"滑块悖论"解析

另一个关于相对论的悖论是所谓的"滑块悖论"。假设在一开有槽的平板上面放置一滑块，滑块与平板相对静止时，槽的宽度与滑块的长度相等。现在让滑块与平板有相对运动。相信"滑块悖论"的人认为：在固定于平板上的参照系K看来，滑块由于运动而长度缩短，但槽不运动，宽度不变，因此，滑块会从平板上的槽中掉落；但是，在固定于滑块上的参照系K^/看来，平板由于运动，槽的宽度缩小，而滑块不动，长度不变，滑块不会从平板上的槽中掉落。可是，关于滑块会不会从槽中掉落，是一个绝对的事件，不会因为参照系的不同选择而不同。

的确，滑块会不会从槽中掉落，不会因为参照系的不同选择而不同。关于滑块是否掉落问题，两个参照系的测量应该完全统一，如果在K系中，滑块确实从槽中掉落，则在K^/系看来，滑块也应该从槽中掉落。但是，关于滑块从槽中掉落的具体过程，两系的描述肯定是不同的。如果在K系看来，滑块是刚体，滑块的两端是同时向槽中掉落的，但在K^/系看来，滑块的两端却是从不同的时刻开始向槽中掉落，因此，滑块不是刚体。

前已说过，按照狭义相对论，不同的参照系应该具有相同的物理规律，但狭义相对论并未要求不同参照系对一个具体物体的具体属性的测量结果要相同。一个物体是不是刚体，即一个物体两端能不能同时运动，显然不是物体规律，而是对一个具体物体的具体描述。因此，对于一个具体的物体，一个参照系认为是刚体，另一个参照系认为不是刚体，是符合狭义相对论的。

在K看来，如果认为滑块是刚体，滑块因运动而长度收缩，进而落入槽中，则滑块的两端是同时下落的。在K^/系看来，滑块不是刚体，虽然槽的宽度收缩了，滑块的长度大于槽的宽度，但滑块仍能落入槽中，只不过滑块的两端不是同时下落，滑块的前端先下落，然后，槽继续运动，过一段时间后，滑块的后端才下落。两个参照系最终对滑块是否落入槽中给出了相同的结论，但对这一过程的具体细节却给出了不同的描述。两系给出不同的描述是完全正常的，因为这是两个不同的参照系所给出的描述。后面将给出这一问题按洛沦兹变换的具体计算。

同样，在一个参照系看来，如果存在这样一个过程，滑块是刚体，滑块静止而槽在运动，槽的宽度因运动而收缩，滑块不能落入槽中，则在另一个参照系看来，槽不运动而滑块在运动，但滑块也不能落入槽中。虽然在后一参照系看来，槽的宽度大于滑块的长度，但滑块的两端是在不同时刻到达槽的两端的，滑块已不是刚体。

为什么只讨论滑块是不是刚体，而不讨论滑块下面开有槽的平板是不是刚体？我们看到，如果滑块在垂直的方向上受到限制，如滑块位于平板的上方时，滑块的"非刚性"无法显示出来，但如果滑块在垂直方向上不受限制，如滑块位于的槽上方时，并且在垂直方向上受到某种外力的作用，如重力的作用，则滑块的"非刚性"就能显示出来。对于本问题中的开有槽的平板来说，它在垂直的方向上，在两个参照系看来均始终受到限制，它不能在垂直方向上运动，因此，即使平板或槽是非刚体，它也无法表现出来，或者说，滑块是不是从槽中落下，与平板或槽是不是刚体无关。

我们看到，将K系关于滑块是否落入槽中的描述，严格的按照洛沦兹变换关系，翻译成K^/系对这一过程所给出的描述，根本不是"滑块悖论"中给出的描述。关于滑块是否落入槽中，给出唯一的初始条件，两个参照系都会出现唯一且相同的结果。关于滑块问题，共有4种不同的初始条件，或者说，可以存在如下的4种不同情况。

第1种情况：初始条件为在K系中，滑块为刚体，滑块运动而槽静止，结果为在两系看来滑块都落入槽中。

第2种情况：初始条件为在K系中，滑块仍为刚体，滑块静止而槽运动，结果为在两系看来滑块都不能落入槽中。

第3种情况：在K系中，初始条件为滑块不是刚体，滑块运动而槽静止，结果为在两系看来滑块都不能落入槽中。

第4种情况：在K系中，初始条件为滑块不是刚体，滑块静止而槽运动，结果为在两系看来滑块都能落入槽中。

将这4种情况变换到或翻译到另一个参照系K^/中，第1种情况就被变换为第4种情况，第2种就被变换为3种，第3种变为第2种，而第4种变为1种。

下面是对滑块问题的具体计算。只计算了第1种情况，按洛沦兹变换关系，变换到另一参照系后，是不是第4种情况。

设K系中滑块的运动方向与K系及K^/系中的x轴和x^/轴同向，即向右运动，滑块的右端与槽的右端对齐的事件记作事件A，我们把K系和K^/系的x轴和x^/轴的零点均设为事件A的发生地点，把K系和K^/系的时钟零点均设为事件A的发生时刻。

K系对事件A的描述为：（x _A，t _A ）=（0，0）

K^/系对事件A的描述也为：（x^/ _A，t^/ _A）=（0，0）

设在K系中，开始时（0时刻点之前），滑块和槽均静止，它们的长度相等，均为L，后来，滑块以速度v向右运动，此时，在K系看来，滑块由于运动而长度收缩为αL这里，α＝(1－v² /c²)^1/2 ，而槽的宽度仍为L，因此，滑块从槽中掉落。设在K系看来，滑块是刚性的，尽管滑块的右端先运动到了槽的上方，但直到滑块的左端也运动到了槽的上方后，整个滑块才同时从槽中掉落，因此，滑块的两端是在同一时刻掉进槽中去的，这一时刻就是K系的0时刻。我们把0时刻滑块的左端位置记作事件B，我们把0时刻槽的左端位置记作事件C。

K系对事件B的描述为：（x _B，t _B）=（－αL，0）

K系对事件C的描述为：（x _C，t _C ）=（－L，0）

现在，我们在固定于滑块上的K^/参照系来描述这一过程。在K^/系中，由于滑块不是刚性的，我们不能说滑块同时掉进了槽里，但我们可以说，滑块的右端是在何时、在何处掉进了槽里，滑块的左端又是在何时、在何处掉进了槽里。滑块的右端掉进槽的事件，两系看来应该是同一事件，同样，滑块的左端掉进槽的事件，两系看来也应该是同一事件。滑块的右端掉进槽的事件，在K系和K^/系看来，均是事件A。这时，在K^/系中，滑块的右端与槽的右端的x^/轴的位置坐标相同，因此，槽的右端不会对滑块右端的掉落产生阻碍，滑块的右端可以掉进槽里。但是，K^/系所看到的滑块的左端掉进槽的事件究竟是事件B还是事件C呢？我们暂时先把事件B作为K^/系所看到的滑块的左端掉进槽的事件。如果在事件B发生的时刻t^/_B，滑块左端的x^/坐标绝对值小于此时的槽的左端的x^/坐标绝对值（这两个坐标均为负值，因为滑块和槽左端均位于x^/坐标0点、即滑块和槽的右端的左方），则槽的左端就不会对滑块左端的掉落产生阻碍，滑块的左端也就可以掉进槽里。如果把事件C作为K^/系所看到的滑块的左端掉进槽的事件，同样，只要在事件C发生的时刻t^/_C，滑块左端的x^/坐标绝对值小于此时的槽的左端的x^/坐标绝对值，滑块也就会从槽中掉落。下面我们就这一问题进行具体的计算。

我们知道，事件B在K系的描述为（x _B，t _B）=（－αL，0），通过洛沦兹变换式，我们可以求出事件B在K^/系的描述为：

  x^/_B = (x _B－v t _B)/α=( －αL－0)/α=－L

  t^/_B =( t _B－v x _B / c²)/α=( 0+vαL / c²)/α= v L / c²

可见，在K^/系看来，事件B和事件A并不是同时事件，事件B发生的时刻要比事件A晚。在K^/系看来，滑块的右端首先掉进了槽里，而后才是滑块的左端掉进了槽里。

事件C在K系的描述为（x_C，t _C）=（－L，0）。根据洛沦兹变换式，事件C在K^/系的描述为：

x^/_C = ( x _C－v t _C)/α=(－L－0)/α=－L/α

t^/_C =(t _C－v x _C / c²)/α=( 0+v L / c²)/α= v L /αc²

同样，在K^/系看来，事件C和事件A并不是同时事件，如果认为事件C是滑块的左端掉进槽的事件，则也是滑块的右端首先掉进了槽里，而后才是滑块的左端掉进了槽里。

我们知道，在K^/系看来，滑块是不动的，因此，如果在t^/_B时刻，滑块的左端的位置坐标为－L，则在t^/_C时刻，滑块的左端的位置坐标也为－L，而在t^/_C时刻，槽的左端的位置均坐标为－L /α，滑块左端的x^/坐标绝对值小于此时的槽的左端的x^/坐标绝对值，如果把事件C作为K^/系中滑块的左端掉进槽的事件，则滑块必定从槽中掉落。或者说，不论在t^/_B时刻滑块的左端是否掉进槽里，在更晚的t^/_C时刻，滑块的左端必定已掉进槽里。因此，在K^/系看来，同K系中的看法一样，整个滑块也会掉进槽里。

现在我们来计算在t^/_B时刻，K^/系中槽的左端的位置坐标。我们知道，在K^/系看来，槽的左端以速度v向左运动。在t^/_C时刻，槽的左端的位置坐标为x^/_C。设在更早的t^/_B时刻，槽的左端的位置坐标为x^/_D，则显然，坐标x^/_D应该在坐标x^/_C的右侧。

即：x^/_D =x^/_C+v(t^/_C－t^/_B)=－L/α+ v(v L /αc²－v L / c²)

现在，只要证明x^/_D＜x^/_B，即在t^/_B时刻，槽的左端的x^/坐标绝对值大于此时的滑块左端的x^/坐标绝对值，如果把事件B作为K^/系中滑块的左端掉进槽的事件，则槽的左端就不会对滑块左端的掉落产生阻碍，滑块的左端也就可以掉进槽里。我们知道，x^/_B =－L。显然，通过简单的数学运算就可以证明，

－L/α+ v(v L /αc²－v L / c²)＜－L成立。

可以看出，实际上，不用等到t^/_C时刻，在t^/_B时刻或更早的时刻，滑块的左端就已经掉进了槽里。

下面我们来看一下K^/系对滑块掉进槽的整个事件的描述。首先是滑块静止，长度始终为L，但位于平板的上方，平板及平板上的槽以速度v向左运动，槽的宽度始终为αL。然后，槽与滑块开始重叠，在t^/=0的时刻，滑块的右端开始沿槽的右边缘落入槽中，而此时，滑块的左端还在平板上，没有落入槽中。直到t^/= t^/_B = v L / c² 时刻或更早时刻，滑块的左端才落入槽中，而此时，滑块的右端不仅已下落了更长的距离，并且槽右端的平板已覆盖到了滑块右端的上方。设槽的深度和滑块的厚度均为0，槽右端的平板覆盖到滑块右端的上方时不受任何阻碍。在t^/_B时刻，槽右端的平板覆盖到了滑块右端的上方x^/方向上的距离应为v t^/_B = L v² / c²，滑块右端的位置坐标始终为0，因此，在t^/_B时刻，槽右端的位置坐标即为－L v² / c²。在t^/_B时刻，槽左端的位置坐标为x^/_D，而－L v² / c²－x^/_D= αL 恰好是K^/系在t^/_B时刻测得的运动着的槽的宽度。

可以看出，将K系中的第1种情况，严格按照洛沦兹变换关系变换到或翻译到K^/系中后，正好是第4种情况，而不是"滑块悖论"中所说的情况。