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再次求助：求解一个很简单的微分方程 W’’+B*(rW’+W)=0, 其中待求函数是W(r), r是变量， W’’表示关于r的二阶导数， W’表示关于r的一阶导数， B为常系数。 |
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再次求助：求解一个很简单的微分方程 W’’+B*(rW’+W)=0, 其中待求函数是W(r), r是变量， W’’表示关于r的二阶导数， W’表示关于r的一阶导数， B为常系数。 |
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通解： W[r]={C1*Sqrt[Pi/(2*B)]*Erf[i*Sqrt[B/2]*r]/i+C2}*Exp[-B*r*r/2] 其中C1，C2为积分常数，Pi=3.14。。。为圆周率，Sqrt为开平方函数，Exp为以e=2.71828 。。。为底的指数函数， Erf[z]=2/Sqrt[Pi]*Integral[Exp[-t*t]，{t,0,z}]为高斯误差函数（Integral表示积分，被积函数Exp[-t*t]，积分限0到z），*为乘号。 以上结果可用数学软件Mathematica直接获得。 ~无忧仙人 |
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对【2楼】说： Erf[z]在z=0附近的级数展开为： Erf[z]=2*z/Sqrt[Pi]-2*z^3/[3*Sqrt[Pi]]+z^5/[5*Sqrt[Pi]]-z^7/[21*Sqrt[Pi]]+z^9/[108*Sqrt[Pi]]+... 其中z^3表示z的3次方，等。（以上级数解可根据Erf的定义导出。） ~无忧仙人 |
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W’’+B*(rW’+W)=0,
至少含有一个简单特解 W=ae^(r^2) 此乃三秒钟心算结果 抢答题 小儿科的 …… |
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感谢541218与朱先生！你们的结果正确。
我在发本帖的当天晚上也得到了你们的结果： 首先，我通过查微分方程的书，知道该方程属于Hermite方程，一般需要用幂级数展开才能求解。于是我就用幂级数展开，计算过程不麻烦，得到了一个解，就是朱先生所说的“至少含有一个简单特解 W=ae^(r^2) ”。朱先生思路敏捷，在方程求解中有一套路子，表示欣赏。 其次，有了第一个简单解，根据微分方程理论，可以立即得到第二个解。这第二个解就是无忧仙人的“W[r]={C1*Sqrt[Pi/(2*B)]*Erf[i*Sqrt[B/2]*r]/i+C2}*Exp[-B*r*r/2]”。不过，这里的函数Erf[i*Sqrt[B/2]*r]=2/Sqrt[Pi]*Integral[Exp[-t*t]具有积分形式，无法知道其一般形式。于是我在一本大部头的数学手册中找到了erf函数，它可以写为一个无穷多项的幂级数形式。无忧仙人在3楼也给出了“Erf[z]在z=0附近的级数展开”。 |