程略去,最后结果是

S(x)=(x-a)^4/4-a^4/4,和直接对(x-a)^3进行积分结果一致.

求补积分定理可如下阐述:
单调连续函数f(x)总可以通过移轴的方法将其化为通过原点的函数φ(x),使得运算s(x)=xy-∫[0,y]φ^-1(y)dy在函数定义域内实现.经过移轴将函数s(x)变换回原坐标得到函数f(x)的原函数F(x),即可求得∫[0,x]f(x)dx=F(x)-F(0).
 
本定理所叙述方法未经检索，如有先例，我自当放弃发现权。特此声明。