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黎曼假设在NPC公理系统>中被证明成立(2) ＝P＝NP理论体系与黎曼ζ函数的数理逻辑关系＝ 司马阳春
运用上面的积分表达式可以证明，黎曼ζ 函数满足以下代数关系式： ζ（s) = 2Γ（1-s)(2π）s-1sin（πs/2）ζ（1-s) 从这个关系式中不难发现，黎曼ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数） 取值为零 - 因为 sin（πs/2) 为零。复平面上的这种使黎曼ζ 函数取值为零的点被称为黎曼ζ 函数的零点。因此 s=-2n (n 为正整数） 是黎曼ζ 函数的零点。这些零点分布有序、 性质简单，被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros）。除了这些平凡零点外，黎曼ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros）。对黎曼ζ 函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一。 荷兰三位数学家J．van de Lune，H．J．Riele te及D．T．Winter利用电子计算机>来检验黎曼的假设，他们对最初的二亿个齐打函数的零点检验，证明黎曼的假设是对的，他们在1981年宣布他们的结果，目前他们还继续用电子计算机检验底下的一些零点。 982年11月苏联>数学家马帝叶雪>维奇在苏联杂志《Kibernetika》宣布，他利用电脑检验一个与黎曼猜想有关的数学问题，可以证明该问题是正确的，从而反过来可以支持黎曼的猜想很可能是正确的。 1975年美国麻省理工学院>的莱文森在他患癌症去世前证明了No（T）>0.3474N（T）。 1980年中国>数学家楼世拓、姚琦>对莱文森的工作进行了改进，他们证明了No（T）>0.35N（T）。 在素数数论中，阐述了任何足够大的素数，都可以分解为若干个数之"连乘"或"连和"，数学家欧拉提出了连乘公式，称欧拉（素数）公式。但是，这个欧拉公式如何应用于实际，至今无法解决，问题的根子在于"素数的倒数之总和"大多是有限小数或无限循环小数，或无限不循环小数。无限小数都是近似值。如（1/3）＝0.33333......，你写到那里，近似值的精度就那里，永远是近似值。 (在NPC数学理论中，P=NP中任何足够大的素数，都可以分解为若干个数之"连乘"或"连和"， 都是"连乘"或"连和" 欧拉（素数）公式。) 黎曼ζ函数>， 。 非平凡零点(是指s不为-2、-4、-6‧‧‧等点的值)的实数部份是½。 黎曼猜想（RH）是关于黎曼ζ函数>ζ(s)的零点分布的猜想。黎曼ζ函数>在任何复数s ≠ 1上有定义。它在负偶数上也有零点（例如，当s = -2, s = -4, s = -6, ...）。这些零点是"平凡零点"。黎曼猜想关心的是非平凡零点。 即所有的非平凡零点都应该位于直线½ + ti（"临界綫"）上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。沿临界綫的黎曼ζ函数有时通过Z-函数>进行研究。它的实零点对应于ζ函数在临界綫上的零点。 黎曼猜想所以被认爲是当代数学中一个重要的问题，主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下被证明。大部份数学家也相信黎曼猜想是正确的。 黎曼ζ函数>在临界线Re(s) = 1/2上的实部（红色）和虚部（蓝色）。我们可以看到最起初的几个非平凡零点就位于Im(s) = ±14.135, ±21.022和±25.011上。 黎曼ζ函数>实部与虚部的数值比较图，也就是Re(ζ(s)) vs. Im(ζ(s))，沿着临界线s = it + 1/2，t 由0到34 黎曼知道ζ函数的不平凡零点对称地分布在直线s = ½ + it上，以及他知道它所有的不平凡零点一定位于区域0 ≤ Re(s) ≤ 1中。
黎曼ζ函数的零点与素数满足一个称为明确公式的对偶性，这表明了：在调和分析>的意义下，黎曼ζ函数的零点可视为素数分布的谐波。 将黎曼ζ函数代为更一般的L-函数>，此时仍有相应的猜想：整体L-函数的非平凡零点的实部必等于 。这被称为广义黎曼函数。函数域上的广义黎曼猜想已被证明，数域>的情形仍悬而未决。 对于所有C\{0,1}中的s成立。这里，Γ表示Γ函数>。这个公式原来用来构造解析连续性。在s = 1，ζ函数有一个简单极点>其留数>为1。
在s的实部大于½的时候成立，而且右边项的和收敛"就等价于黎曼猜想。由此我们能够总结出假如Mertens函数的定义为
那黎曼猜想就等价于对任何 0" type="#_x0000_t75"> 都有 ， 这将会对于M的增长给出了一个更紧的限制，因为即使没有黎曼猜想我们也能得出
（关于这些符号的意思，见大O符号>。） 黎曼猜想等价于一些除μ(n)以外一些积性函数>增长率的猜想。例如，因子函数>σ(n)由下式给出：
那在n > 5040的时候， ， 这名为Robin定理并在1984年以Guy Robin命名。另一个有关的上限在2002年由Jeffrey Lagarias提出，他证明了黎曼猜想等价于命题"对于任意自然数n，
而 为第n个调和数> 。 里斯判准由里斯在1916年给出，它断言黎曼猜想等价于下式对所有 0" type="#_x0000_t75"> 成立
其它相关的积性函数>的增长率也具有与黎曼猜想等价的表述。 考虑二项式系数和 ， Báez-Duarte与Flajolet、Brigitte Vallée证明了黎曼猜想等价于对所有的 0" type="#_x0000_t75"> 下式成立 。 类似的还有以下级数 。 对此。Flajolet与Vepstas证明了黎曼猜想等价于对所有的 0" type="#_x0000_t75"> 下式成立
其中的 是依赖于 的某个常数。 韦伊判准>断言某些函数的正定性等价于广义黎曼猜想。与此相似的还有李判准，这断言某些数列的正性等价于黎曼猜想。 另外两个跟黎曼猜想等价的命题牵涉了法里数列>。假如Fn是法里数列中的第n项，由1/n开始而终于1/1，那命题"给出任何e > ½
"等价于黎曼猜想。在这裏 是法里数列中n阶项的数目。类似地等价于黎曼猜想的命题是"给出任何e > -1. " 黎曼猜想等价于群论>中的一些猜想。举例说，g（n），是对称群>Sn的所有元素的秩之中，最大的一个，也就是兰道函数>，则黎曼猜想等价于：对够大的n，下式成立： 。 黎曼猜想的素数公式>直接来源于埃拉托斯特尼筛法。 黎曼猜想等价于命题" 的导函数 在区域
上无零点。" 函数ζ在临界线上只有单零点的充要条件是其导函数在临界线上非零。所以若黎曼猜想成立，命题中的非零区域可以延伸为 。这条进路带来了一些成果。Norman Levinson将此条件加细，从而得到了较强的临界线定理>。 |
