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| ∫ydx(下限0，上限x)=xy-∫xdy(下限0，上限y=f(x))式子中∫xdy的x是以f^(-1)形式表达的、以y为自变量的、f的反函数。f^(-1)中的(-1)不是指数。 |
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这个算法简单地说就是：一个通过原点的单调曲线y=f(x)，把点（0，0）、（x，0）、（x，y）、（0，y）四个点连成的矩形面积分割成两部分s1=∫ydx(下限0，上限x)和s2=∫xdy(下限0，上限y)，这两部分的代数和就是矩形总面积s=xy。当计算积分s1=∫ydx(下限0，上限x)遇到困难时，可以转而求s2=∫xdy(下限0，上限y)，最后s-s1就是要求的s1
s1=xy-∫xdy(下限0，上限y) 这个算法可形成一个定理。这要经过严格的数学语言叙述和函数适用条件的制约。也能扩大适用范围，虽然我举例和推导过程使用的是经过原点的单调递增函数曲线，但实际上，这个定理可适应一般曲线。比如曲线不一定要经过原点（0，0）、曲线也不局限于在第一象限、曲线也不局限于递增等。 |
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前面说过：
一个通过原点的单调递增曲线y=f(x)，把点（0，0）、（x，0）、（x，y）、（0，y）四个点连成的矩形面积分割成两部分s1(x)=∫ydx(下限0，上限x)和s2(y)=∫xdy(下限0，上限y)，这两部分的代数和就是矩形总面积s(x,y)=xy。当计算积分s1(x)=∫ydx(下限0，上限x)遇到困难时，可以转而求s2(y)=∫xdy(下限0，上限y)，最后s(x,y)-s2(y)就是要求的s1(x)，这里f^-1(y)是f(x)的反函数，并将x、y调换位置。具体表达式就是： s1(x)=xy-∫xdy(下限0，上限y) 这个特例是在第一象限形成的。在第三象限也依然成立。因此，对于过原点的单调递增连续曲线y=f(x)，在整个定义域满足∫f(x)ds(下限0，上限x)=xy-∫f^-1(y)dy(下限0，上限y)。 对于过原点的单调连续递减函数，xy为负值面积，s1、s2也是负值面积，因此s1(x)=xy-∫xdy(下限0，上限y)在二、四象限依然成立。 因此，对于经过原点的单调连续函数y=f(x),s1(x)=xy-∫xdy(下限0，上限y)在函数定义域内成立。这就是我命名的求补积分定理。 对于不经过原点的单调连续函数，可以通过移轴的方法，先将其化为过原点的函数，然后使用求补积分定理计算，得到结果后，再将轴移回来。 |
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本定理虽未经数学家用标准数学语言严格证明，但我认为已经可以使用了。这对于不能完全分离出自变量和变量的函数很有效。对于不存在变量显式表达的函数y=f(x，y)，存在变量显式表达的反函数y=f^-1(x)不一定不存在。如果存在y=f^-1(x)，调换x、y即可得到x=f^-1(y)，按求补积分定理计算就可以了。
本定理所叙述方法未经检索，如有先例，我自当放弃发现权。特此声明。 |
| 为什么称为求补呢？狭义的补数是两数相加等于10、或100、或1000等等，这两数互为补数。我这里定义广义的补数，两数相加的和可以是任何数，包括变量。在我这个例子中，矩形面积就是一个变量，s1、s2同样也是变量。矩形面积总等于s1+s2，因此s1、s2互为补数，我称为补变量。在能够容易求得矩形面积变量又能求得两补变量中任一个面积变量后，利用补变量的关系可求出另一面积补变量。 |