|
司马阳春猜想: 1=N ×1？(2) = "数"在数理逻辑与自然数理中的矛盾性= 司马阳春
皮亚诺公设中的自然数是一个模糊的概念。既然表示物体>个数(件数)的数叫自然数，那么这儿的自然必然是物质世界。 按照P=NP，P=N^2P，P=N^nP形式化理论体系数理逻辑，物质世界中的一头蓝鯨重200吨，一只磷虾重1克，二者个数(件数)相同，都是1个，1=1？，1(克)=200×1000×1000(克) ？ 1个人的大脑相容了1个人的大脑中的1000亿个细胞，1=1，1=1000亿，1=1000亿×1。1=1？，1=1=1+1+1+1...？，1+1+1+1...=1，1=N ×1？若1=P，P=NP？ 1个原子核相容了1个原子核中的10^n个上帝粒子，1=1，1=10^n，1=10^n×1。1=1？，1=1+1+1+1...？，1+1+1+1...=1，1=N ×1？若1=P，P=NP？ 1个宇宙相容了1个宇宙中的10^n个天体，1=1，1=10^n，1=10^n×1。1=1？，1=(1+1) ×(1+1) ×(1+1) ...？(1+1) ×(1+1) ×(1+1) ...=1？，N ×1=1？若1=P，NP=P？ 1是什么？1有两种身份。其绝对身份是自然数，其相对身份是有限无穷大的一般性素数。在物质世界中，1即被允许1=1，P=P，亦被允许1=N ×1，1=P，P=NP。1即被允许是素数或子集，又被允许是合数或集合。在数学世界中，1只被允许1=1，1=P，P=P。1即不被允许是素数或子集，又不被允许是合数或集合。 当1=1，1=N时，1只有一种身份。当1(绝对1)=N ×1(相对1)时，1具有了双重身份。虽然数理逻辑允许N= N ×1。数理逻辑中的N，是绝对1之和或之积，1=N，并不表示1=1/N。而NPC理论N ×1，N ×1^2，N ×1^n中的1是相对1，或1/N的1，N是相对不变量。在这儿，数理逻辑与自然逻辑相矛盾。在自然界中1个与1个之间，数同量不同。当一个巨大的量被分割之后，会出现N个数学关系恒等的数。然而，数学是以等价机制处理数与数之间关系的，不论其量大小，其个数与个数总是恒等的。尽管我们发展了合数和集合理论，由于素数的约定存在，并没有解决苏格拉底以来，数学中一直存在的数同量不同的问题。在NPC理论中，当自然中的1＞1， 1＜1， 1≠1，1＝1，1＝N，1=1^2，1＝1^n，1=N^n ，1＝1＋1...，1＝N＋N...+1，1=1×2×3×4...N时，1不再是1，1是素数或自然数中最大的数。 最大的P=NP形式化理论体系，弥补了数学数同量不同的缺陷，推动了量同数亦同的数理逻辑的发展，保证了多项式时间算法中各元素间数相同量亦相同。当P=N=NP时，P类，NP类均能够NPC。由于P=N，P=NP，P=N^2P，P=N^nP形式化理论体系中，不存在通量，亦不存在计算机安全问题。 1=N ×1？，这就是司马阳春猜想。其定理，即在P=NP，P=N^2P，P=N^nP形式化理论体系和NPC公理系统中，1即是自然数，又是素数，合数或集合。 在司马阳春猜想中，任何一个相容的数学形式化理论中，只要它强到足以蕴涵皮亚诺算术公理，就可以在其中构造在体系中既能证明也能否证的命题。 任何相容的形式体系能够用于证明它本身的相容性。 现在，我们就用NPC公理系统来评议一下皮亚诺非形式化公理系统，以证明皮亚诺关于自然数>的五条公理系统，没有完备的自然基础。 ①皮亚诺认为，1是自然数；NPC公理系统认为，1即是自然数，又是自然数中最大的数。1＞1， 1＜1， 1≠1，1＝1，1＝N，1=1^2，1＝1^n，1=N^n ，1＝1＋1...，1＝N＋N...。1不仅仅是1。1即是自然数，又是素数。 ②皮亚诺认为，每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数，（，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）；NPC公理系统认为，当1=N时，N等于任意自然数，1的后继数可以是2，2的后继数可以是3。1的后继数亦可以是2^10，2的后继数亦可以是16578。 ③如果b、c的后继数都是自然数a，那么b=c；NPC公理系统认为，当1=N，b=N、c=N，b=1，c=1。a=N时，则b= c，1=1。N=1， a=1。其后继数并不是自然数2，而是其本身1。 ④1不是任何自然数的后继数；NPC公理系统认为，当1=N时， 1是任何自然数的后继数。 ⑤任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数都真。（这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法>的正确性）。NPC公理系统认为，这条公理是比较合理的。 虽然，归纳公设可以用来证明1是唯一不是后继数的自然数，因为令命题为"n=1或n为其它数的后继数"，那么满足归纳公设的条件。 若将0也视作自然数，则公理中的1要换成0。NPC公理系统认为，如果，1是其它数后继数的自然数，即1是其它数的后继数，n=1，n亦为其它数的后继数。则归纳公设关于1是唯一不是后继数的自然数的证明是不完全的。因为，它忽略了在n=1中，如果，1不是其他数的后继数的自然数，则n亦不是。1是有限的，n是无限的。无限=有限，n=1。这非常矛盾。或者说，1个有限等于1个无限。无限n从1开始，而1并不是其后继数，但1是其后继数的基本单位。如果n个1相加，其合数趋向n。如果n个1相乘，其集合趋向1。1=n？不是皮亚诺公设所能蕴涵的。因为，皮亚诺公设对数的定义是不完全的。 哥德尔的第一条不完备定理表明任何一个允许定义自然数的体系必定是不完全的：它包含了既不能证明为真也不能证明为假的命题。 例如，在欧几里德几何中，如果把平行公设去掉，就得到一个不完备的体系。不完备的体系可能只意味着尚未找出所有必须的公理而已。 平行公设（parallel postulate），也称为欧几里得>第五公设>： 如果一条直线与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角的一侧相交。 在欧氏几何中，平行公设是一个即既不能证明也不能否证的命题。然而，如果把平行公设去掉，欧氏几何就是一个不完备的体系。或成为洛氏几何。在NPC公理系统中，其数理逻辑和物理逻辑是对应的。爱因斯坦将平行公设引入物理学，成就了相对论。相对论修正了欧氏几何平行公设中，两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角的一侧相交的数理逻辑。三条直线变成两条直线，演变成了相对性原理中质能等价和平行宇宙。然而，爱因斯坦却忽略了两条直线会在内角和小于两直角的一侧相交。而两条平行的有限直线段关系，不是数理逻辑中的1=1，而是物理逻辑中的1=1+1。是质数与合数的关系。如果，二者物理量不同，其平行关系必然不完备。相对论因而成为部分理论，而非统一理论。霍金去了另一面，他注意了两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角的一侧相交。而忽略了两条直线的平行。这也是人们不能同时接受狭义相对论和广义相对论的原因。霍金在平行与相交中挣扎后，最终倒向相交。狭义相对论洛伦兹变换的数学基础是欧氏几何，量子宇宙论的数学基础是欧氏几何和洛氏几何。宇宙的基本规则，即物体在同性相斥中对立，在异性相吸中统一。平行是同性相斥的结果，相交是异性相吸的结果。当物体进行无限平行运动时，是同性相斥的。当物体进行有限相交运动时，是异性相吸的。同性相斥形成光线的平行运动。异性相吸形成光线的偏折运动或黑洞运动。爱因斯坦和霍金始终站在欧几里得>第五公设>的两侧，而始终未能将平行和相交对立统一。如果，我们在对立统一中理解了欧几里得>第五公设>，证明了欧几里得>第五公设>，欧氏几何同样是一个不完备的体系。因为欧几里得>一直在有限中挣扎，他没有处理好无限中的有限这一完整集合问题。 我们总是以为，哥德尔揭示的是在多数情况下，例如在数论或者实分析中，永远不能找出公理的完整集合。 然而，NPC公理系统，面对的正是数论或者实分析，但我们却找出了NPC中的完整集合。 我们有时以为，你可以加入无穷条公理（例如，所有真命题）到公理列表中，但你得到的公理列表将不再是递归集。给出任意一条命题，将没有机械的方法判定它是否是系统的一条公理。如果给出一个证明，一般来说也无法检查它是否正确。 在P=NP中，我们得到的公理列表仍然是递归集。给出任意一条命题，将有机械的方法判定它是否是系统的一条公理。而且是，给出一个证明，一般来说可以检查它是否正确。 我们总以为，在计算机科学的语言中，哥德尔定理有另一种表述方式。在一阶逻辑中，定理是递归可枚举的：你可以编写一个可以枚举出其所有合法证明的程序。你可以问是否可以将结论加强为递归的：你可以编写一个在有限时间内判定命题真假的程序吗？根据哥德尔定理，答案是一般来说不能。 在 NPC公理系统，答案是肯定的。它符合一阶逻辑。
在1973年，同调代数中的怀特海问题被证明是集合论中的不确定命题。 1977年，Paris和Harrington证明了组合论中的一个命题，拉姆赛理论的某个版本，在皮阿诺公理给出的算术公理系统中是不确定的，但可以在集合论的一个更大体系中证明为真。 在计算机科学中用到的Kruskal的树问题，也是在皮亚诺公理中不确定而在集合论中可证明的。 Goodstein定理是一个关于自然数的相对简单的命题，它在皮亚诺算术中是不确定的。 Gregory Chaitin在算法信息论中构造了一个不确定命题，即``Chaitin 随机数Ω的第n个字节是否为0"这样的命题在ZFC内是不可判定的。 如果，我们选择的公理系统大多数都存在内部完全，而通用不完全的缺陷，则哥德尔不完备定理亦是不完全的。这种不完全的贡献就是概率论，或称物理学上量子力学，量子宇宙论。无论概率论，奇性定律和面积定律如何变化，它们都是哥德尔不完备定理的延伸。但是，物理学并未吻合一阶逻辑，而是把不完备解释为不确定。这导致了P=NP？问题的出现，导致了人们对一阶逻辑的与量子力学关系的思考。而哥德尔不完备定理和布尓可满足定理所导致的NPC问题，折磨了全世界数学家，物理学家，计算机科学家40多年。它们误导了大多数科学家，让他们认为P≠NP。因为，没有去问：1是什么？ 对于哥德尔的第一条定理有不少误解。 该定理并不意味着任何有趣的公理系统都是不完备的。例如，欧几里德几何可以被公理化为一个完备的系统。（事实上，欧几里德的原创公理集已经非常接近于完备的系统。所缺少的公理是非常直观的，以至于直到出现了形式化证明之后才注意到需要它们）。 该定理需假设公理系统可以定义自然数。但是并非所有系统都能定义自然数。例如，塔斯基（Tarski）证明了实数和复数理论都是完备的公理化系统。 这个理论用在人工智慧上，则指出有些道理可能是我们能够判别，却是机器单纯用一阶逻辑判断而无法得知的道理。不过机器可以用非一阶逻辑的逻辑系统。 我们可以将第一定理解释为"我们永远不能发现一个万能的公理系统能够证明一切数学真理，而不能证明任何谬误。" 但是，我们可以发现一个部分的公理系统能够证明部分的数学真理，亦能证明部分的公理谬误。 第二定理的另一种含义： 如果一个公理系统可以用来证明它自身的相容性，那么它是不相容的。 于是，为了确立系统 S 的相容性，就要构建另一个系统 T ，但是 T 中的证明并不是完全可信的，除非不使用 S 就能确立 T 的相容性。 当然可以，在一个P=NP形式化系统中，我们不使用多项式集合或复数集合，而用素数集合或合数集合就能够证明P=NP自身的相容性。
哥德尔理论只适用于较强的公理系统。"较强"意味着该理论包含了足够的算术以便承载对第一不完备定理证明过程的编码。基本上，这就要求系统能将一些基本操作例如加法和乘法形式化，例如在鲁宾逊算术Q中那样。有一些更弱的公理系统是相容而且完备的，例如Presburger算术，它包括所有的一阶逻辑的真命题和关于加法的真命题。 |