黎曼假设在NPC公理系统>中被证明成立(3)

＝P＝NP理论体系与黎曼ζ函数的数理逻辑关系＝

司马阳春

一些比黎曼猜想强的猜想曾被提出，但它们有被否证的趋势。Paul Turan证明了假如级数

当s大于1时没有零点，则黎曼猜想成立，但Hugh Montgomery证明了这前提并不成立。另一个更强的梅滕斯猜想>也同样被否证。

黎曼猜想有各种比较弱的结果；其中一个是关于ζ函数于临界线上的增长速度的Lindelöf猜想，表明了给出任意的e > 0，当t趋向无限，

记第n 个素数为p_n，一个由Albert Ingham得出的结果显示，Lindelöf猜想将推导出"给出任意e > 0，对足够大的n 有

p_n+1 - p_n < p^1/2+e,"

不过这个结果比大素数间隙猜想弱。

• 哈拉尔德克拉梅尔>证明了：假设黎曼猜想成立，素数p 与其后继者之间的间隙将会为 。平均来说，该间隙的阶仅为 ，而根据数值计算结果，它的增长率并不似黎曼猜想所预测的那么大。

过去的一百多年，有很多数学家声称证明了黎曼猜想。截至2007年为止，尚有一些证明还未被验证；但它们都被数学社群所质疑，多数专家并不相信它们是正确的。由于黎曼猜想是有关2维变量（临界线>（critical line）上的虚数>解和黎曼ζ函数>中的自然数变量n）的问题，故不但要考虑在2维变量下的情况，似乎还可以从更高维数（例如3或4维甚至更高维）变量的情况下来考虑问题。

另外，由于黎曼猜想从本质上来说是证明一个方程的非平凡的复数>解必然是1/2+bi的形式（b是实数>，i是虚数单位>），因此应该与代数学是密不可分的；就是说，代数几何>、代数数论>甚至代数拓扑>等学科的知识是不可缺少的。长久以来，人们猜测黎曼猜想的"正解"是找到一个适当的自伴算符>，再由实特征值>的判准导出 零点实部的资讯。在此方向上已有许多工作，却仍未有决定性的进展。

黎曼ζ函数的统计学性质与随机矩阵>的特征值有许多相似处。这为希尔伯特-波利亚猜想提供了一些支持。

在1999年>，Michael Berry与Jon Keating猜想经典哈密顿函数> 有某个未知的量子化 ，使得下式成立

更奇特的是，黎曼ζ函数的零点与算子 的谱相同。正则量子化>的情形则相反：正则量子化引致海森堡测不准原理> ，并使量子谐振子>的谱为自然数。重点在于，所求的哈密顿算符>应当是个闭自伴算符，方能满足希尔伯特-波利亚猜想之要求。

关于计算上找寻ζ函数零点越多越好的尝试，已经有一段很长的历史了。其中一个出名的尝试乃ZetaGrid，一个分散式计算>的计划，一天可检查上十亿个零点。这计划在2005年11月终止。直至2006年，没有计算计划成功找到黎曼猜想的一个反例。

2004年，Xavier Gourdon与Patrick Demichel透过Odlyzko-Schönhage algorithm验证了黎曼猜想的头十兆个非平凡零点。

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德国数学家克莱因（Klein）这样的评价他："黎曼具有很强的直观，由这天份他超越了当代的数学家，在他的兴趣被激发的领域，他不管是否当局会接受对这研究的肯定，也不让传统来误导他。......"

现在来讲他在1858年写的一篇只长8页关于素数分布的论文，就在这论文里他提出了有名的黎曼猜想（Riemanns Hypoth-esis）。这猜想提出已有一百多年了，许多有名的数学家曾尝试去证明，就像喜欢爬山的人希望能爬上珠穆朗玛峰一样--因为它的顶峰非常困难到达，目前已有人登上这世界高峰，可是却没有人能证明这猜想！

要说明这猜想首先需谈谈这问题的来源。几千年前人类就已知道2，3，5，7，31，59，97这些正整数。除了1及本身之外就没有其他因子，他们称这些数为素数（或质数Prime number），希腊数学家欧几里德证明了在正整数集合里有无穷多的素数，他是用反证法证明。

英国著名的数学家哈地（G．H．Hardy 1877-1947）是华罗庚在英国剑桥大学学习数论时的指导教授。

英国自从出现牛顿以后，一向来数学工作者是注重应用数学，它的数学家不像欧陆的德国和法国在纯粹数学上有大的贡献和新的发现，至到19世纪末出了哈地之后，哈地以他在纯数学的工作使英国闻名于世。

   你看了或许会笑，以为我们的哈地教授是这样幼稚可笑的人物，是的，有一些数学家他们想法和做事的天真幼稚就像6岁的儿童。可是他们研究的东西却深入和奥妙，不是普通人所能了解的。

哈地逝世距现在已四十多年，但是他遗留下来的工作，许多是那么的艰深和难于明白，普通大学数学系毕业生也不是很容易就能领会。

在1982年11月苏联数学家马帝叶雪维奇在苏联杂志《Kibernetika》宣布，他利用电脑检验一个与黎曼猜想有关的数学问题，可以证明该问题是正确的，从而反过来可以支持黎曼的猜想很可能是正确的。

在数学中我们碰到过许多函数，最常见的是多项式和三角函数。多项式的零点也就是代数方程 =0的根。根据代数基本定理，n次代数方程有n个根，它们可以是实根也可以是复根。

   当s为大于1的实数时， 为收敛的无穷级数，欧拉仿照多项式情形把它表示为乘积的情形，这时是无穷乘积，而且也不是零点的形式。
    但是，这样的 用处不大，黎曼把它开拓到整个复数平面，成为复变量s就包含非常多的信息。正如多项式的情形一样，函数的信息大部分包含在其零点的信息当中。因此，多项式的零点就成为大家关心的头等大事。有两类零点，一类是s=-2，-4，...-2n，...时的实零点，称为平凡零点；一类是复零点。黎曼猜想就是讲，这些复零点的实部都是，也就是所有复零点都在这条直线（后称为临界线）上。

这个看起来简单的问题并不容易。从历史上看，求多项式的的零点特别是求代数方程的复根都不是简单的问题。一个特殊函数的零点也不太容易找到。在85年前，哈代首先证明这条临界线上有无穷多个零点。10年前我们知道有2/5的复零点都在这条线上，而且这条线外至今也没有发现复零点，因此，黎曼猜想是对是错还在未定之中。
这个简单的特殊函数在数学上有重大意义，正因为如此，黎曼猜想总是被当成数一数二的重要猜想。在这个猜想上稍有突破，就有不少重大成果。200年前高斯提出的素数定理就是在100年前由于黎曼猜想的一个重大突破而证明的。当时只是证明复零点都在临界线附近，如果黎曼猜想被完全证明，整个解析数论将取得全面进展。
    更重要的是，在代数数论、代数几何、微分几何、动力系统理论等学科中都引入各种函数和它们的推广L函数，它们各有相应的"黎曼猜想"，其中有的黎曼猜想已经得到证明，使得该分支获得突破性的进展。

可以设想，黎曼猜想及其各种推广是21世纪的中心的问题之一。数学>家卢昌海>认为，在过去的一个半世纪里， 无数数学家从各种角度为探索这一猜想付出了艰辛的努力，但可惜的是， 直到今天它仍是一个未被证明 (或否证) 的猜想，对这一猜想的探索迄今仍是不断延伸着的未竟的征途。

现在让我们重新回到纯数学的领地中来。 从纯数学的角度讲，对一个数学猜想最直接的研究莫过于是寻求它的证明 (或否证) ，对 Riemann 猜想也是如此。 可惜的是，Riemann 猜想却一直顽固地抗拒着这种研究，直到今天为止，也还没有任何人能在这种研究上取得被数学界公认的成功。

三亿个零点摆平了 Zagier， 但显然远不是对 Riemann ζ 函数非平凡零点进行计算的终点。

如果令P表示所有的素数集合，即欧拉发现对于S≥1， 这里p1，p2，...，pr都是素数。

中国的古人曾说"人穷而工其文"，我们的黎曼也可以印证这句话的正确性。
在一百多年前的德国大学，只有正式的教授才领政府的津贴，及开正规的课程，由此可以收学生交的学费。黎曼在1854年成为哥庭根大学的讲师（Privatdozent），他可以开课，可是学生学数学的不太多，而且他得不到政府的任何津贴，因此他的生活是很贫苦的。他对数学的影响是无可估量的。

在1982年11月苏联数学家马帝叶雪维奇在苏联杂志《Kibernetika》宣布，他利用电脑检验一个与黎曼猜想有关的数学问题，可以证明该问题是正确的，从而反过来可以支持黎曼的猜想很可能是正确的。

黎曼一生的著述不多，公开发表的论文共有 18 篇，连同 12 篇遗稿由韦伯和黎曼的学生戴德金于 1876 年编辑出版了《黎曼全集》。黎曼的每篇著作都 异常深刻，极具创造和想象性，是数学的众多领域的奠基性、创造性的工作。黎曼是对现代数学影响最大的数学家之一，几乎他的每一篇论文都对 20 世纪的数学和物理产生了重要影响。大大加深了人们对这一函数的理解，为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。 后人为了纪念 Riemann 的卓越贡献， 就用他的名字命名了这一函数。

• 200年前高斯提出的素数定理就是在100年前由于黎曼猜想的一个重大突破而证明的。当时只是证明复零点都在临界线附近，如果黎曼猜想被完全证明，整个解析数论将取得全面进展。
  　　1896年，雅克阿達馬和Charles Jean de la Vallée-Poussin分別獨立地證明了在直線Re(s) = 1上沒有零點。連同了黎曼對於不非凡零點已經證明了的其他特性，這顯示了所有不平凡零點一定處於區域0 < Re(s) < 1上。

黎曼猜想可以说是当今数学界最重要、并且是数学家们最期待解决的数学猜想。美国数学家蒙哥马利曾经表示，如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明，多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。
　　　在探索黎曼猜想的过程中，很多数学家曾经满怀信心，渐渐地却被它的艰深所震动，态度转为了悲观。　　
　　　黎曼那篇提出了黎曼猜想的著名论文除了含有许多"证明从略"的地方外，还有一个突出的特点，那就是它虽然反复涉及了黎曼ζ函数的非平凡零点，甚至还提出了与零点分布有关的一系列命题(包括大名鼎鼎的黎曼猜想)，却没有举出哪怕一个具体的例子--即没有给出哪怕一个零点的数值。