考虑一个在x-y平面第一象限内内的单调递增函数y=f(x)，x≥0，y≥0，函数上一点（x,y）和点（0，0）、（x,0）、（0,y）为顶点的矩形面积函数为s(x)

=xy,则面积微分ds=d(xy)=(x+dx)(y+dy)-xy=xy+xdy+ydx+dxdy-xy=xdy+ydx+dxdy,舍去高阶无穷小dxdy，得到ds=xdy+ydx
矩形面积s=xy=∫ds=∫xdy+∫ydx
因此也得到结果∫ydx=xy-∫xdy…………（1）
只需将x、y代换u、v，（1）这个结果也可用公式d(uv)=udv+vdu和∫udv=uv-∫vdu直接得来。
引出（1）这样一个结果是要说明一个什么问题呢？函数的定积分知识告诉我们，定积分表达式∫ydx(下限为零，上限为x),表达的是以自变量x、变量y形成的曲线和直线y=0之间的面积。那么相同的曲线和x=0的直线之间的面积就是∫xdy(下限为零，上限为y),存在一个十分显然的道理是：一个单调函数曲线y=f(x)和x轴之间的面积s1与它和y轴之间的面积s2之代数和等于xy。

比如我们求解y=x^3和x轴（y=0）之间的面积公式S(x),可以通过定积分直接求得S(x)=∫x^3dx(下限0，上限x）=x^4/4，
我们也可以通过公式（1）求得此结果。这时x=y^(1/3)
S(x)=xy-∫xdy=x^4-∫y^(1/3)dy(下限0，上限y=x^3)
=x^4-(3/4)y^(4/3)
=x^4-(3/4)(x^3)^(4/3)
=x^4-(3/4)x^4
=x^4/4

函数例子中，比直接计算稍复杂，但是遇到一些不能直接公式积分的函数时，这个算法可以提供有效的解。这个算法暂时称为“求补积分算法”，是我推出的一种新算法。

这是我在解决已知电子速度求加速时间，并试图求出电子位移时遇到问题时找到的一个方法。在我的《质增并非相对论效应》中给出了电子速度
v=c[1-exp(-(vm＋Eet)/2cm)]
。这个位移直接求解遇到了困难，物理含义是位移）
s=vt-s1=vt-∫tdv…………（2）

s1=∫tdv=(m/Ee)∫[2c[ln(c)－ln(c-v)]－v]dv(下限0，上限v)………………（3），求得s1后，代入（2）式可得到位移函数。

希望大家指正。