求如下方程组的非零解：

U’’-a*V^2*U/r^2=0, 

V’’+a*U^2*V/r^2=0,

其中U, V是r的函数，是待求的；a是常数（实数）；*表示普通的乘；^2表示二次方；U’’， V’’表示关于r的二阶导数。

求一个特解很容易，可能沈要的不是这个，所以，我把我的思路删除了。而且，沈似乎也不是为了大家讨论。他在线对我的回贴并不回复。

 以你的思路，方程组有uu"=-vv"的关系，u=-v是特解,从而转换为你能横扫天下的两个非线性方程求解。沈不会认可这种思路的,这个方程太对称了，稍有不慎即会得0解。所以，你的方法受到挑战。

其实 你我在此公开讨论用幂函数（如br^a）所试探解的过程……沈建其一直在洗耳恭听，只不过他一时插不上嘴而已，所以沈建其一直保持沉默……

我在此对你黄国有与沈建其你们这两个小伙子再次大发慈悲，严肃地板起面孔给你两上一堂数学课，仅以此沈建其提供的这道习题为例给出一般的普适的通用方法：

设 U(r)=ar^b+k;

 V(r)=cr^d+j.

将这两个试探函数分别代入原方程，再依据恒等式原理即同类项的系数之和必须等于零，建立关于待定系数的代数方程组；在依据只有各相同乘因子指数之和相等的项才能相加减，便可建立 关于待定指数的代数方程租，下面再怎办，就无需本大侠再啰嗦了……好了，下课。大家都写作业去……

对称性很高的方程组，的解的结构形式也具有对成性，不仅仅是指

u=-v、或u=v,还包括 u'=v或v'=u，亦或 v"=u、v=u"。

.

更包括 如下的结构对称形式

U(r)=ar^b+k;

 V(r)=cr^d+j.

对【8楼】说：
破解非线性微分方程（组），就像医生诊治疑难杂症，需要专业人士，当我们遇到非线性微分方程（组）时，就应该想到上网求助……因为各有所长，各有所好，各有所专，各有特长，各有千秋，专业的长期积累，很重要，我不知遇到多少 陌生博导或博士生的来由“求助”（含故意为难与考证）都被我一举破解，精彩的解题技巧使对方由戏谑转为震惊——叹为观止，并因此成为长期联系的互助好友；其中还不乏美女研究生，而且女性求助者们都是些虔诚的求助者，她们都因为我得到我提供的解析解而对我肃然起敬 并因此而产生无限的崇敬心理……这也是一种收获；  男性求助者尤其是博导们的“求助”大多含有戏谑（为难）与考核的心理，因为我早在多年前就在《中国数学网》公开刊载 义务助解非线性微分方程的广告，言辞特别张扬 狂妄  如，“无题不解”， “身怀破题绝技”、“旷世奇才”   之类，  故意惹人不服……  借以引起关注 ；   不过也并未言过其实，只是一点不谦虚，实话实说而已。

不谦虚与狂妄的言论并不是我的错！只是被逼而为之，因为 人微言轻  名不正言不顺  所以只有 故意张扬与狂妄才能激起民愤与关注，所以“谦虚”也是有条件的，对于没有名分的“民科”是没有资本也是没有资格“谦逊内敛”的，本来人们就是看招牌行事，民科没有学术招牌 你自己再谦虚不振，说话留有余地，那么别人并不以为你是在谦虚，只是认为你确实不懂，也根本不相信你真的会懂，哪里还经得起谦虚呢，你若再自谦 那就雪上加霜 更无人搭理，所以对于没有名分的民科必须当红不让 理直气壮  据理力争 ！  “能”就要敢于承认自己的确“能”， 若不能也不能瞎说，那样会自讨尴尬 自讨没趣的，对于没有名分的民科而言，谦虚 等于自我扼杀 自我冤枉 自我埋葬 自取灭亡……因为本来就没人相信你真的会干什么！你自己再不敢说自己也会，别人怎么会以为你在谦虚的呢？别人只能认为你真的不会！不会有人会想到民科也会只是在谦虚而已！所以 民科 也在谦虚，只能自取泯灭！但若有了名分 譬如大数学家 那就必须低调 谦虚 沉默 消极 被动 再三推辞  声称恐怕驾驭不了，能力有限！否则就与身份不相匹配 就给人以“疯子”的感觉 ！所以谦虚 是科学家的事儿，不是小人物也有资格谦虚的！

沈建其 在此论坛 也不能表现谦虚  因为本来就没有多少人相信沈建其有真才实学，沈建其即使在课堂上也不能谦虚 否则学生会不信任你，你也会招不到研究生 沈建其在课堂上必须在学生面前，声称：对于我给出的这个结论，我敢保证，绝不会有错！！！要振振有词地向学生承诺确保不会错！你若谦虚地说，只供参考而已，错误在所难免 欢迎批判……那你就完了……那你就彻底完了 当然，你不能一味地胡乱保证不会出错！你必须确有把握 保证不会出错！也不能盲目保证！否则只得适得其反！这就要求 作为一名教授 必须谦虚好学 善于钻研 对概念必须理解透 彻切忌含糊不清  力争成为专家型人才  不可沦为照本宣科的教书匠；要积极向上 不甘示弱 必能低调  要激情澎湃  昂首挺胸 阔步向前 朝气蓬勃 毫无戏言 冷峻严肃 说话要有依据  尽量不去挤公交 尽量不去商店讨价还价 要有生活助理 尽量不骑车或步行独往  最好与学者结伴而行，而且不可即匆匆 煞有介事……万不可在学生面前与教职工动粗动怒  与教职工之间的不愉快必须对学生绝密 否则你在学生中的威信就丧失殆尽 你的课就难上了

   只有家喻户晓的著名大科学家 就完全没有必要再张扬了 必须表现谦虚 沉默  

其实，就像我在3楼回复时所说的一样，这种方程可以直接写出其解的，但想沈不是要这种解，又含太轻视之意。因我贴中说到浙大人才济济，沈到民科阵营来求解方程不是太丢脸了么？我只有把它删了。

其实，既然有uu"=-vv"的对称关系，方程的解的确可以直接写出来的。 uu"=-vv"既然已经是变量完全分离的形式，可直接对该方程两边进行积分，直接得到u'和u、v'和v的方程了，此为正统解法。

另类解法：从代数陈列关系看，uv=r^2/a为方程的一组通解。以v=r^2/au代入方程（１）即得u"± r^2/au=0，这个已经是可以解的方程，因只含u和r，u=r^2/(2a)^0.5是该方程组的非零因子解（或叫奇异解）。

总而言之，朱先生的解题技巧还是超凡的，大家得承认。奇怪的是，沈丢这么一组方程在这里就不理了。

黄大侠，你得思考一下你的老行当，这才是你主业：

其实，你提供的 引力温梯计算公式 T = GmM / (k R)
就是依据"静力平衡条件"：dp+GMρdR/R^2=0

          再结合"物态方程"：p -ρkT=0   所导出的。

你说呢？不过这里同时强行规定其密度ρ为常数，所以只剩下 压强与温度这两个未知函数，P=p(R)；t=T(R)。当然只需要联立上述两道函数方程即可获得温度分布函数：T = GmM / (k R)

这纯属一厢情愿 主观武断 地强加于客观事实的密度常数ρ，为何至今无人质疑？？？

这并不是客观规律，应该叫近似的片面的人为规定的一道方程，太阳内部的气体密度怎么可能保持常数的呢？

当然也没理由说就一定不是常数？孰是孰非？莫衷一是，应该公平地 客观地 将其密度分布函数与压力分布函数以及温度分布函数平等对待都视为未知函数，即一共拥有三个未知函数，这就像拥有三个未知数一样，必须联立相应的三个代数方程来唯一确定，所以 三个未知函数 光凭 静力平衡条件 与 状态方程 这两道函数方程 显然欠缺 一道函数方程，所以必须设法找到 这个潜在着的函数方程？方可唯一确定 密度 压力 温度这个三个分布函数的具体形式，否则是不能令读者心悦诚服的！ 黄大侠，你说呢？你认为朱大侠的话合乎情理么？

所以 你所提供的那道温度分布函数 T= GmM / (k R) 令人心存余悸……所以你们的天体理论大厦 都得拆掉重建……你说呢？黄大侠？

我觉得这些内容没有什么可以进行研究的地方，这些领域是没有新突破的可能的，除非你只是想了解这方面的内容可以去研究，但不可能产生任何突破。

你若是想有什么突破，请考虑那些人类没有解决的问题，譬如说“电荷是怎么形成的？”，“引力是怎么形成的”，天体运动为什么出现“暗物质问题“？等等，其它领域，经典物理、相对论都搞烂了，没有任何新突破的可能性，一种连突破的可能性都没有的领域，你去考虑突破的问题，就是缘木而渔！

另外，太阳不是什么绝热系统，不需要要考虑熵和焓之类的东西，它们本来就是不能准确求解的，如果你搞化工生产过程的热学问题，比研究这恒星的热学问题更有意义，这时，熵焓都是必需考虑的。你在恒星上考虑这些东西没有用。

那个密度也不是作常数处理，而是由实际的摩尔数分子量和体积关系代替了。当然，在推导过程中用在微分元区域时，只有当作当地的平均值。

※※※※※※
黄氏时空由光频多普勒红移定义可变时间单位秒t'=tsquart[(C-V)/(C+V)].时间秒的变化导致了可变光速C'=Csquart[(C-V)/(C+V)].光速的变化导致了可变距离单位米l'=lsquart[(C-V)/(C+V)].黄氏自旋衰变相互作用模型:引力=动量时间变化率，电磁力=角动量时空变化率.超光速C=2ZM/r

这个，你问问沈建其吧。

U(r)=ar^b+k; V(r)=cr^d+j， 我一开始就试过，好像不成立。

另类解法：从代数陈列关系看，uv=r^2/a为方程的一组通解。以v=r^2/au代入方程（１）即得u"± r^2/au=0，这个已经是可以解的方程，因只含u和r，u=r^2/(2a)^0.5是该方程组的非零因子解（或叫奇异解）。

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SHEN RE: uv=r^2/a，曾经我也猜测过。但发现不成立。你说是一个通解？真的吗？难道我试探错了？

uu"=-vv"

还必须想到u"=-v,v"=u;或u"=v,v"=-u，因是对称方程，想到其中一个对称关系即可。 

U(r)=ar^b+k; V(r)=cr^d+j， 我一开始就试过，好像不成立。

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沈大侠的思路不够开阔……

U(r)=ar^b+k; V(r)=cr^d+j，这组试探解 必将满足！！！

必须注意到其中的待定常数a,b,c,d虽然不允许全为零，但也不能排除部分为零，譬如，其中的a或c就或许有一个为零……

譬如  当 b=1，c=0时……或当 d=1，a=0时……都可作为试探函数……

你所说的，我全部试过，没用。

我连更为复杂的U=ar^b+k+f*r^e都试过，越弄越复杂，不了了之。

 看来，这个方程又无法解了。

去年上半年，我也在此求助过两个方程，在诸位的手工解和Maple解的引导下，获得了一些理解，但是最终并没有实质性的解（对我有用的解）得到。

再次求助之后，无非是让我死心罢了。

那就要从源头重新审查……建立该方程组所依据的物理原理，或更基础的东西——物理模型是否有错？如果找不到符合物理规律的解析解（包括数值解）那么就意味着你所建立的物理模型或所依据的物理原理……等某一个环节除了疏漏，因为物理规律要么可表为简洁的解（如解析解）要么就可表为复杂的解（含级数解、数值解），二者必居其一！！！任何形式的物理规律的数学表达必然不能超越 解析解或级数解（含数值解）的形式。

不是无法解，而是除u=v=0 外无解。

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黄氏时空由光频多普勒红移定义可变时间单位秒t'=tsquart[(C-V)/(C+V)].时间秒的变化导致了可变光速C'=Csquart[(C-V)/(C+V)].光速的变化导致了可变距离单位米l'=lsquart[(C-V)/(C+V)].黄氏自旋衰变相互作用模型:引力=动量时间变化率，电磁力=角动量时空变化率.超光速C=2ZM/r

U(r)=ar^b+k; V(r)=cr^d+j，这组试探解 必将满足！！！

必须注意到其中的待定常数a,b,c,d虽然不允许全为零，但也不能排除部分为零，譬如，其中的a或c就或许有一个为零......

譬如  当 b=1，c=0时......或当 d=1，a=0时......都可作为试探函数......

即有解：U(r)=ar+k；V(r)=0；

或         v(r)=cr+j；u(r)=0。

不信？就将其代入原方程试试看…… 这组解必将满足原方程！！！

U''-a*V^2*U/r^2=0, 

V''+a*U^2*V/r^2=0,

你是说，要我就这个方程 给出具体的解题示范过程……？如果是？我便如然……

对【29楼】说：
你别浪费时间了，同时满足两个方程的只有u=v=0,单个方程都有解，但两个方程的解没有交集。如果把r^2项改成更高的次幂到R^6或R^8或许都能有解（引入复空间数学概念）。一组方程经过两次降幂后指数反而高出两倍，即-4＝4的事怎么可能？（要么重新定义数字，变成另类空间，这组方程的解就有交集。
沈教授拿两个不可能有交集的方程来组成方程组是搞笑来的，定义单位为0就可以成立。你找非零解只会是浪费时间。

如

U’’-a*V^2*U/r^8=0, 

 V’’+a*U^2*V/r^8=0,

这些方程组比原方程复杂，但有下面的解析解： 

u=(-+)1/(20a)^0.5*r^5=-iv
v=(+-)(20/a)^0.5*r^3=-iu

i表示虚空间

这方程组还有一个更阴险的系数a,它将两个方程的解一个放在阴间，一个放在阳间，组成方程组，它们的解仍然无交集。 一阴一阳，这就是对称方程，一个实数空间，另一个必定在虚数空间。

这个就是沈教授所组方程组的实质。 

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黄氏时空由光频多普勒红移定义可变时间单位秒t'=tsquart[(C-V)/(C+V)].时间秒的变化导致了可变光速C'=Csquart[(C-V)/(C+V)].光速的变化导致了可变距离单位米l'=lsquart[(C-V)/(C+V)].黄氏自旋衰变相互作用模型:引力=动量时间变化率，电磁力=角动量时空变化率.超光速C=2ZM/r