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关于zhoxanaaa“两个粒子距离30万公里，以15万公里/秒的速度相对运动，并相撞。问他们相撞的时间是多少，设它们开始运动的时间是12点钟”的三种解法
Zhoxanaaa提出这么一个初级习题，由于他自己对相对论连门还没有看到（不要说摸到门了），故而把他自己的脑子弄成了浆糊，他于是就说相对论是浆糊桶。我这里提供三种解法，可供不同层次的人理解与学习，也可增加大家生活的信心（相对论并非你们看到的有这个矛盾、那个矛盾）。
这个题目我先诠释如下（包括把“它们开始运动的时间是12点钟”的 12点改为0点，便于处理）：
设有两个固定的粒子发射器甲、乙，距离为L. 在地面观察者看来，它们在时刻t’=0点，同时向对方发射粒子A与B，粒子速度大小都为v（相对于地面参考系）, 这两个粒子（A与B）在发射器甲、乙中间相撞击。问在粒子A看来，它们相撞时的时刻是多少？设粒子A上的钟在发射时也被调到t=0点。 解答：设粒子发射器甲放在左边，粒子A向右运动；粒子发射器乙放在右边，粒子B向左运动。粒子发射器甲所在的地面位置为x’=0, 粒子发射器乙所在的地面位置为x’=L。我设地面观察者所在参考系的坐标是（x’, t’）, 粒子A所在参考系的坐标是（x, t）, 于是有Lorentz变换： x’=γ(x+vt), t’=γ(t+vx/cc), 等价于 x=γ(x’-vt’), t=γ(t’-vx’/cc). 这里 γ=1/(1-vv/cc)^(1/2).解法一（最聪明、简洁法）： 粒子A被发射时，在地面系看来，这个事件（粒子A被发射）的时空坐标为x’=0, t’=0; 在A自己看来，这个发射事件的时空坐标为x=0, t=0。显然，这组解满足关系t’=γ(x’-vt’), t=γ(t’-vx’/cc)。 当两个粒子相遇时，在地面系看来，这个事件的时空坐标为x’=L/2, t’=L/(2v). 于是求出这个相遇事件在粒子A参考系内的时间(也是时刻)为：代x’=L/2, t’=L/(2v)入t=γ(t’-vx’/cc)，得到 t=γ(t’-vx’/cc)=γ(L/(2v)-v(L/2)/cc)= (γL/(2v))(1-vv/cc). 解法二（较聪明法，但要牵涉一点分析）：在地面系看来，粒子A,B同时被发射，事件的时空坐标分别是：A粒子发射事件(x’=0, t’=0); B粒子发射事件(x’=L, t’=0)。但在粒子A看来，它们其实并不同时发射。在粒子A参考系内，粒子A看到的粒子B发射时刻为：代(x’=L, t’=0)入t=γ(t’-vx’/cc)，得到t=-γvL/cc，即粒子B发射是超前一点时间的。同时，在粒子A参考系内，粒子A看到的粒子B发射时的位置坐标为：代(x’=L, t’=0)入x=γ(x’-vt’)，得到x=γL. 另外，要记住：（在粒子A参考系看来）粒子A看到粒子B的速度为2v/(1+vv/cc). 于是粒子A看到：粒子B以速度2v/(1+vv/cc)朝自己运动，通过了距离γL，来与自己相撞，这需要花费时间为：γL除以2v/(1+vv/cc)，得到所需要时间(γL/2v) (1+vv/cc)。又因为粒子B实际上是超前发射的（在A看来），超前了时间γvL/cc（前面已算），也即粒子B是在时刻-γvL/cc被发射的（在A看来），于是当A、B相撞时，真正的时刻（在A看来）是 (γL/2v) (1+vv/cc)- γvL/cc=(γL/2v) (1+vv/cc-2 vv/cc)= (γL/2v) (1-vv/cc)。这与解法一一致。解法三（“浆糊法”但理清了头绪的法子。虽然这个方法比较笨，没有充分利用Lorentz变换的本质，但是如果能理清其中的细节，无疑也是聪明人一个）
把两个粒子发射器之间的距离看作一把尺子（注意：“看作尺子”与“不看作尺子”，完全是两码事，但计算结果等价。如果看作尺子，那么尺子是要后退的，切记，切记。如果不看作“尺子”，则谈不上后退），那么这把尺子的长度在A看来是L/γ （注意：γ大于1，所以L/γ是缩短了的长度）。前面已经交代，在A参考系看来，粒子B是超前发射的，超前了时间γvL/cc（此时粒子A还未出生，但粒子A参考系可以建立）。同时，尺子（把两个粒子发射器之间的距离）是要以速度v后退的，即朝左运动（在A参考系看来）。注意：在解法二中，没有将“两个粒子发射器之间的距离看作一把尺子”，所以，不存在考虑这种“后退”的必要。注意这个细微区别！！！
尺子在后退了时间γvL/cc后，粒子A才出生，此时A粒子出生位置即为A参考系的坐标原点（呵呵，看到为什么要考虑“尺子后退了吧”！！ 粒子A还未出生时，有A参考系，但是它的坐标原点还没有定好，或者说尺子（地面系）上的坐标原点与A参考系的坐标原点两者之间的关系还没有定好。直到A出生后，才定好）。在超前时间γvL/cc内，尺子后退的距离即为时间γvL/cc与v的乘积（在A参考系看来），即γvvL/cc，而粒子B朝发射器甲靠近的距离为速度2v/(1+vv/cc)与超前时间γvL/cc的乘积（在A参考系看来）。这样，粒子A在出生的时候，它与粒子B的实际距离（在A参考系看来）计算方法为：
缩短了的尺子的长度L/γ，加上尺子后退的距离γvvL/cc，再减去粒子B朝发射器甲靠近的距离（2v/(1+vv/cc)）*（γvL/cc），答案为： L/γ+γvvL/cc-（2v/(1+vv/cc)）*（γvL/cc）= (L/γ)*(1+γ^2*vv/cc) -（2v/(1+vv/cc)）*（γvL/cc）=(γL)*(1/γ^2+ vv/cc) -（2v/(1+vv/cc)）*（γvL/cc） =γL-（2v/(1+vv/cc)）*（γvL/cc）
这段距离即为“粒子A在出生的时候，它与粒子B的距离（在A参考系看来）”，除以B的速度2v/(1+vv/cc)，就得到当A、B相撞时，时刻（在A看来）是 [γL-（2v/(1+vv/cc)）*（γvL/cc）]/[ 2v/(1+vv/cc)]=γL /[ 2v/(1+vv/cc)]- γvL/cc
大家可以发现，这个表达式与解法一的倒数第二步结果“(γL/2v) (1+vv/cc)- γvL/cc”一模一样，于是当A、B相撞时的时刻（在A看来）也是(γL/2v) (1-vv/cc)。 以上三种解法，结果一样。对于这种习题的训练，有助于理解相对论，最好三种都掌握。笨人往往利用第三种，弄得不顺，把自己捣成了浆糊，其实第三种才是需要脑筋的。SHEN JIAN QI 2014-1-15 |
